Điền vào các chỗ trống (...) trong bảng sau (R là bán kính của đường tròn, d là khoảng cách từ tâm đến đường thẳng):

 Cho đường thẳng a và có một điểm O cách a là 3cm. Vẽ đường tròn tâm O bán kính 5cm.

a) Đường thẳng a có vị trí như thế nào đối với đường tròn (O) ? Vì sao ?

b) Gọi B và C là các giao điểm của đường thẳng a và đường tròn (O). Tính độ dài BC.

Hãy chứng minh khẳng định trên.

Vì sao một đường thẳng và một đường tròn không thể có nhiều hơn hai điểm chung ?

Cho đường tròn (O) có các dây AB và CD bằng nhau, các tia AB và CD cắt nhau tại điểm E nằm bên ngoài đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

a) EH = EK

b) EA = EC.

Cho đường tròn tâm O bán kính 5cm, dây AB bằng 8cm.

a) Tính khoảng cách từ tâm O đến dây AB.

Cho tam giác ABC, O là giao của các đường trung trực của tam giác; D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, AC. Cho biết OD > OE, OE = OF (h.69).

Hãy so sánh các độ dài:

a) BC và AC;

b) AB và AC.

Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để so sánh các độ dài:

a) OH và OK, nếu biết AB > CD.

b) AB và CD, nếu biết OH < OK.

 Hãy sử dụng kết quả của bài toán ở mục 1 để chứng minh rằng:

a) Nếu AB = CD thì OH = OK.

b) Nếu OH = OK thì AB = CD.

Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD không cắt đường kính AB, Gọi H và K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ A và B đến CD. Chứng minh rằng CH = DK.

Gợi ý: Kẻ OM vuông góc với CD.

Cho tam giác ABC, các đường cao BD và CE. Chứng minh rằng:

a) Bốn điểm B, E, D, C cùng thuộc một đường tròn.

b) DE < BC.

Cho hình 67. Hãy tính độ dài dây AB, biết OA = 13 cm, AM = MB, OM = 5 cm.

Hãy đưa ra một ví dụ để chứng tỏ rằng đường kính đi qua trung điểm của một dây có thể không vuông góc với dây ấy.

Đố

a) Vẽ hình hoa bốn cánh. Hình hoa bốn cánh trên hình 60 được tạo bởi một hình vuông và tâm của cung là tâm của đường tròn chứa cung đó). Hãy vẽ lại hình 60 vào vở.

Hình 60

b) Vẽ lọ hoa. Chiếc lọ hoa trên hình 61 được vẽ trên giấy kẻ ô vuông bởi năm cung có tâm A, B, C, D, E. Hãy vẽ lại hình 61 vào giấy kẻ ô vuông.

Hình 61

Cho góc nhọn xAy và hai điểm B, C thuộc tia Ax. Dựng đường tròn (O) đi qua B và C sao cho tâm O nằm trên tia Ay.

Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:

Trong các biển báo giao thông sau, biển báo nào có tâm đối xứng, biển nào có trục đối xứng?

a) Biển cấm đi ngược chiều? (h.58)

b) Biển cấm ô tô (h.59)

Đố. Một tấm bài hình tròn không còn dấu vết của tâm. Hãy tìm lại tâm của hình tròn đó

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí của mỗi điểm A(-1; -1), B(-1; -2), C(√2; √2) đối với đường tròn tâm O bán kính 2.

Chứng minh các định lí sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

 Hãy nối mỗi ô ở cột trái với một ô ở cột phải để được khẳng định đúng:

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 12cm, BC = 5cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D thuộc cùng một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.

Cho đường tròn (O), AB là một đường kính bất kì và C là một điểm thuộc đường tròn. Vẽ C’ đối xứng với điểm C qua AB (h.57). Chứng minh rằng điểm C’ cũng thuộc đường tròn (O).

Cho đường tròn (O), A là một điểm bất kì thuộc đường tròn. Vẽ A’ đối xứng với A qua O (h.56). Chứng minh rằng điểm A’ cũng thuộc đường tròn (O).

Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Hãy vẽ đường tròn đi qua ba điểm đó.

Cho hai điểm A và B.

a) Hãy vẽ một đường tròn đi qua hai điểm đó.

b) Có bao nhiêu đường tròn như vậy ? Tâm của chúng nằm trên đường nào ?

Trên hình 53, điểm H nằm bên ngoài đường tròn (O), điểm K nằm bên trong đường tròn (O). Hãy so sánh (OKH) ̂ và (OHK) ̂.

Đố

Vào khoảng năm 200 trước Công Nguyên, Ơratôxten, một nhà toán học và thiên văn học Hi Lạp, đã ước lượng được "chu vi" của Trái Đất (chu vi đường Xích Đạo) nhờ hai quan sát sau:

1) Một ngày trong năm, ông ta để ý thấy Mặt Trời chiếu thẳng các đáy giếng ở thành phố Xy-en (nay gọi là At-xu-an), tức là tia sáng chiếu thẳng đứng.

