Lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính diện tích S của $∆$A'BC.

A. S = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

B. S = $\frac{a^2\sqrt{5}}{4}$

C. S = $\frac{a^2\sqrt{7}}{4}$

D. S = $\frac{3a^2}{4}$

Hình chóp tam giác đều SABC có AB = a, (SC;(ABC)) = 60$°$. Tính thể tích V của SABC

A. V = $\frac{a^3}{4}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

D. V = $\frac{a^3}{12}$

Cho lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C’ có AA' = $\frac{a}{2}, ∆$ABC đều cạnh a. Tính diện tích S của $∆$A'BC.

A. S = $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

B. S = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

C. S = $\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$

D. S = $\frac{a^2}{2}$

Hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’ có AB = a, AD = a$\sqrt{2}$ và khoảng cách (D,(AD'C)) = $\frac{\sqrt{2}a}{3}$. Tính AA’.

A. AA' = $\frac{a}{\sqrt{3}}$

B. AA' = $a\sqrt{3}$

C. AA' = a

D. AA' = $\frac{a}{\sqrt{3}}$

Hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình thoi, $∆$BCD là $∆$đều cạnh a, tâm H. Biết SH$\perp$(ABCD) và $∆$SAC vuông tại S. Tính thể tích V của SABCD.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

B. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

D. V = $\frac{a^3}{3}$

Cho lục giác đều ABCDEF cạnh a. Cho tứ giác ABCD quay quanh AD tạo thành khối tròn xoay có thể tích V. Tính V.

A. V = $\frac{3{\mathrm{\pi a}}^3\sqrt{3}}{4}$

B. V = ${\mathrm{\pi a}}^3$

C. V = ${\mathrm{\pi a}}^3$$\sqrt{2}$

D. V = $\frac{7{\mathrm{\pi a}}^3}{8\sqrt{3}}$

Cho tứ diện ABCD. M thuộc đoạn AB và AM = $\frac{1}{3}$AB. Gọi ($\alpha$) là mặt phẳng qua M, ($\alpha$)// AC, ($\alpha$)// BD. Gọi $V_1, V_2$ là 2 phần thể tích tứ diện được chia ra bởi ($\alpha$). Tính k = $\frac{V_1}{V_2}$ (V₁ là thể tích đa diện có chứa đỉnh A).

A. k = $\frac{5}{9}$

B. k = $\frac{1}{3}$

C. k = $\frac{12}{15}$

D. k = $\frac{7}{20}$

Hình chóp SABC có $∆$SAB, $∆$SBC là các tam giác đều cạnh a, mp(SAC)$\perp$mp(ABC). Tính AC.

A. AC = 2a.

B. AC = a$\sqrt{3}$.

C. AC = a$\sqrt{2}$.

D. AC = a.

Hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = a$\sqrt{2}$. Tính thể tích V của A'BB'D.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{2}$

B. V = $\frac{2a^3\sqrt{2}}{3}$

C. V = $a^3\sqrt{2}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB = BC = a, AD = 2a. Biết SA vuông góc với đáy (ABCD) và SA = a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SB, CD. Tính sin góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (SAC).

A. $\frac{\sqrt{5}}{5}$

B. $\frac{\sqrt{55}}{10}$

C. $\frac{3\sqrt{5}}{10}$

Cho hình chóp S.ABC có SA = 1, SB = 2, SC = 3 và $\widehat{ASB} = 60°, \widehat{BSC} = 120°, \widehat{CSA} = 90°$ . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\sqrt{2}$

C. $\frac{\sqrt{2}}{6}$

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Đặt $\overrightarrow{AA\text{'}} = \overrightarrow{a}, \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{c}$. Gọi I là điểm thuộc CC' sao cho $\overrightarrow{C\text{'}I} = \frac{1}{3}\overrightarrow{C\text{'}C}$ , điểm G thỏa mãn $\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GA\text{'}}+\overrightarrow{GB\text{'}}+\overrightarrow{GC\text{'}} = \overrightarrow{0}$ . Biểu diễn véc tơ $\overrightarrow{IG}$ qua véc tơ $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là khẳng định đúng?

