Quay hình phẳng Q giới hạn bởi các đường: ${\mathrm{y}}_1$ = sinx và ${\mathrm{y}}_2$ = 2x/$\mathrm{\pi }$ quanh trục Ox, ta được một khối tròn xoay. Khi đó, thể tích khối tròn xoay này bằng:

A. 1/6              B. $\mathrm{\pi }$/6

Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: y = f(x), y = 0, x = b và x = a (trong đó hàm số f(x) liên tục trên đoạn [b,a]). Thể tích khối tròn xoay tạo nên bởi phép quay H quanh trục Ox được cho bởi công thức:

A. $\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x}$          B. ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x}$

C. $\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{b}}^{\mathrm{a}}{\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x}$          D. ${\int }_{\mathrm{b}}^{\mathrm{a}}{\left[\mathrm{\pi }\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^{2}d\mathrm{x}$

Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường: ${\mathrm{y}}_1$ = ${\mathrm{x}}^3$; ${\mathrm{y}}_2$ = 4x, bằng:

A. 0              B. 4

Diện tích hình phẳng P giới hạn bởi các đường: ${\mathrm{y}}_1$ = x, ${\mathrm{y}}_2$ = 2x, ${\mathrm{y}}_3$ = 2 - x bằng:

A. 1              B. 2/3

C. 2              D. 1/3

Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?

a) {y = x + sinx, y = x với 0 ≤ x ≤ π} và {y = x + sinx, y = x với π ≤ x ≤ 2π}

b) {y = sinx, y = 0 với 0 ≤ x ≤ π} và {y = cosx, y = 0 với 0 ≤ x ≤ π};

c) {y = √x, y = $x^2$}

và {  , y = 1 − x}

Cho hình phẳng R giới hạn bởi các đường sau đây:

${\mathrm{y}}_1={\mathrm{f}}_1$(x), ${\mathrm{y}}_2={\mathrm{f}}_2$(x) là các hàm số liên tục trên đoạn [a;b], x = a và x = b. Hãy chỉ ra công thức sai trong việc tính diện tích hình R.

A. ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}|{\mathrm{f}}_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{-}{f}_{\mathrm{2}}\left(x\right)|d\mathrm{x}$

B. ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}|{\mathrm{f}}_{\mathrm{2}}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{-}{f}_{\mathrm{1}}\left(x\right)|d\mathrm{x}$

C. $\left|{\int }_{\mathrm{b}}^{\mathrm{a}}|{\mathrm{f}}_{\mathrm{1}}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{-}{f}_{\mathrm{1}}\left(x\right)|d\mathrm{x}\right|$

D. $\left|{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}[{\mathrm{f}}_{\mathrm{1}}\left(x\right)\mathrm{-}{f}_{\mathrm{2}}\left(\mathit{x}\right)]d\mathrm{x}\right|$

Một hình phẳng được giới hạn bởi y = $e^{-x}$, y = 0, x = 0, x = 1. Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên).

a) Tính diện tích Sn của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường  , y = 0, x = 1 và x = a (a > 1). Gọi thể tích đó là V(a). Xác định thể tích của vật thể khi a → +$\infty$ (tức là  ).

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi:

a) y = 2 – $x^2$ , y = 1 , quanh trục Ox.

b) y = 2x – $x^2$ , y = x , quanh trục Ox.

Tính thể tích vật thể:

a) Có đáy là một tam giác cho bởi: y = x , y = 0 , và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

b) Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi $x^2$ + $y^2$ = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

Trong các cặp hình phẳng giới hạn bởi các đường sau, cặp nào có diện tích bằng nhau?

