Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = {(x-3)}^2$ , trục tung và trục hoành. Gọi $k_1, k_2 (k_1<k_2)$ là hệ số góc của hai đường thẳng cùng đi qua điểm A(0;9) và chia (H) thành ba phần có diện tích bằng nhau. Tính $k_1-k_2$

A. 13/2.

B. 7.

C. 25/4. 

D. 27/4.

Cho biết ${\int }_0^1\frac{x^2.e^x}{{(x+2)}^2}dx=\frac{a}{b}e+c$ với a,c là các số nguyên , b là số nguyên dương và a/b là phân số tối giản. Tính a-b+c

A. 3.

B. 0.

C. 2.

D. -3.

Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng x=4; x=9 và đường cong có phương trình $y^2 = 8x$

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm, liên tục trên R và f(0) = 0 $f\left(x\right) + f(\frac{\mathrm{\pi }}{2}-x) = \sin x. \cos x$, với mọi $x\in R$. Giá trị tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}xf\text{'}\left(x\right)dx$ bằng

A. $\frac{-\mathrm{\pi }}{4}$

B. $\frac{1}{4}$

C. $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

D. $\frac{-1}{4}$

Cho y =f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên R. Biết ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx =\frac{1}{2} {\int }_1^{2}f\left(x\right)dx = 1$. Giá trị của ${\int }_{-2}^2\frac{f\left(x\right)}{3^x+1}$ bằng

A. 1.

B. 6.

C. 4.

D. 3.

Tích phân ${\int }_0^1{3}^{2x+1}dx$ bằng:

A. $\frac{9}{\ln 9}$

B. $\frac{12}{\ln 3}$

C. $\frac{4}{\ln 3}$

D. $\frac{27}{\ln 9}$

Cho hình phẳng (D) được giới hạn bởi các đường x=0; $x=\mathrm{\pi }$; y = 0 và y = -sinx. Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay (D) xung quanh trục Ox được tính theo công thức:

Cho ${\int }_1^{e}x\ln xdx = \frac{a{e}^2+b}{c}$ với $a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ Tính T = a+b+c

A. 5

B. 3

C. 2

D. 6

Cho hàm số $y = f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}3x^2 khi 0\le x\le 1\\ 4-x khi 1\le x\le 2\end{array}\right.$ Tính tích phân ${\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$

A. 7/2

B. 1

C. 5/2

D. 3/2

Cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = \frac{1}{x}$ và các đường thẳng y=0; x=1; x=4 Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra khi cho hình (H) quanh xung quanh trục Ox.

A. $2\mathrm{\pi ln}2$

B. $\frac{3\mathrm{\pi }}{4}$

C. $\frac{3}{4}$

D. 2ln2

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a;b] có đồ thị hàm số y  = f'(x) như hình vẽ sau: Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. ${\int }_a^{b}f\text{'}\left(x\right)dx$ là diện tích hình thang cong ABMN

B. ${\int }_a^{b}f\text{'}\left(x\right)dx$ là độ dài đoạn BP.

C. ${\int }_a^{b}f\text{'}\left(x\right)dx$ là độ dài NM.

D. ${\int }_a^{b}f\text{'}\left(x\right)dx$ là độ dài đoạn cong AB

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên $\left[0;\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ thỏa mãn $f\left(0\right) = 0; {\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\left[f\text{'}\left(x\right)\right]}^{2}dx = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$; ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\sin x.f\left(x\right)dx = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$ Tính tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}f\left(x\right)dx$

A. 1

B. $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$

C. 2

D. $\frac{\mathrm{\pi }}{4}$

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi trục hoành, đồ thị của một parabol và một đường thẳng tiếp xúc parabol đó tại điểm A(2;4) như hình vẽ bên. Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi hình phẳng (H) khi quay xung quanh trục Ox.

A. $\frac{32\mathrm{\pi }}{5}$

B. $\frac{16\mathrm{\pi }}{15}$

C. $\frac{22\mathrm{\pi }}{5}$

D. $\frac{2\mathrm{\pi }}{3}$

Trong không gian Oxyz cho điểm A(-1;1;6) và đường thẳng $∆: \left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1-2t\\ z=2t\end{array}\right.$. Hình chiếu vuông góc của điểm A lên đường thẳng $∆$  là:

A. N(1;3;-2)

B.  H(11;-17;18)

C. M(3;-1;2)

D. K(2;1;0)

Biết ${\int }_0^1\frac{dx}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{2}{3}(\sqrt{a}+b)$ với a, b là các số nguyên dương. Tính T = a+b

A. T = 7

B. T = 10

C. T = 6

D. T =8

Cho hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục trên đoạn [a;b] Gọi D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số đó và các đường thẳng x = a; x = b Diện tích S của hình phẳng D được tính theo công thức

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(-1;1;0) và N(3;3;4). Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng MN có phương trình:

A. 2x+y+3z-13=0

B. 2x+y+3z-13=0

C. 2x+y+3z-30=0

D. 2x+y+3z+13=0

Tính tích phân ${\int }_1^2\frac{dx}{x+1}$

A.  $\log \frac{3}{2}$

B. $\frac{5}{2}$

C. $\ln \frac{3}{2}$

D. ln6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;1;2) và mặt phẳng (P): 2x-y+3z+1=0.  Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình

A.$\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z+2}{3}$

B. $\frac{x+2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+3}{2}$

C. $\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{2}$ 

D. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{3}$

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) liên tục trên R và thỏa mãn $f\text{'}\left(x\right) \in [-1;1]$ với $\forall x\in (0;2)$ Biết f(0) = f(2) = 1 Đặt $I = {\int }_0^{2}f\left(x\right)dx$ phát biểu dưới đây là ĐÚNG ?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho hai điểm A(-3;0;1), B(1;-1;3) và mặt phẳng (P): x-2y+2z-5=0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua A, song song với mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ B đến d nhỏ nhất.