A. $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}\right)$

B. $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{3}\left(\frac{1}{3}\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+2\overrightarrow{c}\right)$

C. $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\right)$

D. $\overrightarrow{IG} = \frac{1}{4}\left(\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}\right)$

Cho khối hộp ABCD.A'B'C'D' có thể tích bằng 2018. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Mặt phẳng (MB'D') chia khối chóp ABCD.A'B'C'D' thành hai khối đa diện. Tính thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A

A. $\frac{5045}{6}$

B. $\frac{7063}{6}$

C. $\frac{10090}{17}$

D. $\frac{7063}{12}$

Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt là hình vuông cạnh a. Các điểm M, N lần lượt nằm trên AD', DB sao cho AM = DN = x; (0 < x < a$\sqrt{2}$). Khi x thay đổi, đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định nào sau đây?

A. (CB'D')

B. (A'BC)

C. (AD'C)

Cho tam giác có A(1;-1), B(3;-3), C(6;0). Diện tích $∆$ABC là

A. 6

B. 6$\sqrt{2}$

C. 12

D. 8

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy (ABCD), SA = 2a. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

A. $\frac{a^3}{3}$

B. $\frac{a^3}{6}$

C. $\frac{a^3}{4}$

D. $\frac{a^3}{5}$

Cho hình chóp SABC có A', B' lần lượt là trung điểm của SA, SB. Gọi $V_1, V_2$ lần lượt là thể tích của khối chóp SA'B'C và SABC. Tính tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$

A. $\frac{1}{8}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{1}{3}$

Cho tứ diện S.ABC có các cạnh SA,SB,SC đôi một vuông góc với nhau. Biết SA = 3a, SB = 4a, SC = 5a. Tính theo a thể tích V của khối tứ diện S.ABC

A. V = 20$a^3$

B. V = 10$a^3$

C. $\frac{5a^3}{2}$

D. 5$a^3$

Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA$\perp$(ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính $\frac{50V\sqrt{3}}{a^3}$ , với V là thể tích khối chóp A.BCMN

A. 10

B. 12

C. 9

D. 11

Trong một đợt tổ chức cho học sinh tham gia dã ngoại ngoài trời. Để có thể có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan dã ngoại, các bạn học sinh đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bằng bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m và chiều rộng là 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm hai cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho hai mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất và cách nhau x (m) (xem hình vẽ). Tìm x để khoảng không gian phía trong lều là lớn nhất?

A. x = $3\sqrt{3}$

B. x = $3\sqrt{2}$

C. x = 2

D. x = 4

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi B' và D' theo thứ tự là trung điểm các cạnh SB, SD. Mặt phẳng (AB'D') cắt cạnh SC tại C’. Tính tỷ số thể tích của hai khối đa diện được chia ra bởi mặt phẳng (AB'D')

A. $\frac{1}{2}$

B. $\frac{1}{6}$

C. $\frac{1}{12}$

D. $\frac{1}{5}$

Tính chiều cao của khối trụ có thể tích lớn nhất nội tiếp trong hình cầu có bán kính R .

Cho a , b , c , x , y , z  là các số thực thay đổi thỏa mãn ${(x+1)}^2+{(y+1)}^2+{(z-2)}^2=4$  và a + b + c = 6 . Tính giá trị nhỏ nhất của $P={(x-a)}^2+{(y-b)}^2+{(z-c)}^2.$ .

Một vật thể đựng đầy nước hình lập phương không có nắp. Khi thả một khối cầu kim loại đặc vào trong hình lập phương thì thấy khối cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình lập phương đó. Tính bán kính của khối cầu, biết thể tích nước còn lại trong hình lập phương là 10. Giả sử các mặt của hình lập phương có độ dày không đáng kể.

Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua tâm là 68,5(cm) . Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và màu đen, mỗi miếng có diện tích $49,83 \left(c{m}^2\right)$ . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?

Cho hai mặt cầu $\left(S_1\right) và \left(S_2\right)$ đồng tâm I, có bán kính lần lượt là $R_1=2 và R_2=\sqrt{10}$ . Xét tứ diện ABCD có hai đỉnh A , B  nằm trên  $\left(S_1\right)$ và hai đỉnh C , D  nằm trên $\left(S_2\right)$ . Thể tích lớn nhất của khối tứ diện ABCD bằng

Trong không gian Oxyz , lấy điểm C trên tia Oz sao cho OC = 1 . Trên hai tia Ox,Oy lần lượt lấy hai điểm A,B thay đổi sao cho OA + OB = OC . Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện O.ABC ?

