Trong hình 33, AC = 8cm, AD = 9,6 cm, $\angle ABC = 90°, \angle ACB = 54° và \angle ACD = 74°.$

Hãy tính:

a) AB

b) ∠ADC

Hình 33

Cho tam giác ABC, trong đó BC = 11cm, $\angle ABC = 38°, \angle ACB = 30°$. Gọi điểm N là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến cạnh BC. Hãy tính:

a) Đoạn thẳng AN

b) Cạnh AC

Gợi ý: Kẻ BK vuông góc với AC.

Một khúc sông rộng khoảng 250m. Một chiếc đò chèo qua sông bị dòng nước đẩy xiên nên phải chèo khoảng 320m mới sang được bờ bên kia. Hỏi dòng nước đã đẩy chiếc đò lệch đi một góc bằng bao nhiêu độ? (góc α trong hình 32)

Một cột đèn cao 7m có bóng trên mặt đất dài 4m. Hãy tính góc (làm tròn đến phút) mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (góc α trong hình 31).

Giải tam giác ABC vuông tại A, biết rằng

$\begin{array}{l}a)b=10\text{cm},\widehat{C}={30}^{°}\\ b)c=10cm,\widehat{C}={45}^{°}\\ c)a=20\text{cm},\widehat{B}={35}^{°}\\ \text{d})\text{c}=21\text{cm},\text{b}=18\text{cm}\end{array}$

Các tia nắng mặt trời tạo với mặt đất một góc xấp xỉ bằng 34o và bóng của một tháo trên mặt đất dài 86m (h.30). Tính chiều cao của tháp (làm tròn đến mét)

Trong ví dụ 4, hãy tính các cạnh OP, OQ qua côsin của các góc P và Q.

Trong ví dụ 3, hãy tính cạnh BC mà không áp dụng định lý Py-ta-go.

 Viết các tỉ số lượng giác của góc B và góc C. Từ đó hãy tính mỗi cạnh góc vuông theo:

a) Cạnh huyền và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C;

b) Cạnh góc vuông còn lại và các tỉ số lượng giác của góc B và góc C.

So sánh:

$$\begin{gathered} a) tg25° và \sin 25° ; b) cotg 32° và \cos 32° \\ c) tg45° và \cos 45° ; d) cotg60° và \sin 30° \end{gathered}$$

Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dần:

$\begin{array}{l}a)\sin {78}^{°},\cos {14}^{°},\sin {47}^{°},\cos {87}^{°}\\ b)\mathrm{tg}{73}^{°},\mathrm{cotg}{25}^{°},\mathrm{tg}{62}^{°},\mathrm{cotg}{38}^{°}\end{array}$

Tính

$\begin{array}{l}a)\frac{\sin {25}^{°}}{\cos {65}^{°}}\\ b)\mathrm{tg}{58}^{°}-\mathrm{cotg}{32}^{°}\end{array}$

So sánh:

$$\begin{gathered} a) \sin {20}^{°} v\text{à }\sin {70}^{°} \\ b) \cos {25}^{°} v\text{à }\cos {63}^{°}{15}^{\text{'}} \\ c) \mathrm{tg} {73}^{°}{20}^{\text{'}} v\text{à }\mathrm{tg} {45}^{°} \\ d) \mathrm{cotg} 2^{°} v\text{à }\mathrm{cotg} {37}^{°}{40}^{\text{'}} \end{gathered}$$

Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm góc nhọn x (làm tròn kết quả đến độ ), biết rằng:

a) sin x = 0,3495;     b) cos x = 0,5427;     c) tg x = 1,5142;     d) cotg x = 3,163

 Dùng bảng lượng giác (có sử dụng phần hiệu chính) hoặc máy tính bỏ túi, hãy tìm các tỉ số lượng giác (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):

$\begin{array}{l}a)\sin {70}^{°}{13}^{\text{'}}\\ b)\cos {25}^{°}{32}^{\text{'}}\\ c)\mathrm{tg}{43}^{°}{10}^{\text{'}}\\ d)\mathrm{cotg}{32}^{°}{15}^{\text{'}}\end{array}$

Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm số đo của góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng:

a) sin x = 0,2368 ;             b) cosx = 0,6224

c) tgx = 2,154 ;             d) cotgx = 3,251

Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm các tỉ số lượng giác sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):

$\begin{array}{l}a)\sin {40}^{°}{12}^{\text{'}}\\ b)\cos {52}^{°}{54}^{\text{'}}\\ c)\mathrm{tg}{63}^{°}{36}^{\text{'}}\\ d)\mathrm{cotg}{25}^{°}{18}^{\text{'}}\end{array}$

Tìm góc nhọn (làm tròn đến độ), biết cos α = 0,5547.

Sử dụng bảng tìm góc nhọn α, biết cotg α = 3,006.

Sử dụng bảng, tìm $tg 82°13’.$

Sử dụng bảng, tìm cotg 47o24’.

Tìm x trong hình 23.

Hình 23

Cho tam giác vuông có một góc 60o và cạnh huyền có độ dài là 8. Hãy tìm độ dài của cạnh đối diện với góc 60o.

Cho tam giác ABC vuông tại A. Biết cosB = 0,8, hãy tính các tỉ số lượng giác của góc C.

Gợi ý: Sử dụng bài tập 14.

Sử dụng định nghĩa các tỉ số lượng giác của một góc nhọn để chứng minh rằng. Với góc nhọn α tùy ý, ta có:

$\begin{array}{l}a)\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha },\mathrm{cotg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\\ \mathrm{tg}\alpha \cdot \mathrm{cotg}\alpha =1\\ b){\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\end{array}$

Gợi ý: Sử dụng định lí Pitago.

Dựng góc nhọn α, biết:

$\begin{array}{l}a)\sin \alpha =\frac{2}{3}\\ b)\cos \alpha =0,6\\ c)\mathrm{tg}\alpha =\frac{3}{4}\\ d)\mathrm{cotg}\alpha =\frac{3}{2}\end{array}$

Cho tam giác ABC vuông tại C, trong đó AC = 0,9m, BC = 1,2m. Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A.

Vẽ một tam giác vuông có một góc nhọn 34o rồi viết các tỉ số lượng giác của góc 34o.

Cho hình 19. Hãy cho biết tổng số đo của góc α và góc β. Lập các tỉ số lượng giác của góc α và góc β. Trong cặp tỉ số này, hãy cho biết các cặp tỉ số bằng nhau.

Hãy nêu cách dựng góc nhọn β theo hình 18 và chứng minh cách dựng đó là đúng.

Cho tam giác ABC vuông tại A có ∠C = β. Hãy viết các tỉ số lượng giác của góc β

Xét tam giác ABC vuông tại A có ∠B = α. Chứng minh rằng

Cho hình vuông ABCD. Gọi I là một điểm nằm giữa A và B. Tia DI và tia CB cắt nhau ở K. Kẻ đường thẳng qua D, vuông góc với DI. Đường thẳng này cắt đường thẳng BC tại L. Chứng minh rằng:

a) Tam giác DIL là một tam giác cân

b) Tổng

$\frac{1}{{\text{DI}}^2}+\frac{1}{{\text{DK}}^2}$

không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.

Tìm x và y trong mỗi hình sau:

 Người ta đưa ra hai cách vẽ đoạn trung bình nhân x của hai đoạn thẳng a, b (tức là x2 = ab) như trong hai hình sau:

Dựa vào các hệ thức (1) và (2), hãy chứng minh các cách vẽ trên là đúng.

Gợi ý: Nếu một tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nữa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.

Đường cao của một tam giác vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 1 và 2. Hãy tính các cạnh góc vuông của tam giác này.

 Trong tam giác vuông với các cạnh góc vuông có độ dài 3 và 4, kẻ đường cao ứng với cạnh huyền. Hãy tính đường cao này và độ dài các đoạn thẳng mà nó định ra trên cạnh huyền.

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.7)

Hình 7

Hãy tính x và y trong mỗi hình sau: (h.6)

Hình 6