Người ta thả một viên billiards snooker có dạng hình cầu với bán kính nhỏ hơn 4,5 cm vào một chiếc cốc hình trụ đang chứa nước thì viên billiards đó tiếp xúc với đáy cốc và tiếp xúc với mặt nước sau khi dâng (tham khảo hình vẽ bên). Biết rằng bán kính của phần trong đáy cốc bằng 5,4 cm và chiều cao của mực nước ban đầu trong cốc bằng 4,5 cm. Bán kính của viên billiards đó bằng

A. 4,2 cm

B. 3,6 cm

C. 2,6 cm

D. 2,7 cm

Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 40 cm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm của viên gạch đế tạo ra bốn cánh hoa (được tô màu sẫm như hình vẽ bên). Diện tích mỗi cánh hoa của viên gạch bằng

A. $\frac{800}{3}c{m}^2$

B. $\frac{400}{3}c{m}^2$

C. $250c{m}^2$

D. $800c{m}^2$

Cho $\left(P\right):y=x^2$ và $A\left(-2;\frac{1}{2}\right).$ Gọi M là một điểm bất kì thuộc (P). Khoảng cách MA bé nhất là

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. $\frac{5}{4}$

C. $\frac{\sqrt{5}}{2}$

D. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và B'C' (tham khảo hình vẽ bên).

Khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và B’D’ bằng

A. $a\sqrt{5}$

B. $\frac{\sqrt{5}a}{5}$

C. $3a$

D. $\frac{a}{3}$

Trên tập hợp số phức cho phương trình $z^2+bz+c=0$ với $b,c\in R.$ Biết rằng hai nghiệm của phương trình có dạng $w+3$ và $3w-8i+13$ với $w$ là số phức. Tính $S=b^2-c^3.$

A. S = -496.

B. S = 0.

C. S = -26.

D. S = 8.

Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi P là trọng tâm tam giác A’B’C’ và Q là trung điểm của BC. Tính tỉ số thể tích giữa hai khối tứ điện B’PAQ và A’ABC

A. $\frac{1}{2}.$

B. $\frac{2}{3}.$

C. $\frac{3}{4}.$

D. $\frac{1}{3}.$

Gọi $S=\left(-\infty ;\frac{a}{b}\right]$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản, $a\in Z,b\in N^{*}$) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m sao cho phương trình $\sqrt{2x^2+mx+1}=x+3$ có hai nghiệm phân biệt. Tính $B=a^2-b^3.$

A. B = 334.

B. $B=-440$.

C. B = 1018.

D. B = 8.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=x^3+\left(m-1\right)\sqrt{4-x^2}$ có 3 điểm cực trị.

A. $\left(-5;7\right)\backslash \left\{1\right\}$

B. $\left[-5;7\right]\backslash \left\{1\right\}$

C. $\left(-1;3\right)\backslash \left\{1\right\}$

D. $\left[-1;3\right]\backslash \left\{1\right\}$

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B với AB = BC = a,

AD = 2a. Biết SA vuông góc với mặt phằng (ABCD) và $SA=a\sqrt{5}.$ Côsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng

A. $\frac{2\sqrt{21}}{21}.$

B. $\frac{\sqrt{21}}{12}.$

C. $\frac{\sqrt{21}}{6}.$

D. $\frac{\sqrt{21}}{21}.$

Giải phương trình

$$\begin{gathered} {\log }_3\left(x^4-x^3+50x^2-60x+20\right) \\ =3{\log }_{27}\left(13x^3-11x^2+22x-2\right) \end{gathered}$$ 

ta được bốn nghiệm a, b, c, d với a < b < c < d. Tính $P=a^2+c^2.$

A. P = 32.

B. P = 42.

C. P = 22.

D. P = 72.

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=\frac{\left(m+1\right)x+2m+2}{x+m}$ nghịch biến trên khoảng $\left(-1;+\infty \right).$

A. $-1<m<2$

B. $m\ge 1$

C. $\left[\begin{array}{l}m<1\\ m>2\end{array}\right.$

D. $1\le m<2$

Cho $a,b,c\in R$ sao cho hàm số $y=x^3+a{x}^2+bx+c$ đạt cực trị tại x = 3, đồng thời có $y\left(0\right)=3$ và $y\left(3\right)=3$. Hỏi trong không gian Oxyz, điểm $M\left(a;b;c\right)$ nằm trong mặt cầu nào sau đây?

