Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AB = a. Gọi I là trung điểm của AC. Hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thỏa mãn $\overrightarrow{BI}$ = 3$\overrightarrow{IH}$. Góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) là 60 độ. Thể tích của khối chóp S.ABC là:

A. V = a³/9

B.V = a³/6

C.V = a³/18

D.V = a³/3

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng 48cm³. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm các cạnh CC', BC và B'C', khi đó thể tích V của khối chóp A'.MNP là:

A.16/3 cm³

B.8cm³

C.24cm³

D. 12cm³

Hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có diện tích đáy bằng 4, diện tích ba mặt bên lần lượt là 9, 18 và 10. Thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng:

A. $\sqrt[4]{11951}$

B. $\frac{\sqrt[4]{11951}}{2}$

C. $\sqrt{11951}$

D. $\frac{\sqrt{11951}}{2}$

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng:

A. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a\sqrt{21}}{7}$

D. $\frac{a\sqrt{6}}{4}$

Khối chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, SA = SB = SC = a, cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là:

A.$\frac{a^3}{2}$

B.$\frac{a^3}{8}$

C.$\frac{3a^3}{8}$

D.$\frac{a^3}{4}$

Hình chóp S.ABCD có đáy ABCDa là hình vuông cạnh a, SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Biết côsin của góc tạo bởi mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng $\frac{2\sqrt{17}}{17}$ . Thể tích Vcủa khối chóp S.ABCD là:

A. V = $\frac{a^3\sqrt{13}}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{17}}{6}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{17}}{2}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{13}}{2}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy (ABCD) trùng với trung điểm AB. Biết AB = a, BC = 2a, BD = a$\sqrt{10}$. Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy là 60⁰. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD theo a.

A. V = $\frac{3\sqrt{30}{a}^3}{8}$

B. V = $\frac{\sqrt{30}{a}^3}{4}$

C. V = $\frac{\sqrt{30}{a}^3}{12}$

D. V = $\frac{\sqrt{30}{a}^3}{8}$

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng a√3/4. Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC.A'B'C'

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và SM bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$. Tính thể tích của khối chóp đã cho theo a.

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Cho tứ diện đều có cạnh bằng 3. M là một điểm thuộc miền trong của khối tứ diện tương ứng. Tính giá trị lớn nhất của tích các khoảng cách từ điểm M đến bốn mặt của tứ diện đã cho.

A. 36

B. 9/64

C. $\sqrt{6}$

D.$\frac{\sqrt{6}}{4}$

Cho hình chóp S. ABC có SA, SB, SC đôi một vuông góc với nhau và SA=SB=SC=a. Sin của góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng:

A. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

D. $\frac{2}{\sqrt{6}}$

Cho khối hộp ABCD. A'B'C'D' có đáy là hình chữ nhật với AB = $\sqrt{3}$; AD = $\sqrt{7}$. Hai mặt bên (ABB'A') và (ADD'A') cùng tạo với đáy góc 45⁰, cạnh bên của hình hộp bằng 1 (hình vẽ). Thể tích khối hộp là:

A. $\sqrt{7}$ 

B. $3\sqrt{3}$

C. 5

D. $7\sqrt{7}$

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD, M là trung điểm của SC. Mặt phẳng (P) qua AM và song song với BD cắt SB, SD tại N, K. Tính tỉ số thể tích của khối S. ANMK và khối chóp S.ABCD.

A. $\frac{2}{9}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{3}{5}$

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, biết SC = $a\sqrt{3}$. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SD, CD, BC. Tính thể tích khối chóp AMNPQ

A. $\frac{a^3}{3}$

B. $\frac{a^3}{4}$ 

C. $\frac{a^3}{8}$

D. $\frac{a^3}{12}$

Cho điểm M nằm trên cạnh SA, điểm N nằm trên cạnh SB của hình chóp tam giác S. ABC sao cho $\frac{SM}{MA}=\frac{1}{2}, \frac{SN}{NB}=2$. Mặt phẳng (α) qua MN và song song với SC chia khối chóp thành 2 phần. Gọi V₁ là thể tích của khối đa diện chứa A, V₂ là thể tích của khối đa diện còn lại. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$

A. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{4}{5}$

B. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{5}{4}$

C. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{5}{6}$

D. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{6}{5}$

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh bằng a, tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, SC hợp với đáy một góc 30⁰, M là trung điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S. BCM.

A. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{48}$

B. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{16}$

C. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{96}$

D. $\frac{\sqrt{3}{a}^3}{24}$

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy, AB = a, BC = $a\sqrt{2}$, SC=2a và . Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC

A. R = a

B. R = $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. R = $a\sqrt{3}$

D. R = $\frac{a}{2}$

Xét tứ diện ABCD có các cạnh AC=CD=DB=BA=2 và AD, BC thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích tứ diện ABCD bằng:

A. $\frac{16\sqrt{3}}{9}$

B. $\frac{32\sqrt{3}}{27}$

C. $\frac{16\sqrt{3}}{27}$

D. $\frac{32\sqrt{3}}{9}$

Cho khối lăng trụ tam giác ABC. A'B'C'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB' và CC'. Mặt phẳng (AMN) chia khối lăng trụ thành hai phần. Gọi V₁ là thể tích của khối đa diện chứa đỉnh B' và V₂ là thể tích khối đa diện còn lại. Tính tỉ số V₁/V₂.

A. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{7}{2}$

B. $\frac{V_1}{V_2}=2$

C. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{3}$

D. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{5}{2}$

Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB=BC=CD=DA=1 và AC, BD thay đổi. Giá trị lớn nhất của thể tích khối tứ diện ABCD bằng:

A. $\frac{2\sqrt{3}}{27}$

B. $\frac{4\sqrt{3}}{27}$

C. $\frac{2\sqrt{3}}{9}$

D. $\frac{4\sqrt{3}}{9}$

Cho khối hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có thể tích bằng 2110. Biết (MNP), DN=3ND', CP=2C'P như hình vẽ. Mặt phẳng (MNP) chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện. Thể tích khối đa diện nhỏ hơn bằng:

A.$\frac{5275}{6}$

B.$\frac{8440}{9}$

C.$\frac{7485}{18}$

D.$\frac{5275}{12}$

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm SB, N thuộc cạnh SD sao cho SN = 2ND. Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN.

A. V = $\frac{1}{8}{a}^3$

B. V = $\frac{1}{6}{a}^3$

C. V = $\frac{1}{36}{a}^3$

D. V = $\frac{1}{12}{a}^3$

Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A'B'C' có tất cả các cạnh đều bằng a. Khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và AB' bằng:

A. $\frac{a\sqrt{21}}{7}$

B. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{7}}{4}$

D. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A'B'C' có cạnh đáy là a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a/2. Thể tích của khối lăng trụ bằng:

A. $\frac{3\sqrt{2}{a}^3}{12}$

B. $\frac{\sqrt{2}{a}^3}{16}$

C. $\frac{3a^3\sqrt{2}}{16}$

D. $\frac{3a^3\sqrt{2}}{48}$

Cho hình chóp S. ABC, có AB=5 (cm), BC=6 (cm), AC=7 (cm). Các mặt bên tạo với đáy 1 góc 60⁰. Thể tích của khối chóp bằng:

A. $\frac{105\sqrt{3}}{2}$ ($c{m}^3$)

B. $\frac{35\sqrt{3}}{2}\left(c{m}^3\right)$

C. $24\sqrt{3} \left(c{m}^3\right)$

D. $8\sqrt{3} \left(c{m}^3\right)$

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD. Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AC và vuông góc với mặt phẳng (SCD), cắt đường thẳng SD tại E. Gọi V và V₁ lần lượt là thể tích các khối chóp S.ABCD và D.ACE. Tính số đo góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy của hình chóp S.ABCD biết V = 5$V_1$

A. 60⁰

B. 120⁰

C. 45⁰

D. 90⁰

Cho tứ diện OABC biết OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, biết OA=3, OB=4 và thể tích khối tứ diện OABC bằng 6. Khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) bằng:

