Giải bài toán cổ sau:

Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho một trăm người cùng vui

Chia ba mỗi quả quýt rồi

Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh

Trăm người, trăm miếng ngọt lành

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao?

Tìm hai số tự nhiên, biết rằng tổng của chúng bằng 1006 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ thì được thương là 2 và số dư là 124.

 Giải hệ hai phương trình thu được trong câu hỏi 3 và câu hỏi 4 rồi trả lời bài toán.

 Viết các biểu thức chứa ẩn biểu thị quãng đường mỗi xe đi được, tính đến khi hai xe gặp lại nhau. Từ đó suy ra phương trình biểu thị giả thiết quãng đường từ TP. Hồ Chí Minh đến TP. Cần Thơ dài 189 km.

Lập phương trình biểu thị giả thiết: Mỗi giờ, xe khách đi nhanh hơn xe tải 13 km.

Giải hệ phương trình (I) và trả lời bài toán đã cho.

$\text{ (I) }\left\{\begin{array}{c}-x+2y=1\\ x-y=3\end{array}\right.$

Hãy nhắc lại các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn rồi giải:

$\begin{array}{l}\text{ a) }\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=1\\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=5\end{array}\right.\\ \text{ Đặt }u=\frac{1}{x};v=\frac{1}{y}\\ \text{ b) }\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x-2}+\frac{1}{y-1}=2\\ \frac{2}{x-2}-\frac{3}{y-1}=1\end{array}\right.\\ \text{ đặt }u=\frac{1}{x-2};v=\frac{1}{y-1}\\ \end{array}$

Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a) A(2; -2) và B(-1; 3) ;     b) A(-4; -2) và B(2; 1)

c) A(3; -1) và B(-3; 2) ;     d) A(√3; 2) và B(0; 2)

Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0:

P(x) = (3m – 5n + 1)x + (4m – n -10)

Giải các hệ phương trình sau:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}2(x+y)+3(x-y)=4\\ (x+y)+2(x-y)=5\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}2(x-2)+3(1+y)=-2\\ 3(x-2)-2(1+y)=-3\end{array}\right.\end{array}$

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}(1+\sqrt{2})x+(1-\sqrt{2})y=5\\ (1+\sqrt{2})x+(1+\sqrt{2})y=3\end{array}\right.$

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}-5x+2y=4\\ 6x-3y=-7\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}2x-3y=11\\ -4x+6y=5\end{array}\right.\\ c)\left\{\begin{array}{l}3x-2y=10\\ x-\frac{2}{3}y=3\frac{1}{3}\end{array}\right.\end{array}$

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-3y=1\\ 2x+y\sqrt{2}=-2\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\ x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2\end{array}\right.\end{array}$

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}3x+y=3\\ 2x-y=7\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}2x+5y=8\\ 2x-3y=0\end{array}\right.\\ c)\left\{\begin{array}{l}4x+3y=6\\ 2x+y=4\end{array}\right.\\ d)\left\{\begin{array}{l}2x+3y=-2\\ 3x-2y=-3\end{array}\right.\\ e)\left\{\begin{array}{l}0,3x+0,5y=3\\ 1,5x-2y=1,5\end{array}\right.\end{array}$

Nêu một cách khác để đưa hệ phương trình (IV) về trường hợp thứ nhất ?

$\text{ (IV) }\left\{\begin{array}{l}3x+2y=7\\ 2x+3y=3\end{array}\right.$

Giải tiếp hệ (IV) bằng phương pháp đã nêu ở trường hợp thứ nhất.

$\text{ (IV) }\left\{\begin{array}{l}3x+2y=7\\ 2x+3y=3\end{array}\right.$

Các hệ số của y trong hai phương trình của hệ (II) có đặc điểm gì ?

$\text{ (II) }\left\{\begin{array}{l}2x+y=3\\ x-y=6\end{array}\right.$

Áp dụng quy tắc cộng đại số để biến đồi hệ (I), nhưng ở bước 1, hãy trừ từng vế hai phương trình của hệ (I) và viết ra các hệ phương trình mới thu được.

$\text{ (I) }\left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ x+y=2\end{array}\right.$

Biết rằng: Đa thức P(x) chia hết cho đa thức x – a khi và chỉ khi P(a) = 0. Hãy tìm các giá trị của m và n sao cho đa thức sau đồng thời chia hết cho x + 1 và x – 3:

$P\left(x\right) = m{x}^3 + (m – 2)x^2 – (3n – 5)x – 4n^{}$

a) Xác định các hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2x+by=-4\\ bx-ay=-5\end{array}\right.$ có nghiệm (1 ; -2).

b) Cũng hỏi như vậy nếu phương trình có nghiệm là (√2 - 1; √2)

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}x\sqrt{2}-y\sqrt{3}=1\\ x+y\sqrt{3}=\sqrt{2}\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5}\\ x\sqrt{2}+y=1-\sqrt{10}\end{array}\right.\\ c)\left\{\begin{array}{l}(\sqrt{2}-1)x-y=\sqrt{2}\\ x+(\sqrt{2}+1)y=1\end{array}\right.\end{array}$

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}3x-y=5\\ 5x+2y=23\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}3x+5y=1\\ 2x-y=-8\end{array}\right.\\ c)\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{y}=\frac{2}{3}\\ x+y-10=0\end{array}\right.\end{array}$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+3y=1\\ \left(a^2+1\right)x+6y=2a\end{array}\right.$ trong mỗi trường hợp sau:

a) a = -1;    b) a = 0;    c) a = 1.

