Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các số thực \[x,y\] thỏa mãn đồng thời \[{e^{3x + 5y - 10}} - {e^{x + 3y - 9}} = 1 - 2x - 2y\] và \[\log _5^2(3x + 2y + 4) - (m + 6){\log _5}(x + 5) + {m^2} + 9 = 0\]?

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục có đạo hàm trên \[\mathbb{R},\] và có đồ thị như hình vẽ. Kí hiệu \[g\left( x \right) = f\left( {2\sqrt {2x} + \sqrt {1 - x} } \right) + m.\] Tìm điều kiện của tham số m để \[\mathop {Max}\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right) > 2\mathop {Min}\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( x \right).\]

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng (\[\left( {{P_1}} \right):\;2x + y + 2z - 5 = 0,\;\left( {{P_2}} \right):\;2x + y + 2z + 13 = 0,\] \[\left( Q \right):\;2x - 2y - z - 5 = 0,\] và điểm \[A\left( { - 2;0;0} \right)\] nằm giữa hai mặt phẳng \[\left( {{P_1}} \right),\;\left( {{P_2}} \right).\] Mặt cầu (S) có tâm \[I\left( {a;b;c} \right)\] luôn đi qua A và tiếp xúc với hai mặt phẳng \[\left( {{P_1}} \right),\;\left( {{P_2}} \right).\] Khi khối cầu \[\left( S \right)\] cắt mặt phẳng (Q) theo thiết diện là hình tròn có diện tích lớn nhất thì \[a + b - 2c\] bằng

Cho phương trình \[{\log _3}^2\left( {9x} \right) - \left( {m + 5} \right){\log _3}x + 3m - 10 = 0\]. Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc \[\left[ {1;81} \right]\] là

Số các giá trị nguyên của m để hàm số \[f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \left( {m + 50} \right){x^2} + \left( {{m^2} + 100m} \right)x + 2020m\] nghịch biến trên \[\left( {7;13} \right)\] là

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \[\left[ { - 10;10} \right]\] để bất phương trình \[{\log _3}\frac{{2{x^2} + x + m + 1}}{{{x^2} + x + 1}} \ge 2{x^2} + 4x + 5 - 2m\] có nghiệm. Số phần tử của tập hợp S bằng

Xét các số phức z thỏa mãn z không phải là số thực và \[w = \frac{z}{{4 + z + {z^2}}}\] là số thực. Tìm giá trị lớn nhất \[{P_{\max }}\] của biểu thức \[P = \left| {z + 3 - 4i} \right|\]

Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao bằng 9 và đáy là hình bình hành có diện tích bằng 27. Gọi \[M,N,P,Q\] lần lượt là các trọng tâm của các mặt bên SAB, SBC, SCD, SDA. Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh \[A,B,C,D,M,N,P,Q\].

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \[A\left( {2; - 2;4} \right),B\left( { - 3;3; - 1} \right)\] và mặt cầu \[\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 3\]. Xét điểm M thay đổi thuộc mặt cầu (S), giá trị nhỏ nhất của \[2M{A^2} + 3M{B^2}\] bằng

A. $\frac{1}{1287}$

B. $\frac{1}{6435}$

C. $\frac{2}{6435}$

D. $\frac{1}{2145}$

Cho hàm số f(x) liên tục trên \[\left[ {0;{\mkern 1mu} 1} \right].\] Biết \[\int\limits_0^1 {\left[ {x.{\mkern 1mu} f'\left( {1 - x} \right) - f\left( x \right)} \right]{\mkern 1mu} {\rm{d}}x} = \frac{1}{2},\] tính \[f\left( 0 \right).\]

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại \[B,AB = 3a,BC = 4a\]. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc tạo bởi giữa SC và mặt phẳng đáy bằng \[{60^0}\]. Gọi M là trung điểm của AC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SM bằng:

Bất phương trình \[{4^x} - \left( {m + 1} \right){2^{x + 1}} + m \ge 0\] nghiệm đúng với mọi \[x \ge 0\]. Tập tất cả các giá trị của m là

Một công ty cần xây dựng một cái kho chứa hàng dạng hình hộp chữ nhật (có nắp) bằng vật liệu gạch và xi măng có thể tích 2000 \[{m^3}\], đáy là hình chữ nhật có chiều dài bằng hai lần chiều rộng. Người ta cần tính toán sao cho chi phí xây dựng là thấp nhất, biết giá xây dựng là 500.000 đồng/\[{m^2}\]. Khi đó chi phí thấp nhất gần với số nào dưới đây?

Thầy Tuấn có 15 cuốn sách gồm 4 cuốn sách Toán, 5 cuốn sách Lý, 6 cuốn sách Hóa. Các cuốn sách đôi một khác nhau. Thầy chọn ngẫu nhiên 8 cuốn sách để làm phần thưởng cho một học sinh. Tính xác suất để số cuốn sách còn lại của thầy Tuấn có đủ 3 môn:

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như hình vẽ.

Hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {2{x^2} - \frac{5}{2}x - \frac{3}{2}} \right)\] nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn \[\left| {z - 2 + i} \right| = \left| {z + 1 - 2i} \right|\] và \[\left| {z + 4 - 2i} \right| = 3\sqrt 2 ?\]

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng \[{d_1}:\;\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{2}\] và \[{d_2}:\;\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 3t\\y = - 2 + t\\z = - 1 - t\end{array} \right..\] Phương trình đường thẳng \[\Delta \] nằm trong mặt phẳng \[\left( P \right):\;x + 2y - 3z - 2 = 0\] cắt cả hai đường thẳng \[{d_1}\] và \[{d_2}\] là

Biết \[\int\limits_4^5 {\frac{{dx}}{{{x^2} + 3x + 2}} = a\ln 2 + b\ln 3 + c\ln 5 + d\ln 7} \] với \[a,b,c,d\] là các số nguyên. Tính \[P = ab + cd.\]

Tìm nguyên hàm \[I = \int {\frac{x}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} .\]

B. \[I = \frac{1}{6}\sqrt {{{\left( {2x + 1} \right)}^3}} - \sqrt {2x + 1} + C.\]

Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng \[{d_1}\] và \[{d_2}\] có phương trình là \[{d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 4}}{{ - 4}}\] và \[{d_2}:\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 5}}{{ - 8}}.\] Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng \[{d_1}\] và \[{d_2}.\]

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \[x = 1\] và \[x = 4\], biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \[x\] (\[1 \le x \le 4\]) thì được thiết diện là một hình lục giác đều có độ dài cạnh là \[2x\].

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có bảng biến thiên như sau:

Số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho bằng:

Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn \[\left( {O;x} \right)\] và \[\left( {O';x} \right)\]. Khoảng cách giữa hai đáy là \[{\rm{OO'}} = r\sqrt 3 \]. Một hình nón có đỉnh O và có đáy là hình tròn \[\left( {O';x} \right)\]. Gọi \[{S_1}\] là diện tích xung quanh của hình trụ và \[{S_2}\] là diện tích xung quanh của hình nón. Tính tỉ số \[\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}}\].

Biết bất phương trình \[{\log _5}\left( {{5^x} - 1} \right).{\log _{25}}\left( {{5^{x + 1}} - 5} \right) \le 1\] có tập nghiệm là đoạn \[\left[ {a;b} \right]\]. Giá trị của \[a + b\] bằng

Hệ số \[{x^5}\] trong khai triển của đa thức \[f(x) = x{(1 - x)^{10}} + {x^2}{(1 + 2x)^5}\] bằng :

Cho \[{\log _{27}}|a| + lo{g_9}{b^2} = 5\] và \[{\log _{27}}|b| + lo{g_9}{a^2} = 7\]. Giá trị của \[\left| a \right| - \left| b \right|\] bằng

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] xác định trên \[R\] và có đạo hàm \[f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^3}{\left( {x + 2} \right)^5}.\] Số điểm cực tiểu của hàm số đã cho là

Cho hình chóp S.ABCD đều có \[AB = 2\] và \[SA = 3\sqrt 2 \]. Bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \[\left( P \right):x - 2y + 2z - 2 = 0\] và điểm \[I\left( { - 1;2; - 1} \right)\]. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính bằng 5.

B. \[\left( S \right):{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\]

Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[y = 2{x^3} - 3{x^2} - 12x + 10\] trên đoạn \[\left[ { - 3;3} \right]\] là:

Tính đạo hàm của hàm số \[y = \left( {{x^2} + 4x + 3} \right){e^{2x}}\] ?

B. \[y' = {e^{2x}}\left( {{x^2} + 6x + 7} \right)\]

Kí hiệu \[{z_1},{z_2},{z_3},{z_4}\] là bốn nghiệm phức của phương trình \[{z^4} + 3{z^2} - 4 = 0.\] Tính tổng \[T = \left| {{z_1}} \right| + {\left| z \right|_2} + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_4}} \right|.\]

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [-3; 5] và có bảng biến thiên như sau:

Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(x\right)=f\left(\cos 2x-5{\sin }^{2}x+3\right).$ Giá trị M + m bằng:

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \[2a\], cạnh bên \[SA\] vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt bên \[(SBC)\] tạo với đáy một góc \[{30^0}\].Thể tích của khối chóp đã cho bằng

thị của hàm số \[y = - {x^3} + 3{x^2} + 2x - 1\] và đồ thị hàm số \[y = 3{x^2} - 2x - 1\] có tất cả bao nhiêu điểm chung:

Cho \[\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 2\]. Tính giá trị của tích phân \[L = \int\limits_0^3 {\left[ {2f\left( x \right) - {x^2}} \right]dx} \].

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ. Trên khoảng \[\left( { - 1;1} \right)\] đồ thị hàm số có mấy điểm cực trị?