a) {y = x + sinx, y = x với 0 $\le$ x $\le$ $\mathrm{\pi }$} và {y = x + sinx, y = x với $\mathrm{\pi }$ $\le$ x $\le$ 2$\mathrm{\pi }$}

b) {y = sinx, y = 0 với 0 $\le$ x $\le$ $\mathrm{\pi }$} và {y = cosx, y = 0 với 0 $\le$ x $\le$ $\mathrm{\pi }$};

c) {y = $\sqrt{\mathrm{x}}$, y = ${\mathrm{x}}^2$}

và { y = $\sqrt{1-{\mathrm{x}}^2}$ , y = 1 − x}

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = 2x – $x^2$, x + y = 2 ;

b) y = $x^3$ – 12x, y = $x^2$

c) x + y = 1, x + y = -1, x – y = 1, x – y = -1;

d) 

Một hình phẳng được giới hạn bởi y = ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}$, y = 0, x = 0, x = 1. Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên). Tính diện tích ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}$ của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\frac{1}{\mathrm{x}}$ , y = 0, x = 1 và x = a (a > 1). Gọi thể tích đó là V(a). Xác định thể tích của vật thể khi a → +$\infty$ (tức là $\underset{\mathrm{a}\to +\infty }{\lim }V\left(a\right)$ ).

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi: y = 2x – ${\mathrm{x}}^2$ , y = x , quanh trục Ox.

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi: y = 2 – ${\mathrm{x}}^2$ , y = 1 , quanh trục Ox.

Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2$ = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

Có đáy là một tam giác cho bởi: y = x , y = 0 , và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = ${\mathrm{x}}^3$ – 12x, y = ${\mathrm{x}}^2$

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = 2x – ${\mathrm{x}}^2$, x + y = 2

${\int }_0^1\sin x\sqrt{x}d\mathrm{x}$ bằng:

A. 2(sin1 - cos1)              B. sin1 - cos1

Đối với tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{\tan x}{{\cos }^{2}x}d\mathrm{x}$

thực hiện đổi biến số t = tanx ta được:

A. ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}td\mathrm{t}$            B. ${\int }_{-1}^{0}td\mathrm{t}$

C. ${\int }_0^{1}td\mathrm{t}$            D. $-{\int }_0^{1}td\mathrm{t}$

${\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{lnx}}{{\mathrm{x}}^2}d\mathrm{x}$ bằng:

A. -1 - $\frac{1}{\mathrm{e}}$       B. 1 - $\frac{2}{\mathrm{e}}$

${\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{\sin 2\mathrm{x}.\mathrm{sinx}}{2}+{\cos }^{3}xd\mathrm{x}$ bằng:

A. 2              B. 2$\mathrm{\pi }$

C. $\mathrm{\pi }$              D. -$\mathrm{\pi }$

${\int }_{-1}^1\left|\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3\right|d\mathrm{x}$ bằng:

A. 1/2              B. 2

C. -1              D. 0

Hãy chỉ ra kết quả sai trong việc khử giá trị tuyệt đối của tích phân sau đây: ${\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\left|\mathrm{sinx}\right|d\mathrm{x}$

A. ${\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}$          B. ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}2\mathrm{sinx}d\mathrm{x}$

C. ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}-{\int }_{\mathrm{\pi }}^{2\mathrm{\pi }}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}$          D. $-{\int }_{\mathrm{\pi }}^{2\mathrm{\pi }}2\mathrm{sinx}d\mathrm{x}$

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

a, ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}+{\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{3\mathrm{\pi }}{2}}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}+{\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{2\mathrm{\pi }}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}=0$

b, ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(\sqrt[3]{\mathrm{sinx}}-\sqrt[3]{\mathrm{cosx}}\right)d\mathrm{x}=0$

c, ${\int }_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\ln \frac{1-x}{1+x}d\mathrm{x}=0$

${\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{\mathrm{n}}\mathrm{xdx},\mathrm{n}\in \mathrm{N}*$

 bằng:

A. 2(sin1 - cos1)              B. sin1 - cos1

C. 2(cos1 - sin1)              D. 2(sin1 + cos1)

Đối với tích phân 

thực hiện đổi biến số t = tanx ta được:

${\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{\mathrm{n}}\mathrm{xdx},\mathrm{n}\in \mathrm{N}*$

 bằng

 bằng:

A. 2              B. 2π

 bằng:

A. 1/2              B. 2

C. -1              D. 0