Cho tam giác ABC đều cạnh a , đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d ,  H là trực tâm tam giác SBC. Biết rằng khi điểm S thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường tròn (C). Trong số các mặt cầu chứa đường tròn (C) , bán kính mặt cầu nhỏ nhất là

Một hộp dựng bóng tennis có dạng hình trụ. Biết rằng hộp chứa vừa khít ba quả bóng tennis được xếp theo chiều dọc, các quả bóng tennis có kích thước như nhau. Thể tích phần không gian còn trống trong hộp chiếm tỉ lệ a% so với thể tích của hộp bóng tennis. Số a gần nhất với số nào sau đây?

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích bằng 2$a^2$, AB = a$\sqrt{2}$; BC = 2a. Gọi M là trung điểm của DC. Hai mặt phẳng (SBD) và (SAM) cùng vuông góc với đáy. Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAM) bằng

A. $\frac{4a\sqrt{10}}{15}$

B. $\frac{3a\sqrt{10}}{5}$

C. $\frac{2a\sqrt{10}}{5}$

D. $\frac{3a\sqrt{10}}{15}$

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a, mặt phẳng (A'BC) tạo với đáy một góc 30$°$ và tam giác có diện tích bằng $a^2\sqrt{3}$ . Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A. $\frac{3a^3\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{3a^3\sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

D. $\frac{3a^3\sqrt{3}}{4}$

Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên và đáy bằng 60$°$. Tính theo thể tích khối chóp S.ABC.

A. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{24}$

B. V = $\frac{a^3}{8}$

C. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

D. V = $\frac{a^3\sqrt{3}}{8}$

Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5cm. Bán kính của viên billiards đó bằng?

Người ta sản xuất một vật lưu niệm (N) bằng thủy tinh trong suốt có dạng khối tròn xoay mà thiết diện qua trục là hình thang cân. Bên trong (N) có hai khối cầu ngũ sắc với bán kính lần lượt là R = 3cm và r = 1cm  tiếp xúc với nhau và tiếp xúc với mặt xung quanh của (N) đồng thời hai khối cầu tiếp xúc với hai đáy của (N). Tính thể tích của vật lưu niệm đó.

Cho hình chóp  có đáy là hình vuông tâm O, cạnh bằng 4a. Cạnh bên SA = 2a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng là trung điểm của H của đoạn thẳng AO. Tính khoảng cách d giữa các đường thẳng SD và AB.

A. d = 4a.

B. d = $\frac{4a\sqrt{22}}{11}$

C. d = 2a

D. d = $\frac{3a\sqrt{2}}{11}$

Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính cosin của góc giữa hai mặt bên không liền kề nhau.

A. $\frac{1}{3}$

B. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

C. $\frac{1}{2}$

D. $\frac{5}{3}$

Mỗi đỉnh của một hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất

A. Bốn cạnh

B. Năm cạnh

C. Hai cạnh

D. Ba cạnh

Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hai mặt (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp biết SC = a$\sqrt{3}$?

A. $\frac{2a^3\sqrt{6}}{9}$

B. $\frac{a^3\sqrt{6}}{12}$

C. $\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

D. $\frac{a^3\sqrt{3}}{12}$

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Gọi M là trung điểm SC, mặt phẳng (P) chứa AM và song song với BD chia khối chóp thành 2 khối đa diện. Đặt $V_1$ là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S và $V_2$  là thể tích khối đa diện có chứa đáy. Tỉ số $\frac{V_1}{V_2}$  bằng:

A. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{3}{2}$

B. $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{1}{2}$

C.  $\frac{V_1}{V_2}$ = $\frac{2}{3}$

D.  $\frac{V_1}{V_2}$ = 1

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA$\perp$(ABCD). Gọi M là hình chiếu của A trên SB. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. AM$\perp$SD

B. AM$\perp$(SCD)

C. AM$\perp$CD

D. AM$\perp$(SBC)