A. ${\left(x-2\right)}^2+{\left(y-3\right)}^2+{\left(z+5\right)}^2=130.$

B. ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=40.$

C. $x^2+y^2+{\left(z+5\right)}^2=90.$

D. ${\left(x+5\right)}^2+{\left(y-7\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=42.$

Tìm tọa độ giao điểm M của đồ thị hàm số $f=\frac{2x-1}{x+2}$ và trục tung.

A. $M\left(0;-2\right)$

B. $M\left(0;-\frac{1}{2}\right)$

C. $M\left(\frac{1}{2};0\right)$

D. $M\left(-\frac{1}{2};0\right)$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=x^3+3x^2+mx+m$ đồng biến trên khoảng $\left(-\infty ;+\infty \right).$

A. $m\le 11$

B. $m\ge 3$

C. $-1\le m\le 3$

D. $m<3$

Cho f(x) liên tục trên $\mathrm{ℝ}$ và $f\left(2\right)=16,\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(2x\right)dx=2.$ Tích phân $\underset{0}{\overset{2}{\int }}xf\text{'}\left(x\right)dx$ bằng

A. 28

B. 30

C. 16

D. 36

Số nghiệm thuộc nửa khoảng $[-\pi ;0)$ của phương trình $\cos x-\cos 2x-\cos 3x+1=0$ là

A. 3

B. 1

C. 4

D. 2

Cho khai triển ${\left(3-2x+x^2\right)}^9=a_0{x}^{18}+a_1{x}^{17}+a_2{x}^{16}+\mathrm{...}+a_{18}.$ Giá trị của $a_{15}$bằng

A. -804816

B. 218700

C. -174960

D. 489888

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(5;7;6) và B(2;4;3). Trên mặt phẳng (Oxy), lấy điểm M(a;b;c) sao cho MA + MB bé nhất. Tính $P=a^2+b^3-c^4.$

A. P = 134

B. $P=-122$

C. $P=-204$

D. P = 52

Cho hàm số $y=\frac{x+1}{2x+1}$ có đồ thị $\left(C\right).$Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng $d:y=mx+\frac{m+1}{2}$ cắt đồ thị $\left(C\right)$ tại hai nghiệm phân biệt A, B sao cho $O{A}^2+O{B}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất (O là gốc tọa độ).

A. $m=1$

B. $m>0$

C. $m\pm 1$

D. $m=2$

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m\in \left(-10;10\right)$ để hàm số $y=m^2{x}^4-2\left(4m-1\right)x^2+1$ đồng biến trên khoảng $\left(1;+\infty \right)$?

A. 15

B. 7

C. 16

D. 6

Cho hàm số $f\left(x\right)=2x^4-4x^2+3.$ Tính diện tích S của tam giác có ba đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị hàm số.

A. $S=1$

B. $S=\frac{1}{2}$

C. $S=4$

D. $S=2$

Từ 15 học sinh gồm 6 học sinh giỏi, 5 học sinh khá, 4 học sinh trung bình, giáo viên muốn lập thành 5 nhóm làm 5 bài tập lớn khác nhau, mỗi nhóm 3 học sinh. Tính xác suất để nhóm nào cũng có học sinh giỏi và học sinh khá. 

A. $\frac{108}{7007}.$

B. $\frac{216}{7007}.$

C. $\frac{216}{35035}.$

D. $\frac{72}{7007}.$

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn điều kiện $z^2={\left|z\right|}^2+\overline{z}?$

A. 4

B. 2

C. 3

D. 1

Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số $y=\left|\frac{2}{3}{x}^3-2x^2+1\right|$ trên $\left(-\frac{8}{3};3\right).$ Biết $M=\frac{a}{b}$ với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản $a\in Z,b\in N^{*}.$ Tính $S=a+b^3.$

A. S = 32.

B. S = 128.

C. S = 3.

D. S = 2.

Đồ thị hàm số nào dưới đây nhận trục tung làm trục đối xứng?

A. $y=\sin x-\cos x$

B. $y=2\sin x$

C. $y=2\sin \left(-x\right)$

D. $y=-2\cos x$

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{1}$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right):x+y-z-2=0.$ Trong các đường thẳng sau, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng $\left(\alpha \right)$, đồng thời vuông góc và cắt đường d?