2) Cùng lúc đó ở thành phố A-lếch-xăng-đri-a cách Xy-en 800km, một tháp cao 25m có bóng trên mặt đất dài 3,1m.

Từ hai quan sát trên, em hãy tính xấp xỉ "chu vi" của Trái Đất.

(Trên hình 51 điểm S tượng trưng cho thành phố Xy-en, điểm A tượng trưng cho thành phố A-lếch-xăng-đri-a, bóng của tháp trên mặt đất được coi là đoạn thẳng AB).

Hình 51

Ở một cái thang dài 3m người ta ghi: "Để đảm bảo an toàn khi dùng thang, phải đặt thang này tạo với mặt đất một góc có độ lớn từ $60° đến 70°$". Đo góc thì khó hơn đo độ dài. Vậy hãy cho biết: Khi dùng thang đó chân thang phải đặt cách tường khoảng bao nhiêu mét để đảm bảo an toàn?

Tam giác ABC vuông tại C có AC = 2cm, BC = 5cm, ∠BAC = x, ∠ABC = y. Dùng các thông tin sau (nếu cần) để tìm x – y:

  $\begin{array}{l}\sin {23}^{°}{36}^{\text{'}}\approx 0,4\\ \cos {66}^{°}{24}^{\text{'}}\approx 0,4\\ \mathrm{tg}{21}^{°}{48}^{\text{'}}\approx 0,4\end{array}$

Tính chiều cao của cây trong hình 50 (làm tròn đến đề-xi-mét)

Hình 50

Tìm khoảng cách giữa hai cọc để căng dây vượt qua vực trong hình 49 (làm tròn đến mét)

Hình 49

Hai chiếc thuyền A và B ở vị trí được minh họa như trong hình 48. Tính khoảng cách giữa chúng (làm tròn đến mét).

Hình 48

 Cho tam giác ABC có AB = 6cm, AC = 4,5cm, BC = 7,5cm.

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. Tính các góc B, C và đường cao AH của tam giác đó.

b) Hỏi rằng điểm M mà diện tích tam giác MBC bằng diện tích tam giác ABC nằm trên đường nào?

Cho tam giác có một góc bằng 45o. Đường cao chia một cạnh kề với góc đó thành các phần 20cm và 21 cm. Tính cạnh lớn trong hai cạnh còn lại (lưu ý có hai trường hợp hình 46 và hình 47).

Tỉ số giữa hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng 19: 28. Tìm các góc của nó.

a) Trong hình 44, hệ thức nào trong các hệ thức sau là đúng?

$\begin{array}{l}\left(A\right)\sin \alpha =\frac{b}{c}\\ \left(B\right)\mathrm{cotg}\alpha =\frac{b}{c}\\ \left(C\right)\mathrm{tg}\alpha =\frac{a}{c}\\ \left(D\right)\mathrm{cotg}\alpha =\frac{a}{c}\end{array}$

b) Trog hình 45, hệ thức nào trong các hệ thức sau không đúng ?

(A) sin2α + cos2α = 1

(B) sin α = cos β

(C) $\cos \beta = \sin (90° – \alpha )$

$\text{ (D) }\mathrm{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$

Chọn kết quả đúng trong các kết quả dưới đây:

a) Trong hình 41, sin α bằng:

$\begin{array}{l}\left(A\right)\frac{5}{3}\\ \left(B\right)\frac{5}{4}\\ \left(C\right)\frac{3}{5}\\ \left(D\right)\frac{3}{4}\end{array}$

b) Trong hình 42, sin Q bằng:

$\begin{array}{l}\left(A\right)\frac{\text{PR}}{\text{RS}} \left(B\right)\frac{\text{PR}}{\text{QR}}\\ \left(C\right)\frac{\text{PS}}{\text{SR}} \left(D\right)\frac{\text{SR}}{\text{QR}}\end{array}$

c) Trong hình 43, cos 30o bằng:

$\begin{array}{l}\left(A\right)\frac{2\text{a}}{\sqrt{3}}\\ \left(B\right)\frac{a}{\sqrt{3}}\\ \left(C\right)\frac{\sqrt{3}}{2}\\ \left(D\right)2\sqrt{3}{\text{a}}^2\end{array}$

Cho hình 36. Hãy viết hệ thức giữa:

a) Cạnh huyền, cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.

b) Các cạnh góc vuông p, r và đường cao h.

c) Đường cao h và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền p', r'

Hình 36

Một con thuyền với vận tốc 2km/h vượt qua một khúc sông nước chảy mạnh mất 5 phút. Biết rằng đường đi của con thuyền tạo với bờ một góc 70o. Từ đó đã có thể tính được chiều rộng của khúc sông chưa? Nếu có thể hãy tính kết quả (làm tròn đến mét)