Cho hình bình hành ABCD. Một đường thẳng đi qua D lần lượt cắt đoạn thẳng BC và tia AB tại M và N sao cho điểm M nằm giữa hai điểm B và C. Chứng minh:

a) ∆NBM ᔕ ∆NAD;

Cho tam giác ABC (Hình 55), các điểm M, N thuộc cạnh AB thoả mãn AM = MN = NB, các điểm P, Q thuộc cạnh AC thoả mãn AP = PQ = QC. Tam giác AMP đồng dạng với những tam giác nào?

Trong Hình 54, độ rộng của khúc sông được tính bằng khoảng cách giữa hai vị trí C, D. Giả sử chọn được các vị trí A, B, E sao cho ∆ABE ᔕ ∆ACD và đo được AB = 20 m, AC = 50 m, BE = 8 m. Tính độ rộng của khúc sông đó.

Ba vị trí A, B, C trong thực tiễn lần lượt được mô tả bởi ba đỉnh của tam giác A’B’C’ trên bản vẽ. Biết tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số $\frac{1}{1000000}$ và A’B’ = 4 cm, B’C’ = 5 cm, C’A’ = 6 cm. Tính khoảng cách giữa hai vị trí A và B, B và C, C và A trong thực tiễn (theo đơn vị kilômét).

Cho ∆ABC ᔕ ∆MNP và AB = 4, BC = 6, CA = 5, MN = 5. Tính độ dài các cạnh NP, PM.

Cho ∆ABC ᔕ ∆MNP và $\widehat{A}=45°,\widehat{B}=60°.$ Tính các góc C, M, N, P.

Cho tam giác ABC. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh ∆AB’C’ ᔕ ∆ABC.

Cho tam giác ABC (Hình 50). Một đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại B’, C’. Chứng minh ∆AB’C’ ᔕ ∆ABC.

c) Nếu ∆A’’B’’C’’ đồng dạng với ∆A’B’C’ và ∆A’B’C’ đồng dạng với ∆ABC thì ∆A’’B’’C’’ có đồng dạng với ∆ABC hay không.

b) Nếu ∆A’B’C’ đồng dạng với ∆ABC thì ∆ABC có đồng dạng với ∆A’B’C’ hay không;

Từ định nghĩa hai tam giác đồng dạng, hãy cho biết:

a) Mỗi tam giác có đồng dạng với chính nó hay không;

Cho ∆A’B’C’ ᔕ ∆ABC và AB = 3, BC = 2, CA = 4, A’B’ = x, B’C’ = 3, C’A’ = y. Tìm x và y.

b) So sánh các tỉ số: $\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{AB};\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{BC};\frac{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}{CA}.$

Trong bức ảnh ở Hình 46, các tam giác được tạo dựng với hình dạng giống hệt nhau nhưng có kích thước to nhỏ khác nhau.

Các tam giác trong Hình 46 gợi nên những tam giác có mối liên hệ gì?

Cho tứ giác ABCD với các tia phân giác của các góc CAD và CBD cùng đi qua điểm E thuộc cạnh CD (Hình 45. Chứng minh AD.BC = AC.BD.

c) Độ dài đường phân giác AD.

b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính:

a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;

Cho hình thoi ABCD (Hình 44). Điểm M thuộc cạnh AB thoả mãn AB = 3AM. Hai đoạn thẳng AC và DM cắt nhau tại N. Chứng minh ND = 3MN.

Quan sát Hình 43 và chứng minh $\frac{DB}{DC}:\frac{EB}{EG}=\frac{AG}{AC}.$

Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc ABC lần lượt cắt các đoạn thẳng AM, AC tại điểm D, E. Chứng minh $\frac{EC}{EA}=2\frac{DM}{DA}.$

Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Biết AB = 4, BC = 5, CA = 6. Tính BD, CE, AF.

Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC sao cho $\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}.$ Chứng minh AD là tia phân giác của góc BAC.

Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CE. Chứng minh $\frac{DB}{DC}\cdot \frac{EC}{EA}\cdot \frac{FA}{FB}=1.$

Cho tam giác ABC có AB < AC, AD là đường phân giác. Chứng minh DB < DC.

Giải bài toán nêu trong phần mở đầu.

c) So sánh các tỉ số $\frac{DB}{DC},\frac{AB}{AC}.$

b) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC.

Trong Hình 38, tam giác ABC có AD là đường phân giác của góc BAC. Giả sử mỗi ô vuông của lưới ô vuông có độ dài cạnh bằng 1 cm.

a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC.

Hình 37 minh hoạ một phần sân nhà bạn Duy được lát bởi các viên gạch hình vuông khít nhau, trong đó các điểm A, B, C, D là bốn đỉnh của một viên gạch. Bạn Duy đặt một thước gỗ trên mặt sân sao cho thước gỗ luôn đi qua điểm C và cắt tia AB tại M, cắt tia AD tại N. Bạn Duy nhận thấy ta luôn có tỉ lệ thức $\frac{CM}{CN}=\frac{AM}{AN}.$

Tại sao ta luôn có tỉ lệ thức $\frac{CM}{CN}=\frac{AM}{AN}.$

Trong Hình 36, ba cạnh màu vàng AB, BC, CA gợi nên hình ảnh tam giác ABC và đoạn thẳng màu xanh MN là một đường trung bình của tam giác đó. Bạn Duyên đứng ở phía dưới đo khoảng cách giữa hai chân cột số j và số k, từ đó ước lượng được độ dài đoạn thẳng MN khoảng 4,5 m. Khoảng cách giữa hai mép dưới của mái được tính bằng độ dài đoạn thẳng BC. Hỏi khoảng cách đó khoảng bao nhiêu mét?

Cho tam giác ABC nhọn có H là trực tâm. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AB, BH, HC, CA. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Cho tứ giác ABCD có M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA.

a) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

b) Cho AC = BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi.

c) Cho AC ⊥ BD. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến, các điểm N, P phân biệt thuộc cạnh AB sao cho AP = PN = NB. Gọi Q là giao điểm của AM và CP. Chứng minh:

a) MN // CP;

b) AQ = QM;

c) CP = 4PQ.

Cho tam giác ABC có M là trung điểm của AB, điểm N thuộc cạnh AC thoả mãn MN // BC. Chứng minh NA = NC và $MN=\frac{1}{2}BC.$

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Giả sử M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC. Chứng minh:

a) M, N, P thẳng hàng;

b) $MN=\frac{1}{2}\left(AB+CD\right).$

b) Tỉ số $\frac{MN}{BC}$ bằng bao nhiêu?

Cho tam giác ABC có MN là đường trung bình (Hình 31).

a) MN có song song với BC hay không? Vì sao?

Vẽ tam giác ABC và các đường trung bình của tam giác đó.