Một khối trụ bán kính đáy là \(a\sqrt 3 \), chiều cao là \(2a\sqrt 3 \). Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối trụ.

Số nghiệm thực của phương trình \(2{\log _2}\left( {x - 3} \right) = 2 + {\log _{\sqrt 2 }}\sqrt {3 - 2x} \) là

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

Cho a là một số thực dương, khác 1. Đặt \({\log _3}a = \alpha \). Tính giá trị của biểu thức \(P = {\log _{\frac{1}{3}}}a - {\log _{\sqrt 3 }}{a^2} + {\log _a}9\) theo \(\alpha \)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết \(SC = a\sqrt 7 \) và mặt phẳng \(\left( {SDC} \right)\) tạo với mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] một góc 30°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau:

Số điểm cực trị của hàm số \(y = - 2f\left( x \right)\) là

Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có \(BB' = a\), đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, \(AC = a\sqrt 2 \). Tính thể tích lăng trụ

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, \(A\left( { - 3;4;2} \right)\), \(B\left( { - 5;6;2} \right)\), \(B\left( { - 10;17; - 7} \right)\). Viết phương trình mặt cầu tâm C bán kính AB

B. \({\left( {x + 10} \right)^2} + {\left( {y - 17} \right)^2} + {\left( {z + 7} \right)^2} = 8\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{{x^2} + 3}}{{x - 1}}\) trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\)

Hàm số \(f\left( x \right) = {\log _3}\left( {{x^2} - 4x} \right)\) có đạo hàm trên miền xác định là \(f'\left( x \right)\). Chọn kết quả đúng.

B. \(f'\left( x \right) = \frac{1}{{\left( {{x^2} - 4x} \right)\ln 3}}\).

Gọi \({z_1}\) là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\). Trong mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn của \({z_1}\) có tọa độ là

Cho hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) \(\left( {a,b,c,d \in \mathbb{R}} \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau đây. Điều kiện của m để phương trình \(a{x^3} + b{x^2} + cx + d - m = 0\) có ba nghiệm phân biệt là

A. $\sqrt{26}$

B. $5\sqrt{2}$

C. $\sqrt{65}$

D. $\sqrt{41}$

Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm có hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + {e^x} - 5x\)?

B. \(F\left( x \right) = \cos x + {e^x} - 5x + 3\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định, liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như sau:

Tìm giá trị cực đại \({y_{CD}}\) và giá trị cực tiểu \({y_{CT}}\) của hàm số đã cho

B. \({y_{CD}} = 3\) và \({y_{CT}} = 0\).        

Cho số phức z thỏa mãn \(\bar z = 3 + 2i\). Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.

B. Phần thực bằng 3, phần ảo bằng 2.

Cho lăng trụ đứng tam giác \(ABC.A'B'C'\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với \(BA = BC = a\), biết mặt phẳng \(\left( {A'BC} \right)\) hợp với mặt phẳng đáy \(\left( {ABC} \right)\) một góc 60°. Tính thề tích khối lăng trụ đã cho.

Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)} = 3\), \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right)} = - 2\). Tính giá trị của biểu thức \(I = \int\limits_0^1 {\left[ {2f\left( x \right) - 3g\left( x \right)} \right]dx} \).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tọa độ giao điểm của d: \(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\): \(2x - y - z - 7 = 0\) là

Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn \(k \le n\), mệnh đề nào dưới đây đúng?

Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác đều cạnh có độ dài 2a. Thể tích của khối nón là

Đường thẳng d có phương trình \(\frac{{x + 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 2}}{{ - 2}} = \frac{{z - 3}}{3}\) được viết dưới dạng

Cho hàm số \[y = f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 2\]có đồ thị như hình 1

Hình 2 là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A. y = x + 7

B. y = x + 1

C. y = x - 7

D. y = x - 1

Nếu cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội q và \({u_1} = \frac{1}{2}\), \({u_5} = 8\) thì

Phương trình \[{9^x} - {3^{x + 1}} + 2 = 0\] có hai nghiệm \[{x_1}\]; \({x_2}\) với \({x_1} < {x_2}\). Đặt \(P = 2{x_1} + 3{x_2}\). Khi đó:

Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x + 1\). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

B. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\).

A. $S_0=\frac{3a^2\sqrt{85}}{32}$

B. $S_0=\frac{15a^2}{32}$

C. $S_0=\frac{3a^2\sqrt{21}}{8}$

D. $S_0=\frac{3a^2\sqrt{21}}{16}$

Cho các số thực dương a; b với \[a \ne 1\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?

B. \[{\log _{{a^3}}}\left( {ab} \right) = \frac{1}{3}{\log _a}b\].

Trong không gian Oxyz cho điểm \(A\left( {1;1;2} \right)\) và \(B\left( {3;4;5} \right)\). Tọa độ vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là

C. \(\left( { - 2; - 3;3} \right)\).           

A. $\frac{a^3\pi \sqrt{3}}{24}$

B. $\frac{a^3\pi \sqrt{3}}{8}$

C. $\frac{a^3\pi \sqrt{3}}{27}$

D. $a^3\pi \sqrt{3}$

A. $\log c=\frac{\left(m^2-n\right)\log a-mn}{n\log a-m}$

B. $\log c=\frac{\left(n^2-m\right)\log a-mn}{n\log a-m}$

C. $\log c=\frac{\left(n^2-m\right)\log a-n}{n\log a-mn}$

D. $\log c=\frac{\left(m^2-n\right)\log a-mn}{m\log a-n}$

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số m

A. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{24}$

B. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{4}$

C. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{4}{15}$

D. $\frac{V_1}{V_2}=\frac{8}{15}$

A. 0 < m < 2

B. 0 < m < 1

C. 1 < m < 2

A. $\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$

B. $\frac{a^3\sqrt{11}}{12}$

C. $\frac{a^3\sqrt{11}}{18}$

D. $\frac{a^3\sqrt{2}}{18}$

Cho hàm số \(f\left( x \right),y = f\left[ {f\left( {2{\rm{x}} - 3} \right)} \right]\) và \(y = f\left( {{x^3} + x + 2} \right)\) lần lượt có các đồ thị \({C_1},{C_2},{C_3}\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 của \({C_1}\) là \(y = x + 3\), phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 của \({C_2}\) là \(y = 8{\rm{x}} + 5\). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 của đồ thị \({C_3}\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \({d_2}:\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\). Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) chứa \({d_1}\) sao cho góc giữa mặt phẳng \(\left( P \right)\) và đường thẳng \({d_2}\) là lớn nhất là: \(ax - y + cz + d = 0\). Giá trị của \(T = a + c + d\) bằng

Cho phương trình \({\log _5}\left( {x + y} \right) + 2{{\rm{x}}^2} + {y^2} + 3{\rm{x}}y - 11{\rm{x}} - 6y + 4 = 0\). Hỏi có bao nhiêu cặp số \(\left( {x;y} \right)\) nguyên dương thỏa mãn phương trình trên.

A. I = 0

B. I = 2

C. I = 1

D. I = 3