Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt $\widehat{POM};OM=R\left(0\le \alpha \le \frac{\pi }{3};R>0\right)$Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục Ox (H.63).

Tính thể tích của V theo α và R

Tính thể tích khối tròn xoay đó hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox:

y = cos x;y = 0;$x=\pi$

Tính thể tích khối tròn xoay đó hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay quanh Ox:

Parabol $y=\frac{x^2}{2}$ chia hình tròn có tâm tại gộc toạ độ, bán kính $2\sqrt{2}$ thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

Nhắc lại khái niệm mặt tròn xoay và khối tròn xoay trong hình học.

Tính diện tích hình thang vuông được giới hạn các đường thẳng y = -2x – 1, y = 0, x = 1 và x = 5.

Tính ${\int }_0^{1}x{\left(1-x\right)}^{5}dx$ bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số u = 1 – x;

b) Tính tích phân từng phần.

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^{\pi }\sin 2x.{\cos }^{2}xdx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^{\ln 2}\frac{e^{2x+1}}{e^x}dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^2\left|1-x\right|dx$

Tính các tích phân sau:${\int }_{\frac{1}{2}}^2\frac{1-3x}{{\left(x+1\right)}^2}dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^{2}x{\left(x+1\right)}^2$

Tính các tích phân sau: ${\int }_{\frac{1}{2}}^2\frac{1}{x\left(x+1\right)}dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{{\left(1-x\right)}^2}dx$

Hãy tính $\int \left(x+1\right)e^{x}dx$ bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5].

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5].

Cho tích phân $I={\int }_0^1{\left(2x+1\right)}^{2}dx$

1. Tính I bằng cách khai triển ${\left(2x+1\right)}^2$.

2. Đặt u = 2x + 1. Biến đổi biểu thức ${\left(2x+1\right)}^2$dx thành g(u)du.

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a), (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm).

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5].

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: $\int \left(1-x\right).\cos xdx$

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: $\int x.\ln \left(1+x\right)dx$

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau: $f\left(x\right)=\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1-2x\right)}$

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau: $f\left(x\right)=e^{3-2x}$

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau: $f\left(x\right)={\tan }^{2}x$

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau:

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau: $f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}$

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau: $f\left(x\right)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}}$

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại? ${\left(1-\frac{2}{x}\right)}^2.e^x và \left(1-\frac{4}{x}\right).e^x$