Để hàm số $f\left(x\right) = a\sin \pi x + b$ thỏa mãn $f\left(1\right) = 2$ và ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx=4$ thì a, b nhận giá trị

A. a = π, b = 0.

B. a = π, b = 2.

C. a = 2π, b = 2.

D. a = 2π, b = 3.

Tích phân $L={\int }_0^{\mathrm{\pi }}x \sin xdx$ bằng:

A. L = π

B. L = -π 

C. L = -2 

D. K = 0

Tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}{\sin }^{3}x.\cos xdx$ bằng:

A. 6.

B. 5.

C. 4.

D. $\frac{1}{64}$

Tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}2{\sin }^2 \frac{x}{2}dx$ bằng:

A. $\frac{\mathrm{\pi }}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $-\frac{\mathrm{\pi }}{4}-\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. $-\frac{\mathrm{\pi }}{4}+\frac{\sqrt{2}}{2}$

 Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0;2] thỏa mãn ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=6$. Giá trị của tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(2\sin x\right)\cos xdx$ là

A. -6.

B. 6.

C. -3.

D. 3.

Biết ${\int }_0^b\left(2x-4\right)dx=0$. Khi đó b nhận giá trị bằng:

A. b = 0 hoặc b = 2.

B. b = 0 hoặc b = 4.

C. b = 1 hoặc b = 2.

D. b = 1 hoặc b = 4.

Tích phân $K={\int }_2^3\frac{x}{x^2-1}$ bằng

A. K = ln 2

B. K = 2 ln 2

C. $K=\ln \frac{8}{3}$

D. $K=\frac{1}{2}\ln \frac{8}{3}$

Tích phân $I={\int }_0^1\left(3x^2+2x-1\right)dx$ bằng

A. I = 1.

B. I = 2.

C. I = 3.

D. I = -1.

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a;b]. Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?

A. ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)$

B. $F\text{'}\left(x\right)=f\left(x\right) với mọi x\in \left(a;b\right)$

C. ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right)$

D. Hàm số G cho bởi $G\left(x\right) = F\left(x\right) + 5$ cũng thỏa mãn ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=G\left(b\right)-G\left(a\right)$

Cho ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx=3$. Khi đó ${\int }_0^2\left[4f\left(x\right)-3\right]dx$ bằng

A. 2

B. 4

C. 6

D. 8

Tính nguyên hàm $I={\int }_{}^{}\frac{\ln \left(\ln x\right)}{x}dx$ được kết quả nào sau đây?

A. I = ln x.ln (ln x) + C

B. I = ln x.ln(ln x) + ln x + C

C. I = ln(ln x) - ln x + C

F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y = x{e}^{x^2}$. Hàm số nào sau đây không phải là F(x):

A. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+2$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^{x^2}+5\right)$

C. $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C$

D. $F\left(x\right)=\frac{-1}{2}\left(2-e^{x^2}\right)$

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right) = 2\sin 3x.\cos 2x$ là :

A. $-\frac{1}{5}\cos 5x-\cos x+C$

B. $\frac{1}{5}\cos 5x+\cos x+C$

C. 5 cos5x + cosx + C

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số $f\left(x\right)=ax+\frac{b}{x^2}\left(x\ne 0\right)$, biết rằng$F(-1) = 1, F\left(1\right) = 4, f\left(1\right) = 0.$F(x) là biểu thức nào sau đây

A. $F\left(x\right)=\frac{3x^2}{2}-\frac{3}{2x}-\frac{1}{2}$

B. $F\left(x\right)=\frac{3x^2}{4}-\frac{3}{2x}-\frac{7}{4}$

C. $F\left(x\right)=\frac{3x^2}{2}+\frac{3}{4x}-\frac{7}{4}$

D. $F\left(x\right)=\frac{3x^2}{4}+\frac{3}{2x}+\frac{7}{4}$

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2-3x+\frac{1}{x}$ là:

A. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\ln \left|x\right|+C$

B. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+\frac{1}{x^2}+C$

C. $x^3-3x^2+\ln x+C$

D. $\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-\ln \left|x\right|+C$

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi $\left(C\right):\hspace{0.17em}y=\sqrt{x}; d: y=\frac{1}{2}x$. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

A. $8\mathrm{\pi }$

B. $\frac{16\mathrm{\pi }}{3}$

C. $\frac{8\mathrm{\pi }}{3}$

D. $\frac{8\mathrm{\pi }}{15}$

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = 2x - x^2; Ox.$ Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng?