A. $\frac{x+3}{26}=\frac{y}{11}=\frac{z-1}{-2}$

B. $\frac{x+3}{26}=\frac{y}{-11}=\frac{z-1}{2}$

C.  $\frac{x+3}{26}=\frac{y}{11}=\frac{z-1}{2}$

D. $\frac{x+3}{-26}=\frac{y}{11}=\frac{z-1}{-2}$

Biết $I = {\int }_0^1\frac{xdx}{\sqrt{3x+1}+\sqrt{2x+1}}=\frac{a+b\sqrt{3}}{9}$ với a, b là các số thực. Tính tổng T = a+b

A. T = -10

B. T = -4

C. T = 15

D. T = 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;4;5), B(3;4;0), C(2;-1;0) và mặt phẳng (P): 3x-3y-2z-12=0. Gọi M(a;b;c) thuộc (P) sao cho $M{A}^2+M{B}^2+3M{C}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính tổng  a+b+c

A. 3

B. 2

C. -2

D.  -3

Cho hàm số y = f(x); y = g(x) liên tục trên [a;b] Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị y = f(x); y = g(x) và các đường thẳng x=a; x=b Diện tích (H) được tính theo công thức

Tích phân $I = {\int }_0^1{e}^{x+1}dx$ bằng

A. $e^2-1$

B. $e^2-e$

C. $e^2+e$

D. $e-e^2$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $$\begin{gathered} \left(S\right): x^2+y^2+z^2+2x \\ -4y-6z+m-3=0 \end{gathered}$$

Tìm số thực m để $\left(\beta \right)$: 2x-y+2z-8=0  cắt (S) theo một đường tròn có chu vi bằng  $8\pi$

A. m = -3

B. m = -4 

C. m = -1

D.  m = -2

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol $y = x^2-2x$và đường thẳng y = x

A. 9/2

B. 11/6

C. 27/6

D. 17/6

Một cổng chào có dạng  hình parabol chiều cao 18m, chiều rộng chân đế 12m. Người ta căng sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn bởi parabol thành ba phần có diện tích bằng nhau (xem hình vẽbên). Tỉ số $\frac{AB}{CD}$ bằng :

A. $\frac{1}{\sqrt{2}}$

B. $\frac{4}{5}$

C. $\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

D. $\frac{3}{1+2\sqrt{2}}$

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2). Độ dài đường cao đỉnh A của tam giác ABC

A.  $\sqrt{6}$

B. $\sqrt{2}$

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D.  $\sqrt{3}$

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [0;1] thỏa mãn ${\int }_0^{1}xf\left(x\right)dx = 0$ và $\underset{[0;1]}{max}\left|f\left(x\right)\right|=1$ Tích phân $I = {\int }_0^1{e}^{x}f\left(x\right)dx$ thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;0), B(0;3;1), C(-1;4;2). Độ dài đường cao đỉnh A của tam giác ABC

A. $\sqrt{6}$

B. $\sqrt{2}$

C.  $\frac{\sqrt{3}}{2}$

D.  $\sqrt{3}$

Cho phương trình $$\begin{gathered} \frac{1}{2}{\log }_2(x+2)+x+3 \\ ={\log }_2\frac{2x+1}{2}+{(1+\frac{1}{x})}^2+2\sqrt{x+2} \end{gathered}$$  , gọi S là tổng tất cả các nghiệm dương của nó. Khi đó, giá trị của S là

A. S = -2

B. S = $\frac{1-\sqrt{13}}{2}$

C. S = $\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

D. Đáp án khác

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm M(1;2;5). Số mặt phẳng đi qua M và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại A, B, C sao cho OA = OB = OC  (A, B, C không trùng với gốc tọa độ O) là:

A. 8

B. 3

C. 4 

D. 1

Tích phân ${\int }_0^{1}x(x^2+3)dx$bằng:

A. 2

B. 1

C. 4/7

D.  7/4

Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường thẳng $y = x{e}^x$; y = 0; x = 1 xung quanh trục Ox là

Biểu thức $y = \frac{a^{\sqrt{7}+1}.b^{\sqrt{2}}. \sqrt{c^5}}{a^{2+\sqrt{7}}.b^{2\cos {\displaystyle \frac{7\mathrm{\pi }}{4}}}.c^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}}$  sau khi rút gọn trở thành.

A. $\frac{bc}{a}$

B. $\frac{b^2{c}^2}{a}$

C. $\frac{a{b}^2}{c}$

D. $\frac{c^2}{a}$

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-6; 5] có đồ thị gồm hai đoạn thẳng và nửa đường tròn như hình vẽ.  Tính giá trị $I={\int }_{-6}^5\left[f\right(x)+2]dx$

A $32$

B $\mathrm{\pi }-32$

C $2\mathrm{\pi }$

D $2\mathrm{\pi }+32$

Một quả cầu (S) có tâm I(-1;2;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x-2y-2z-2=0 có phương trình là:

A. $\left(S\right): {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=3$ 

B. $\left(S\right): {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=3$

C. $\left(S\right): {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z+1\right)}^2=9$ 

D. $\left(S\right): {\left(x+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=9$

Tập nghiệm của bất phương trình ${\log }_{\frac{1}{2}}(x^2-3x+3) >0$  là

A. (0; 1)

B. (1; 2)

C. (2; 3)

D. (3; 4)

Cho f(x)  là hàm số liên tục thỏa ${\int }_0^{1}f\left(x\right)dx = 7$ Tính ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\cos xf\left(\sin x\right)dx$

A. 1

 B. 9

C. 3

D. 7