Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi B' và D' theo thứ tự là trung điểm các cạnh SB, SD. Mặt phẳng (AB'D') cắt cạnh SC tại C’. Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được chia ra bởi mặt phẳng (AB'D')

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{12}$

D. $\frac{1}{5}$

Tính chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính R .

Cho a , b , c , x , y , z  là các số thực thay đổi thỏa mãn ${(x+1)}^2+{(y+1)}^2+{(z-2)}^2=4$  và a + b + c = 6 . Tính giá trị nhỏ nhất của $P={(x-a)}^2+{(y-b)}^2+{(z-c)}^2.$ .

Một vật thể đựng đầy nước hình lập phương không có nắp. Khi thả một khối cầu kim loại đặc vào trong hình lập phương thì thấy khối cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình lập phương đó. Tính bán kính của khối cầu, biết thể tích nước còn lại trong hình lập phương là 10. Giả sử các mặt của hình lập phương có độ dày không đáng kể.

Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua tâm là 68,5(cm) . Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và màu đen, mỗi miếng có diện tích $49,83 \left(c{m}^2\right)$ . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?

Cho hai mặt cầu $\left(S_1\right) và \left(S_2\right)$ đồng tâm I, có bán kính lần lượt là $R_1=2 và R_2=\sqrt{10}$ . Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A , B  nằm trên  $\left(S_1\right)$ và hai đỉnh C , D  nằm trên $\left(S_2\right)$ . Thể tích lớn nhất của khối tứ diện ABCD bằng

Trong không gian Oxyz , lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC = 1 . Trên hai tia Ox,Oy lần lượt lấy hai điểm A,B thay đổi sao cho OA + OB = OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC ?

Cho tam giác ABC đều cạnh a , đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d ,  H là trực tâm tam giác SBC. Biết rằng khi điểm S thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường tròn (C). Trong số các mặt cầu chứa đường tròn (C) , bán kính mặt cầu nhỏ nhất là

Một hộp dựng bóng tennis có dạng hình trụ. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng tennis được xếp theo chiều dọc, các quả bóng tennis có kích thước như nhau. Thể tích phần không gian còn trống trong hộp chiếm tỉ lệ a% so với thể tích của hộp bóng tennis. Số a gần nhất với số nào sau đây?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2$a^2$, AB = a$\sqrt{2}$; BC = 2a. Gọi M là trung điểm của DC. Hai mặt phẳng (SBD) và (SAM) cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAM) bằng

A. $\frac{4a\sqrt{10}}{15}$

B. $\frac{3a\sqrt{10}}{5}$

C. $\frac{2a\sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{3a\sqrt{10}}{15}$

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, mặt phẳng (A'BC) tạo với đáy một góc 30$°$ và tam giác có diện tích bằng $a^2\sqrt{3}$ . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $\frac{3a^3\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{3a^3\sqrt{3}}{4}$

Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60$°$. Tính theo thể tích khối chóp S.ABC.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

B. V = $\frac{a^3}{8}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên billiards đó bằng?

Người ta sản xuất một vật lưu niệm (N) bằng thủy tinh trong suốt có dạng khối tròn xoay mà thiết diện qua trục là hình thang cân. Bên trong (N) có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính lần lượt là R = 3cm và r = 1cm  tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của (N) đồng thời hai khối cầu tiếp xúc với hai đáy của (N). Tính thể tích của vật lưu niệm đó.

Cho hình chóp  có đáy là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a. Cạnh bên SA = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng là trung điểm của H của đoạn thẳng AO. Tính khoảng cách d giữa các đường thẳng SD và AB.

A. d = 4a.

B. d = $\frac{4a\sqrt{22}}{11}$

C. d = 2a

D. d = $\frac{3a\sqrt{2}}{11}$

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính cosin của góc giữa hai mặt bên không liền kề nhau.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{5}{3}$

Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất

A. Bốn cạnh

B. Năm cạnh

C. Hai cạnh

D. Ba cạnh

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hai mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết SC = a$\sqrt{3}$?

