Lập phương trình của mặt phẳng (α) đi qua điểm M(1; 2; 3) và cắt ba tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất.

Viết phương trình của mặt phẳng ($\mathrm{\beta }$) đi qua điểm M(2; -1; 2), song song với trục Oy và vuông góc với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$): 2x – y + 3z + 4 = 0

Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây: (${\mathrm{\alpha }}_3$): x – y + 2z – 4 = 0, ($\mathrm{\alpha }{\text{'}}_3$): 10x − 10y + 20z – 40 = 0

Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây: (${\mathrm{\alpha }}_2$): x − 2y + z + 3 = 0, ($\mathrm{\alpha }{\text{'}}_2$): x − 2y – z + 3 = 0

Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng cho bởi phương trình tổng quát sau đây: (${\mathrm{\alpha }}_1$): 3x − 2y − 3z + 5 = 0, ($\mathrm{\alpha }{\text{'}}_1$): 9x − 6y − 9z – 5 = 0

Cho điểm A(2; 3; 4). Hãy viết phương trình của mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) đi qua các hình chiếu của điểm A trên các trục tọa độ.

Lập phương trình của mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) đi qua điểm M(3; -1; -5) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng:

($\mathrm{\beta }$): 3x – 2y + 2z + 7 = 0

($\mathrm{\gamma }$): 5x – 4y + 3z + 1 = 0

Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Dùng phương pháp tọa độ để: Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng đó.

Tìm tập hợp các điểm cách đều hai mặt phẳng

($\mathrm{\alpha }$) : 3x – y + 4z + 2 = 0

Xác định các giá trị của A, B để hai mặt phẳng sau đây song song với nhau:

($\mathrm{\alpha }$): Ax – y + 3z + 2 = 0

Lập phương trình mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) đi qua hai điểm A(0; 1; 0) , B(2; 3; 1) và vuông góc với mặt phẳng ($\mathrm{\beta }$): x + 2y – z = 0 .

Viết phương trình mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) trong các trường hợp sau: ($\mathrm{\alpha }$) đi qua điểm A(1; 0; 0) và song song với giá của hai vecto $\overrightarrow{\mathrm{u}}$= (0; 1; 1), $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ = (−1; 0; 2)

Viết phương trình mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) trong các trường hợp sau: ($\mathrm{\alpha }$) đi qua điểm M(2; 0; 1) và nhận $\overrightarrow{\mathrm{n}}$ = (1; 1; 1) làm vecto pháp tuyến

Trong không gian Oxyz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; 4) và gốc tọa độ O. Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: Đi qua điểm M(2; -1; -3) và có tâm C(3; -2; 1)

Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: Có tâm là điểm C(4; -4; 2) và đi qua gốc tọa độ

Trong không gian Oxyz hãy lập phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau: Có tâm I(5; -3; 7) và có bán kính r = 2.

Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có tọa độ các đỉnh là:

A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)

Tính khoảng cách giữa hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: A(2; 3; 4), B(6; 0; 4)

Tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ trong không gian với các tọa độ đã cho là: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (1; −5; 2), $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = (4; 3; −5)

Tính tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ trong không gian với các tọa độ đã cho là: $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ = (3; 0; −6), $\overrightarrow{\mathrm{b}}$ = (2; −4; c)

Cho hình tứ diện ABCD. Từ hệ thức trên hãy suy ra định lí: “Nếu một hình tứ diện có hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối diện thứ ba cũng vuông góc với nhau.”

Trong không gian Oxyz cho một vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ tùy ý khác vecto $\overrightarrow{0}$. Gọi $\mathrm{\alpha }$, $\mathrm{\beta }$, $\mathrm{\gamma }$ là ba góc tạo bởi ba vecto đơn vị $\overrightarrow{\mathrm{i}}$, $\overrightarrow{\mathrm{j}}$, $\overrightarrow{\mathrm{k}}$ trên ba trục Ox, Oy, Oz và vecto $\overrightarrow{\mathrm{a}}$. Chứng minh rằng: ${\cos }^2\alpha +{\cos }^2\beta \mathit{+}{\cos }^{\mathit{2}}\gamma \mathit{=}\mathit{1}$

Trong không gian cho ba vecto tùy ý $\overrightarrow{\mathrm{a}}$, $\overrightarrow{\mathrm{b}}$, $\overrightarrow{\mathrm{c}}$

Gọi $\overrightarrow{\mathrm{u}}$ = $\overrightarrow{\mathrm{a}}$ − 2$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ , $\overrightarrow{\mathrm{v}}$ = 3$\overrightarrow{\mathrm{b}}$ − $\overrightarrow{\mathrm{c}}$, $\overrightarrow{w}$ = 2$\overrightarrow{\mathrm{c}}$ − 3$\overrightarrow{\mathrm{a}}$

Chứng tỏ rằng ba vecto $\overrightarrow{\mathrm{u}}$, $\overrightarrow{\mathrm{v}}$, $\overrightarrow{w}$ đồng phẳng.

Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{CD}}+\overrightarrow{\mathrm{DB}}$