Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với (ABC) và AD = a, AC = 2a; cạnh BC vuông góc với cạnh AB. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. $r=a\sqrt{5}$

B. $r=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. r = a

D. $r=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm số dưới đây. Hàm số đó là hàm số nào?

A. $y=x^4-3x^2-1$

B. $y=-x^3+3x-1$

C. $y=x^4-3x^2+1$

D. $y=x^3-2x^2+1$

 Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm, chiều cao h = 7cm. Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

A. $S_{xq}=35\mathrm{\pi } \left({\mathrm{cm}}^2\right)$

B. $S_{xq}=70\mathrm{\pi } \left({\mathrm{cm}}^2\right)$

C. $S_{xq}=\frac{35}{3}\mathrm{\pi } \left({\mathrm{cm}}^2\right)$

D. $S_{xq}=\frac{70}{3}\mathrm{\pi } \left({\mathrm{cm}}^2\right)$

 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số$y = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$ trên đoạn [0;4]

A. $\underset{\left[0;4\right]}{min} y=-18$

B. $\underset{\left[0;4\right]}{min} y=2$

C. $\underset{\left[0;4\right]}{min} y=-25$

D. $\underset{\left[0;4\right]}{min} y=-34$

Cho a > 0. Hãy viết biểu thức $\frac{a^4\sqrt[4]{a^5}}{\sqrt[3]{a\sqrt{a}}}$ dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ?

A. $a^{\frac{9}{2}}$

B. $a^{\frac{19}{4}}$

C. $a^{\frac{23}{4}}$

D. $a^{\frac{3}{4}}$

Cho hàm số $y = x^3 + 3x^2 - 9x + 1.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-3;1)

B. Hàm số đồng biến trên khoảng (-3;1)

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;+∞)

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng (-∞;-3)

Tìm số giao điểm của đồ thị hàm số $y = (x - 1)(x^2 - 2x)$ với trục hoành.

A. 1

B. 2

C. 0

D. 3

Cho khối tứ diện ABCD, M là trung điểm của AB. Mặt phẳng (MCD) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện nào?

A. Hai khối lăng trụ tam giác.

B. Hai khối chóp tứ giác.

C. Một khối lăng trụ tam giác và một khối tứ diện

D. Hai khối tứ diện.

Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và biết diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Tính thể tích của khối chóp.

A. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

B. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

C. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

D. $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

 Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-2x^2+2x+1 \left(C\right)$. Biết đồ thị (C) có hai tiếp tuyến cùng vuông góc với đường thẳng d: y = x. Gọi h là khoảng cách giữa hai tiếp tuyến đó. Tính h.

A. $h=\sqrt{2}$

B. $h=\frac{4\sqrt{2}}{3}$

C. $h=\frac{\sqrt{2}}{3}$

D. $h=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Tính thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 3, AD = 4, AA' = 5

A. V = 12

B. V = 60

C. V = 10

D. V = 20

Cho hàm số $y=\frac{x-2}{\sqrt{4x^2-1}}$ có đồ thị (C). Đồ thị (C) có bao nhiêu đường tiệm cận?

A. 4

B. 3

C. 1

D. 2

Cho a là số thực dương khác 1. Mệnh đều nào dưới đây đúng với mọi số dương x, y

A. ${\log }_a\left(xy\right)={\log }_{a}x+{\log }_{a}y$

B. ${\log }_a\left(xy\right)={\log }_a\left(x+y\right)$

C. ${\log }_a\left(xy\right)={\log }_a\left(x-y\right)$

D. ${\log }_a\left(xy\right)={\log }_{a}x.{\log }_{a}y$

Cho hàm số$y = f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như hình bên. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Hàm số có điểm cực tiểu bằng 0.

B. Hàm số có điểm cực đại bằng 5. 

C. Hàm số có điểm cực tiểu bằng -1. 

D. Hàm số có điểm cực tiểu bằng 1.

Cho hàm số $y = f\left(x\right)$ có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f(x) = m có ba nghiệm thực phân biệt.

A. m ∈ (-1;+∞)

B. m ∈ (-∞;3)

C. m ∈ (-1;3)

D. m ∈ [-1;3]

Nếu tăng chiều cao một khối chóp lên 2 lần và giảm diện tích đáy đi 6 lần thì thể tích khối chóp đó tăng hay giảm bao nhiêu lần?

A. Giảm 12 lần.

B. Tăng 3 lần.

C. Giảm 3 lần.

D. Không tăng, không giảm.

Cho hàm số $y = x^3 - mx + 1$(với m là tham số). Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

A. $m\le \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

B. $m>\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

C. $m<\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

D. $m\ge \frac{3\sqrt[3]{2}}{2}$

Cho hình chóp tam giác đều có cạnh bên là b và chiều cao là h (b > h). Tính thể tích của khối chóp đó.

A. $V=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(b^2-h^2\right)h$

B. $V=\frac{\sqrt{3}}{12}\left(b^2-h^2\right)h$

C. $V=\frac{\sqrt{3}}{8}\left(b^2-h^2\right)h$

D. $V=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(b^2-h^2\right)b$

 Tìm tập xác định D của hàm số$\mathrm{y} = \ln ({\mathrm{x}}^2 - 3\mathrm{x})$

A. D = (0;3)

B. D = [0;3]

C. D = (-∞;0)∪(3;+∞)

D. D = (-∞;0)∪[3;+∞)

Thể tích khối chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng 6 gần bằng số nào sau đây nhất?

A. 48

B. 46

C. 52

D. 51

Viết công thức tính V của khối cầu có bán kính r.