A. ${\Delta }_3:\frac{x-5}{3}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z-5}{1}$

B. ${\Delta }_1:\frac{x+2}{-3}=\frac{y+4}{2}=\frac{z+4}{-1}$

C. ${\Delta }_2:\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{-2}=\frac{z-4}{3}$

D. ${\Delta }_4:\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z}{1}$

Một khối lăng trụ có chiều cao 2a và diện tích đáy bằng $2a^2.$ Tính thể tích khối lăng trụ

A. $V=4a^3$

B. $V=\frac{4a^3}{3}$

C. $V=\frac{2a^3}{3}$

D. $V=\frac{4a^2}{3}$

Gọi $z_1,z_2$ là các nghiệm phức của phương trình $z^2-8z+25=0.$ Giá trị của $\left|z_1-z_2\right|$ bằng

A. 6

B. 5

C. 8

D. 3

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có khoảng cách từ A đến $\left(SCD\right)$ bằng 4. Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD, tính giá trị lớn nhất của V

A. $32\sqrt{3}$

B. $8\sqrt{3}$

C. $16\sqrt{3}$

D. $\frac{16\sqrt{3}}{3}$

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=1+x+\frac{4}{x}$ trên đoạn [-3;-1] bằng

A. -5

B. 5

C. -4

D. -6

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm $f\text{'}\left(x\right)=x^2-2x,\forall x\in ℝ.$ Hàm số $y=-2f\left(x\right)$ đồng biến trên khoảng

A. (0;2)

B. (-2;0)

C. $\left(2;+\infty \right)$

D. $\left(-\infty ;-2\right)$

Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC với $A\left(1;-2;3\right),B\left(-4;0;-1\right)$ và $C\left(1;1;-3\right)$. Phương mặt phẳng (P) đi qua A, trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) là

A. $5x+y-2z+3=0.$

B. $2y+z-7=0.$

C. $5x+y-2z-1=0.$

D. $2y+z+1=0$

Tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{dx}{\sqrt{3x+1}}$ bằng 

A. $\frac{3}{2}$

B. $\frac{2}{3}$

C. $\frac{1}{3}$

D. $\frac{4}{3}$

Giá trị của

$$\begin{gathered} A=\frac{1}{1!.2018!}+\frac{1}{2!.2017!}+\frac{1}{3!.2016!}+\mathrm{...} \\ +\frac{1}{1008!.1011!}+\frac{1}{1009!.1010!} \end{gathered}$$ bằng

A. $\frac{2^{2017}-1}{2018!}.$

B. $\frac{2^{2017}}{2018!}.$

C. $\frac{2^{2017}}{2019!}.$

D. $\frac{2^{2018}-1}{2019!}.$

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, tâm O, SO = a (tham khảo hình vẽ bên)

Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) bằng

A. $\frac{\sqrt{2}a}{2}$

B. $\sqrt{3}a$

C. $\frac{\sqrt{5}a}{5}$

D. $\frac{\sqrt{6}a}{3}$

Biết giá trị lớn nhất của hàm số $f\left(x\right)=\left|x^3+3x^2-72x+90\right|+m$ trên đoạn $\left[-5;5\right]$ là 2018. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?

A. $1600<m<1700$

B. $m<1618$

C. $1500<m<1600$

D. $m=400$

Cho hàm số $f\left(x\right)={\log }_3\left(2x+1\right).$ Giá trị của f '(0) bằng

A. $\frac{2}{\ln 3}$

B. 2

C. $2\ln 3$

D. 0

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=AA'=a (tham khảo hình vẽ bên). Tính tang của góc giữa đường thẳng BC' và mặt phẳng (ABB'A').

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. $\sqrt{2}$

D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Tính độ dài đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba kích thước là a,b,c

A. $\sqrt{a^2+b^2-c^2}$

B. $\sqrt{a^2+b^2+c^2}$

C. $\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$

D. $\sqrt{a^2+b^2-2c^2}$

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\sqrt{1-x^2}+2\sqrt[3]{{\left(1-x^2\right)}^2}.$ Hỏi điểm $A\left(M;m\right)$ thuộc đường tròn nào sau đây?

A. $x^2+{\left(y-1\right)}^2=4.$

B. ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=5.$

C. ${\left(x-4\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2=4.$

D. ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2=4.$