Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên SA, SB, SC vuông góc với nhau từng đôi một. Biết thể tích của khối chóp bằng \[\frac{{{a^3}}}{6}\]. Tính bán kính r của mặt cầu nội tiếp của hình chóp S.ABC.

Tìm tập xác định D của hàm số y = log₂ (x³ − 8)¹⁰⁰⁰.

Tìm tập xác định D của hàm số y = log₂ (x² + 5x − 6).

Một hộp đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộp đó sao cho không có đủ 3 màu.

Có 6 quả cầu xanh đánh số từ 1 đến 6, 5 quả cầu đỏ đánh số từ 1 đến 5 và 7 quả màu vàng đánh số từ 1 đến 7. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 3 quả cầu vừa khác màu vừa khác số?

Giải phương trình: \[\sin 3x - \sqrt 3 \cos 3x = 2\sin 2x\].

Giải phương trình: sin² x + 2sin x – 3 = 0.

Tính đạo hàm của hàm số sin² x.

Giải phương trình sau: \[{5^x}\,.\,{3^{{x^2}}} = 1\].

Giải phương trình sau: 3^x . 2^{x + 1} = 72.

Một bộ đề thi Olimpic Toán lớp 11 của Trường THPT Kim Liên mà mỗi đề gồm 5 câu được chọn từ 15 câu mức dễ, 10 câu mức trung bình và 5 câu mức khó. Một đề thi được gọi là “Tốt” nếu trong đề thi phải có cả mức dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu mức khó không ít hơn 2 . Lấy ngẫu nhiên một đề thi trong bộ đề trên. Tìm xác suất để đề thi lấy ra là một đề thi “Tốt”.

Một trường có 50 học sinh giỏi trong đó có 4 cặp anh em sinh đôi. Cần chọn ra 3 học sinh trong số 50 học sinh để tham dự trại hè. Tính xác suất trong 3 em ấy không có cặp anh em sinh đôi?

Cho x, y thỏa mãn x – 2y + 2 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\[T = \sqrt {{{(x - 3)}^2} + {{(y - 5)}^2}} + \sqrt {{{(x - 5)}^2} + {{(y - 7)}^2}} \].

Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hàm số:

y = ∣3x⁴ + 8x³ − 6x² − 24x − m∣ có 7 điểm cực trị.

Chứng minh định lí: “Góc tạo bởi hai tia phân giác của hai góc kề bù là một góc vuông”.

Tìm m để phương trình: x² + mx – 2 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x₁, x₂ cùng nhỏ hơn 1.

Giải phương trình: \[A_x^3 + C_x^{{x^{ - 2x}}} = 14x\].

Giải phương trình sau: log₂(x² + x + 2) = 3.

Cho hình nón (N) có bán kính đáy bằng 4, diện tích xung quanh bằng 20π. Tính thể tích khối nón đã cho.

Cho đa giác đều có 20 đỉnh. Số tam giác được tạo từ các đỉnh này là bao nhiêu?

Tích tất cả các nghiệm của phương trình \[\log _3^2x - 2{\log _3}x - 7 = 0\] là?

Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng nếu điểm D thỏa mãn hệ thức: \[\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow {CD} \] với M tùy ý thì D là đỉnh của hình bình hành.

Tính tổng S_n = 1² + 2² + ... + n².

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đường parabol (P): y = x² − x + 2 và tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x² + 1 tại điểm có tọa độ (1; 2). Tính diện tích của hình (H).

Tìm m để phương trình: cos2x = m – 1 có nghiệm.

Cho phương trình (m + 1)16^x – 2( 2m – 3) . 4^x + 6m + 5 = 0 với m là tham số thực. Tìm tập tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu.

Có bao giá trị nguyên của tham số m để phương trình:

4^x – m.2^{x + 1} + 2m² – 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt?

Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}. Gọi X là tập các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được lập từ A. Chọn một số từ X, tính xác suất sao cho số được chọn có đúng 3 chữ số chẵn.

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a. Cạnh bên SA = \[a\sqrt 2 \], hình chiếu của điểm S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.

Trong các hình sau: hình chữ nhật, hình lục giác đều, hình tam giác. Hình nào không có tâm đối xứng?

Tính số đo mỗi góc của ngũ giác đều, lục giác đều, n – giác đều.

Số đo mỗi góc của ngũ giác đều là bao nhiêu?

Một trong các bạn A, B, C và D làm vỡ kính cửa sổ.  Khi được hỏi, họ trả lời như sau:

     A: “C làm vỡ”.

     B: “Không phải tôi”.

     C: “D làm vỡ”.

     D: “C đã nói dối”.

Nếu có đúng một người nói thật thì ai đã làm vỡ cửa số.

Cho hàm số y = log₂ x. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Đồ thị hàm số nhận trục tung làm tiệm cận đứng.

B. Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm A(1; 0).

C. Đồ thị hàm số luôn nằm trên phía trục hoành.

D. Hàm số đồng biến trên khoảng (0; +¥).

Tìm giao điểm của đồ thị hàm số y = 2x + 1 (d) và trục hoành.

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số y = x⁴ − 3x² − 5 và trục hoành.

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \[\left[ {\frac{1}{e};\,\,e} \right]\].

Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: y = (2m – 1)x + 3 + m vuông góc với đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y = x³ – 3x² + 1.