A. $V=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$

B. $V=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^3$

C. $V={\mathrm{\pi r}}^3$

D. $V=4{\mathrm{\pi r}}^2$

Cho hàm số $f\left(x\right) = x^2\ln x$. Tính f'(e)

A. 3e

B. 2e

C. e

D. 2 + e

Đường thẳng nào cho dưới đây là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x+1}$

A. y = -2

B. y = -1

C. x = 2

D. y = 2

Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.

II. Tự luận ( 4 điểm)

Cho hình nón tròn xoay có đỉnh là S, O là tâm của đường tròn đáy, đường sinh bằng $a\sqrt{2}$ và góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy bằng 60°. Diện tích xung quanh $S_{xq}$ của hình nón và thể tích V của khối nón tương ứng là:

Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của hình trụ đó bằng a và thiết diện đi qua trục là một hình vuông.

A. $2{\mathrm{\pi a}}^3$

B. $\frac{2}{3}{\mathrm{\pi a}}^3$

C. $4{\mathrm{\pi a}}^3$

D. ${\mathrm{\pi a}}^3$

Hình nón tròn xoay ngoại tiếp tứ diện đều cạnh a, có diện tích xung quanh là:

A. $S_{xq}=\frac{{\mathrm{\pi a}}^2}{3}$

B. $S_{xq}=\frac{{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{2}}{3}$

C. $S_{xq}=\frac{{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{3}}{3}$

D. $S_{xq}=\frac{{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{3}}{6}$

Gọi l, h, R lần lượt là độ dài đường sinh, chiều cao và bán kính đáy của hình trụ. Đẳng thức luôn đúng là?

A. l = h

B. R = h

C. $R^2=h^2+l^2$

D. $l^2=h^2+R^2$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy $SC=a\sqrt{6}$. Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA thì đường gấp khúc SAC tạo thành một hình nón tròn xoay. Thể tích của khối nón tròn xoay đó là:

A. $\frac{4{\mathrm{\pi a}}^3}{3}$

B. $\frac{a^3\mathrm{\pi }\sqrt{2}}{6}$

C. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{3}$

D. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{6}$

Cắt khối nón bởi một mặt phẳng qua trục tạo thành một tam giác ABC đều có cạnh bằng a, biết B, C thuộc đường tròn đáy. Thể tích của khối nón là:

A. $a^3\mathrm{\pi }\sqrt{3}$

B. $\frac{2\sqrt{3}{\mathrm{a}}^3\mathrm{\pi }}{9}$

C. $\frac{\sqrt{3}{\mathrm{a}}^3\mathrm{\pi }}{24}$

D. $\frac{3{\mathrm{a}}^3\mathrm{\pi }}{8}$

Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có cạnh góc vuông bằng a. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

A. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{2}}{2}$

C. ${\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{2}$

D. $\frac{2{\mathrm{\pi a}}^2\sqrt{2}}{3}$

Cho đường tròn (C) ngoại tiếp một tam giác đều ABC có cạnh bằng a, chiều cao AH. Quay đường tròn (C) xung quanh trục AH, ta được một mặt cầu. Thể tích của khối cầu tương ứng là:

A. $\frac{{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{54}$

B. $\frac{4{\mathrm{\pi a}}^3}{9}$

C. $\frac{4{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{27}$

D. $\frac{4{\mathrm{\pi a}}^3}{3}$

I. Trắc nghiệm ( 6 điểm)

Cho mặt cầu S(O; R) và đường thẳng Δ. Biết khoảng cách từ O tới Δ bằng d. Đường thẳng Δ tiếp xúc với S(O; R) khi thỏa mãn điều kiện nào trong các điều kiện sau ?

A. d = R

B. d > R

C. d < R

D. d ≠ R

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón có đỉnh S và đáy là đường tròn ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD ?

II. Tự luận ( 4 điểm)

Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình tứ diện ABCD đều cạnh a.

 Trong không gian, cho tam giác ABC vuông tại A, AB = a và $AC=\sqrt{3}a$. Tính độ dài đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AB.

A. l = a

B. $l=\sqrt{2}a$

C. $l=2a$

D. $l=\sqrt{3}a$

Một cái phễu rỗng phần trên có kích thước như hình vẽ. Diện tích xung quanh của phễu là:

A. $S_{xq}=360\mathrm{\pi } {\mathrm{cm}}^2$

B. $S_{xq}=424\mathrm{\pi } {\mathrm{cm}}^2$

C. $S_{xq}=296\mathrm{\pi } {\mathrm{cm}}^2$

C. $S_{xq}=960\mathrm{\pi } {\mathrm{cm}}^2$

Trong không gian, cho tam giác ABC cân tại A, $AB=a\sqrt{10}, BC=2a$. Gọi H là trung điểm của BC. Tính thể tích V của hình nón nhận được khi quay tam giác ABC xung quanh trục AH.

A. $V=2{\mathrm{\pi a}}^3$

B. $V=3{\mathrm{\pi a}}^3$

C. $V=9{\mathrm{\pi a}}^3$

D. $V={\mathrm{\pi a}}^3$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có độ dài mỗi cạnh là 10cm. Gọi O là tâm mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương. Khi đó, diện tích S của mặt cầu là:

A. $S=150\mathrm{\pi } \left({\mathrm{cm}}^2\right)$

B. $S=100\sqrt{3}\mathrm{\pi } \left({\mathrm{cm}}^2\right)$

C. $S=300\mathrm{\pi } \left({\mathrm{cm}}^2\right)$

D. $S=250\mathrm{\pi } \left({\mathrm{cm}}^2\right)$

Tính thể tích của khối trụ biết bán kính đáy của hình trụ đó bằng a và thiết diện đi qua trục là một hình vuông.

A. $2{\mathrm{\pi a}}^3$

B. $\frac{2}{3}{\mathrm{\pi a}}^3$

C. $4{\mathrm{\pi a}}^3$

D. ${\mathrm{\pi a}}^3$