A. $\frac{2a^3\sqrt{6}}{9}$

B. $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng (P) chứa AM và song song với BD chia khối chóp thành 2 khối đa diện. Đặt $V_1$ là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S và $V_2$  là thể tích khối đa diện có chứa đáy. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$  bằng:

A. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{3}{2}$

B. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{1}{2}$

C.  $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{2}{3}$

D.  $\frac{V_1}{V_2}$ = 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA$\perp$(ABCD). Gọi M là hình chiếu của A trên SB. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AM$\perp$SD

B. AM$\perp$(SCD)

C. AM$\perp$CD

D. AM$\perp$(SBC)

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và cạnh bên SB vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết SB = 3a, AB = 4a, BC = 2a. Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) bằng:

A. $\frac{12\sqrt{61}a}{61}$

B. $\frac{3\sqrt{14}a}{14}$

C. $\frac{4a}{5}$

D. $\frac{12\sqrt{29}a}{29}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a$\sqrt{3}$. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (ABCD) bằng:

A. arcsin $\frac{\sqrt{3}}{5}$

B. 45$°$

C. 60$°$

D. 30$°$

Cho hình chóp đều S.ABCD có AC = 2a, góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 45$°$. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

A. $a^3\sqrt{2}$.

B. $\frac{2\sqrt{3}{a}^3}{3}$.

C. $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$.

D. $\frac{a^3}{2}$.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAD vuông tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết AB = a, SA = 2SD, mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng đáy một góc 60$°$. Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

A. $\frac{15a^3}{2}$

B. $\frac{3a^3}{2}$

C. $\frac{5a^3}{2}$

D. $5a^3$

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Côsin của góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng:

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Cho hình chóp đều S.ABC có AB = a, $\widehat{ASB} = 30°$. Lấy các điểm B', C' lần lượt thuộc các cạnh SB, SC sao cho chu vi tam giác AB'C' nhỏ nhất. Tính chu vi đó.

A. ($\sqrt{3}$-1)a

B. $\sqrt{3}$a

C. $\frac{a}{\sqrt{3} +\hspace{0.17em}1}$

D. (1+$\sqrt{3}$)a

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm các cạnh SB, SC. Biết mặt phẳng (AEF) vuông góc với mặt phẳng (SBC).

Thể tích của khối chóp S.ABC.

A. $\frac{a^3\sqrt{5}}{8}$

B. $\frac{a^3\sqrt{5}}{24}$

C. $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh bằng 1. Gọi M là trung điểm của BB'. Tính thể tích khối A'MCD.

A. $\frac{1}{12}$

B. $\frac{2}{15}$

C. $\frac{4}{15}$

D. $\frac{1}{28}$

Tính thể tích của khối bát diện đều có tất cả các cạnh bằng 2a.

A. $\frac{\sqrt{2}}{6}{a}^3$

B. $\frac{4\sqrt{2}}{3}{a}^3$

C. $\frac{8\sqrt{2}}{3}{a}^3$

D. $\frac{2\sqrt{2}}{3}{a}^3$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, biết $V_{S.ABCD\hspace{0.17em}}= \frac{a^3}{3\sqrt{3}}$. Tính góc giữa SA và mặt phẳng (SCD).

A. 60$°$

B. 45$°$

C. 30$°$

D. 90$°$

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C', biết thể tích lăng trụ là V. Tính thể tích khối chóp C.ABB'A'?

A. $\frac{2}{3}$V

B. $\frac{1}{3}$V

C. $\frac{3}{4}$V

D. $\frac{1}{2}$V

Cosin góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau là

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{\sqrt{3}}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Tính thể tích khối đa diện ABC.A'B'C' theo V.

A. $\frac{3V}{4}$

B. $\frac{2V}{3}$

C. $\frac{V}{2}$

D. $\frac{V}{4}$

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của điểm A' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' bằng BC bằng $\frac{a\sqrt{3}}{4}$.  Tính theo thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

Một hình hộp chữ nhật (không phải hình lập phương) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?

A. 4.

B. 2.

C. 3.

D. 1.

Hình lăng trụ có thể có số cạnh là số nào sau đây?

A. 3000.

B. 3001.

C. 3005.

D. 3007.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M, N theo thứ là trung điểm của SA, SB. Tỉ số thể tích $\frac{V_{S.CDMN}}{V_{S.CDAB}}$  là

A. $\frac{5}{8}$

B. $\frac{3}{8}$

C. $\frac{1}{4}$

D. $\frac{1}{2}$

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, mặt bên tạo với đáy một góc 60$°$. Khi đó khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng

A. $\frac{a\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

C. $a\sqrt{3}$

D. $\frac{3a}{4}$

Gọi r , R lần lượt là bán kính mặt cầu nội tiếp và ngoại tiếp tứ diện đều ABCD. Tính tỉ số $\frac{R}{r}$ ?

Cho hình chóp S.ABC có $SA=SB=SC=AB=a,BC=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ và mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) . Tính diện tích xung quanh của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.