A. 3

B. $\frac{\sqrt{41}}{12}$

C. $\frac{144}{\sqrt{41}}$

D. $\frac{12}{\sqrt{41}}$

Xét khối lăng trụ tam giác ABC. A'B'C'. Mặt phẳng đi qua C' và các trung điểm của AA', BB' chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số thể tích bằng:

A. $\frac{2}{3}$

B. $\frac{1}{2}$

C. 1

D. $\frac{1}{3}$

Cho hình lập phương ABCD. A'B'C'D' có cạnh bằng a. Gọi O và O' lần lượt là tâm các hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh B'C' và CD. Tính thể tích khối tứ diện OO'MN.

A. $\frac{a^3}{8}$

B. a³

C. $\frac{a^3}{12}$

D. $\frac{a^3}{24}$

Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA =$\frac{a\sqrt{2}}{2}$ , OB=OC=a. Gọi H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối tứ diện OABH.

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{24}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{48}$

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = a$\sqrt{2}$. Hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H của BC, SH = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. BHD.

A. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{a\sqrt{5}}{2}$

C. $\frac{a\sqrt{17}}{4}$

D. $\frac{a\sqrt{11}}{4}$

Cho hình lăng trụ đứng ABC. A'B'C' có đáy là tam giác vuông và AB=BC=a, AA' = $a\sqrt{2}$, M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách d của hai đường thẳng AM và B'C.

A. $d=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

B. $d=\frac{a\sqrt{6}}{6}$

C. $d=\frac{a\sqrt{7}}{7}$

D. $d=\frac{a\sqrt{3}}{3}$

Cho lăng trụ tam giác đều ABC. A'B'C' có cạnh đáy bằng a và $AB\text{'}\perp BC\text{'}$. Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho.

A. $\frac{7a^3}{8}$

B. $a^3\sqrt{6}$

C. $\frac{a^3\sqrt{6}}{8}$

D. $\frac{a^3\sqrt{6}}{4}$

Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm BC. Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SM cắt SB, SC lần lượt tại E, F. Biết $V_{S.AEF}=\frac{1}{4}{V}_{S.ABC}$. Tính thể tích V của khối chóp S. ABC.

A. $\frac{a^3}{2}$

B. $\frac{a^3}{8}$ 

C. $\frac{2a^3}{5}$

D. $\frac{a^3}{12}$ 

Cắt khối hộp ABCD. A'B'C'D' bởi các mặt phẳng (AB'D'), (CB'D'), (B'AC), (D'AC) ta được khối đa diện có thể tích lớn nhất là:

A.A'CB'D'

B.A'C'BD

C.ACB'D'

D.AC'B'D'

Cho hình chóp tứ giác S. ABCD đáy là hình bình hành có thể tích bằng V. Lấy điểm B', D' lần lượt là trung điểm của cạnh SB và SD. Mặt phẳng qua (AB'D') cắt cạnh SC tại C'. Khi đó thể tích khối chóp S. AB'C'D' bằng:

A. $\frac{V}{3}$

B. $\frac{2V}{3}$

C. $\frac{V^3}{3}$

D. $\frac{V}{6}$

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a. Mặt bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60⁰. Mặt phẳng (P) chứa AB và đi qua trọng tâm G của tam giác SAC cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Thể tích khối chóp S. ABMN là:

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

D. $a^3\sqrt{3}$

Cho tứ diện ABCD có AB = AD = a$\sqrt{2}$, BC = BD = a và CA = CD = x. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (ACD) bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Biết thể tích của khối tứ diện bằng $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$. Góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) là:

A.60⁰

B.45⁰

C.90⁰

D.120⁰

Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng ${60}^o$. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh cạnh SD, DC. Thể tích khối tứ diện ACMN là:

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{4}$

B. $\frac{a^3}{8}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$

Cho hình chóp tam giác S. ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=a và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Thể tích V của khối chóp A. BCNM bằng:

A. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

B. $\frac{a^3\sqrt{3}}{48}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{16}$