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}x+y\sqrt{5}=0\\ x\sqrt{5}+3y=1-\sqrt{5}\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}(2-\sqrt{3})x-3y=2+5\sqrt{3}\\ 4x+y=4-2\sqrt{3}\end{array}\right.\end{array}$

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}3x-2y=11\\ 4x-5y=3\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1\\ 5x-8y=3\end{array}\right.\end{array}$

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}x-y=3\\ 3x-4y=2\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}7x-3y=5\\ 4x+y=2\end{array}\right.\\ c)\left\{\begin{array}{l}x+3y=-2\\ 5x-4y=11\end{array}\right.\end{array}$

Cho hệ phương trình

$\text{ (IV) }\left\{\begin{array}{l}4x+y=2\\ 8x+2y=1\end{array}\right.$

Bằng minh họa hình học và phương pháp thế, chứng tỏ rằng hệ (IV) vô nghiệm.

Bằng minh họa hình học, hãy giải thích tại sao hệ (III) có vô số nghiệm.

$\text{ (III) }\left\{\begin{array}{c}4x-2y=-6\\ -2x+y=3\end{array}\right.$

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp thế (biểu diễn y theo x từ phương trình thứ hai của hệ)

$\left\{\begin{array}{l}4x-5y=3\\ 3x-y=16\end{array}\right.$

Nếu tìm thấy hai nghiệm phân biệt của một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (nghĩa là hai nghiệm được biểu diễn bởi hai điểm phân biệt) thì ta có thể nói gì về số nghiệm của hệ phương trình đó? Vì sao?

Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}4x-4y=2\\ -2x+2y=-1\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{3}x-y=\frac{2}{3}\\ x-3y=2\end{array}\right.\end{array}$

Đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau, giải thích vì sao:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}x+y=2\\ 3x+3y=2\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}3x-2y=1\\ -6x+4y=0\end{array}\right.\end{array}$

Cho các hệ phương trình sau:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}\text{x}=2\\ 2\text{x}-\text{y}=3\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}x+3y=2\\ 2y=4\end{array}\right.\end{array}$

Trước hết, hãy đoán nhận số nghiệm của mỗi hệ phương trình trên (giải thích rõ lí do). Sau đó, tìm tập nghiệm của các hệ đã cho bằng cách vẽ hình.

 Cho hai phương trình 2x + y = 4 và 3x + 2y = 5.

a) Tìm nghiệm tổng quát của mỗi phương trình trên.

b) Vẽ các đường thẳng biểu diễn tập nghiệm của hai phương trình trong cùng một hệ trục tọa độ, rồi xác định nghiệm chung của chúng.

Đố:

Bạn Nga nhận xét: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn vô nghiệm thì luôn tương đương với nhau.

Bạn Phương khẳng định: Hai hệ phương trình bậc nhất hai ẩn cùng có vô số nghiệm thì cũng luôn tương đương với nhau.

Theo em, các ý kiến đó đúng hay sai? Vì sao? (Có thể cho một ví dụ hoặc minh họa bằng đồ thị).

Đoán nhận số nghiệm của hệ phương trình sau bằng hình học:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}2x-y=1\\ x-2y=-1\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}2x+y=4\\ -x+y=1\end{array}\right.\end{array}$

Không cần vẽ hình, hãy cho biết số nghiệm của mỗi hệ phương trình sau đây và giải thích vì sao:

$\begin{array}{l}a)\left\{\begin{array}{l}y=3-2x\\ y=3x-1\end{array}\right.\\ b)\left\{\begin{array}{l}y=\frac{-1}{2}x+3\\ y=\frac{-1}{2}x+1\end{array}\right.\\ c)\left\{\begin{array}{l}2y=-3x\\ 3y=2x\end{array}\right.\\ d)\left\{\begin{array}{l}3x-y=3\\ x-\frac{1}{3}y=1\end{array}\right.\end{array}$

Hệ phương trình trong ví dụ 3 có bao nhiêu nghiệm ? Vì sao ?

Tìm từ thích hợp để điền vào chỗ trống (…) trong câu sau:

Nếu điểm M thuộc đường thẳng ax + by = c thì tọa độ $(x_0; y_0)$ của điểm M là một … của phương trình ax + by = c.