A. $\frac{16}{15}$

B. $\frac{4\mathrm{\pi }}{3}$

C. $\frac{4}{3}$

D. Đáp án khác

Cho hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a;b] và thỏa mãn $0 < g\left(x\right) < f\left(x\right), \forall x \in [a;b].$ Gọi V là thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay quanh Ox hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: $y = f\left(x\right), y = g\left(x\right), x = a; x = b.$Khi đó V được tính bởi công thức nào sau đây?

A. $\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}{\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]}^2\mathrm{dx}$

B. $\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left[{\mathrm{f}}^2\left(\mathrm{x}\right)-{\mathrm{g}}^2\left(\mathrm{x}\right)\right]\mathrm{dx}$

C. ${\left\{\mathrm{\pi }{\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left[\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right]\mathrm{dx}\right\}}^2$

D. ${\int }_{\mathrm{a}}^{\mathrm{b}}\left|\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)-\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)\right|\mathrm{dx}$

Cho đồ thị hàm số $y = f\left(x\right).$ Diện tích hình phẳng (phần có đánh dấu gạch trong hình) là:

A. ${\int }_{-3}^{0}f\left(x\right)dx+{\int }_4^{0}f\left(x\right)dx$

B. ${\int }_{-3}^{1}f\left(x\right)dx+{\int }_1^{4}f\left(x\right)dx$

C. ${\int }_0^{-3}f\left(x\right)dx+{\int }_0^{4}f\left(x\right)dx$

D. ${\int }_{-3}^{4}f\left(x\right)dx$

 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường $y = x^2 + x - 1 và y = x^4 + x - 1$ là:

A. $\frac{8}{15} \left(dvtt\right)$

B. $\frac{7}{15} \left(dvtt\right)$

C. $\frac{-7}{15} \left(dvtt\right)$

D. $\frac{4}{15} \left(dvtt\right)$

Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = x^2,$ trục hoành và hai đường thẳng $x = -1, x = 3 là:$

A. $\frac{28}{9} \left(dvtt\right)$

B. $\frac{28}{3} \left(dvtt\right)$

C. $\frac{1}{3} \left(dvtt\right)$

Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = f_1\left(x\right), y = f_2\left(x\right)$ liên tục và hai đường thẳng$x = a, x = b$được tính theo công thức:

A. $S={\int }_a^b\left|f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right|dx$

B. $S=\left|{\int }_a^b{f}_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)dx\right|$

C. $S={\int }_a^b\left[f_1\left(x\right)-f_2\left(x\right)\right]dx$

D. $S={\int }_a^b{f}_1\left(x\right)-{\int }_a^b{f}_2\left(x\right)dx$

Tích phân $I={\int }_0^4\left|x-2\right|dx$ bằng:

A. 0.

B. 2.

C. 8.

Tích phân $K={\int }_1^2\left(2x-1\right)\ln xdx$ bằng:

A. $K=3\ln 2+\frac{1}{2}$

B. $K=\frac{1}{2}$

C. $K=3\ln 2$

D. $K=2\ln 2-\frac{1}{2}$

Tích phân $I={\int }_0^{\mathrm{\pi }}{x}^2\sin xdx$ bằng:

A. ${\mathrm{\pi }}^2-4$

B. ${\mathrm{\pi }}^2+4$

C. $2{\mathrm{\pi }}^2-3$

D. $2{\mathrm{\pi }}^2+3$

Đổi biến $x = 2\sin t$ tích phân ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}}$ trở thành:

A. ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}tdt$

B. ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}dt$

C. ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{6}}\frac{1}{t}dt$

D. ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{3}}dt$

Tích phân $I={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin xdx$ bằng:

A. –1

B. 1

C. 2

Biết ${\int }_0^b\left(2x-4\right)dx=0$. Khi đó b nhận giá trị bằng:

A. b = 0 hoặc b = 2.

B. b = 0 hoặc b = 4.

C. b = 1 hoặc b = 2.

D. b = 1 hoặc b = 4.

Tích phân $K={\int }_2^3\frac{x}{x^2-1}$ bằng

A. K = ln 2

B. K = 2 ln 2

C. $K=\ln \frac{8}{3}$

D. $K=\frac{1}{2}\ln \frac{8}{3}$

Tích phân $I={\int }_0^1\left(3x^2+2x-1\right)dx$ bằng

A. I = 1.

B. I = 2.

C. I = 3.

D. I = -1.

Giả sử ${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx=2 và {\int }_c^{b}f\left(x\right)dx=3$ và $a < b < c$ thì ${\int }_a^{c}f\left(x\right)dx$ bằng bao nhiêu ?

A. 5.

B. 1. 

C. –1.

D. –5

Tính nguyên hàm $I={\int }_{}^{}\frac{\ln \left(\ln x\right)}{x}dx$ được kết quả nào sau đây?

A. I = ln x.ln (ln x) + C

B. I = ln x.ln(ln x) + ln x + C

C. I = ln(ln x) - ln x + C

D. I = ln(ln x) + ln x + C

Một nguyên hàm của$f\left(x\right) = x.\ln x$ là kết quả nào sau đây, biết nguyên hàm này triệt tiêu khi x = 1?

A. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2\ln x-\frac{1}{4}\left(x^2+1\right)$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2\ln x+\frac{1}{4}x+1$A. 

C. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}x\ln x+\frac{1}{2}\left(x^2+1\right)$

D. Một kết quả khác

Kết quả của $I = \int x{e}^x.dx là:$

A. $I=e^x+x{e}^x+C$

B. $I=\frac{x^2}{2}{e}^x+C$

C. $I=x{e}^x-e^x+C$

D. $I=\frac{x^2}{2}{e}^x+e^x+C$

Để tính$\int x^2.\cos x.dx$theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A. $\left\{\begin{array}{l}u=x\\ dv=x\cos xdx\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}u=x^2\\ dv=\cos xdx\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}u=\cos x\\ dv=x^{2}dx\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}u=x^2\cos x\\ dv=dx\end{array}\right.$

Để tính$\int \mathrm{xln}(2 + \mathrm{x}).\mathrm{dx}$ theo phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta đặt:

A. $\left\{\begin{array}{l}u=v\\ dv=\ln \left(2+x\right)dx\end{array}\right.$

B. $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(2+x\right)\\ dv=xdx\end{array}\right.$

C. $\left\{\begin{array}{l}u=x\ln \left(2+x\right)\\ dv=dx\end{array}\right.$

D. $\left\{\begin{array}{l}u=\ln \left(2+x\right)\\ dv=dx\end{array}\right.$

F(x) là nguyên hàm của hàm số $y = {\sin }^{4}x.\cos x.$

F(x) là hàm số nào sau đây?

A. $F\left(x\right)=\frac{{\cos }^{5}x}{5}+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{{\cos }^{4}x}{4}+C$

C. $F\left(x\right)=\frac{{\sin }^{4}x}{4}+C$

D. $F\left(x\right)=\frac{{\sin }^{5}x}{5}+C$

Gọi F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y=\frac{\ln x}{x}$.

Nếu $F\left(e^2\right)=4 thì {\int }_{}^{}\frac{\ln x}{x}dx bằng$

A. $F\left(x\right)=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+C$

B. $F\left(x\right)=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+2$

C. $F\left(x\right)=\frac{{\ln }^{2}x}{2}-2$

D. $F\left(x\right)=\frac{{\ln }^{2}x}{2}+x+C$

F(x) là một nguyên hàm của hàm số $y = x{e}^{x^2}$. Hàm số nào sau đây không phải là F(x):

A. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+2$

B. $F\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(e^{x^2}+5\right)$

C. $F\left(x\right)=-\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C$

D. $F\left(x\right)=\frac{-1}{2}\left(2-e^{x^2}\right)$

Để tính ${\int }_{}^{}\frac{e^{\ln x}}{x}dx$ theo phương pháp đổi biến số, ta đặt:

A.  $t=e^{\ln x}$

B. t = ln x

C. t = x

D. $t=\frac{1}{x}$