Biết \[\int\limits_0^9 {f\left( x \right)dx} = 37\] và \[\int\limits_0^9 {g\left( x \right)dx} = 16\]. Tính tích phân \[I = \int\limits_0^9 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]dx} \].

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \[A\left( {3;2; - 3} \right),{\mkern 1mu} B\left( { - 1;2;2} \right),{\mkern 1mu} C\left( {4; - 1; - 2} \right).\] Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác \[ABC.\]

Một hộp bi có 7 bi đỏ và 5 bi xanh. Có bao nhiêu cách lấy 2 viên bi có đủ hai màu?

Tính thể tích của khối nón có chiều cao bằng 4 và độ dài đường sinh bằng 5.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm \[M\left( {1; - 2;5} \right)\] và vuông góc với mặt phẳng \[\left( \alpha \right):4x - 3y + 2z + 5 = 0\] là

Đồ thị hình bên là của hàm số nào?

Cho cấp số cộng \[{u_n}\] có các số hạng đầu lần lượt là 5; 9; 13; 17;…Tìm số hạng tổng quát \[{u_n}\] của cấp số cộng?

Phương trình \[{4^{2x + 1}} = 32\] có nghiệm là

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\]. Biết rằng hàm số f(x) có đạo hàm là \[f'\left( x \right)\] và hàm số \[y = f'\left( x \right)\] có đồ thị như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hàmf(x) nghịch biến trên khoảng \[\left( { - \infty ; - 2} \right).\]

B. Hàm f(x) đồng biến trên khoảng \[\left( {1; + \infty } \right)\].

C. Trên \[\left( { - 1;1} \right)\] thì hàm số f(x) luôn tăng.

Cho \[a > 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} a \ne 1\] và \[x,y\] là hai số thực dương tùy ý. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

B. \[{\log _a}\frac{x}{y} = \frac{{{{\log }_a}x}}{{{{\log }_b}y}}.\]

Trong không gian với hệ tọa độ \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + \frac{z}{1} = 1\]. Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của \[\left( P \right)?\]

Một hộp chứa  4 quả cầu màu đỏ, 5 quả cầu màu xanh và 7 quả cầu màu vàng. Lấy ngẫu nhiên cùng lúc ra 4 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất sao cho 4 quả cầu được lấy ra có đúng một quả cầu màu đỏ và không quá hai quả cầu màu vàng.

Cho hàm số f(x), \[y = f\left[ {f\left( {2x - 3} \right)} \right]\] và \[y = f\left( {{x^3} + x + 2} \right)\] lần lượt có các đồ thị \[{C_1},{C_2},{C_3}.\] Phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 của \[{C_1}\] là \[y = x + 3\], phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 2 của \[{C_2}\] là \[y = 8x + 5.\] Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng 1 của đồ thị \[{C_3}.\]

Cho hình lăng trụ đứng \[{\mkern 1mu} ABCD.A'B'C'D'\] có đáy là hình thoi có cạnh \[4a\], \[A'A = 8a\], \[\widehat {BAD} = {120^{0.}}\]. Gọi \[M,N,K\] lần lượt là trung điểm cạnh \[AB',B'C,BD'\]. Thể tích khối da diện lồi có các đỉnh là các điểm \[A,B,C,M,N,K\] là:

Cho hàm số đa thức bậc ba \[y = f\left( x \right)\] có đồ thị như hình bên. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \[y = \left| {f\left( x \right) + m} \right|\] có ba điểm cực trị.

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \[\left( {{S_1}} \right)\] có tâm \[{I_1}\left( {1;0;1} \right),\;\] bán kính \[{R_1} = 2\] và mặt cầu \[\left( {{S_2}} \right)\] có tâm \[{I_2}\left( {1;3;5} \right),\] bán kính \[{R_2} = 1.\] Đường thẳng d thay đổi nhưng luôn tiếp xúc với \[\left( {{S_1}} \right),\;\left( {{S_2}} \right)\] lần lượt tại A và B. Gọi \[M,\;m\] lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đoạn AB. Tính giá trị của \[P = M.m\]

Cho các số thực \[a,b > 1\] và phương trình \[{\log _a}\left( {ax} \right).{\log _b}\left( {bx} \right) = 2020\] có hai nghiệm phân biệt m và n. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P = \left( {4{a^2} + 9{b^2}} \right)\left( {36{m^2}{n^2} + 1} \right).\]

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm \[f'\left( x \right)\]. Hàm số \[y = f'\left( x \right)\] liên tục trên tập số thực và có đồ thị như hình vẽ. Biết \[f\left( { - 1} \right) = \frac{{13}}{4},f\left( 2 \right) = 6\]. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \[g\left( x \right) = {f^3}\left( x \right) - 3f\left( x \right)\] trên \[\left[ { - 1;2} \right]\] bằng

Cho hàm số f(x) có đạo hàm xác định, liên tục \[\left[ {0;1} \right]\] đồng thời thỏa mãn các điều kiện \[f'\left( 0 \right) = - 1\] và \[{\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} = f''\left( x \right)\]. Đặt \[T = f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right)\], hãy chọn khẳng định đúng?

Biết phương trình \[{x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (a,b,c,d \in \mathbb{R})\] nhận \[{z_1} = - 1 + i,{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {z_2} = 1 + i\sqrt 2 \] là nghiệm. Tính \[a + b + c + d.\]

Cho mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + \left( {2 - m} \right)y + 2\left( {m + 1} \right)z - 6\left( {m + 2} \right) = 0.\] Biết rằng khi m thay đổi, mặt cầu (S) luôn chứa một đường tròn cố định. Tọa độ tâm I của đường tròn đó là

Tại một nơi không có gió, một chiếc khí cầu đang đứng yên ở độ cao 162 (mét) so với mặt đất đã được phi công cài đặt cho nó chế độ chuyển động đi xuống. Biết rằng, khí cầu đã chuyển động theo phương thẳng đứng với vận tốc tuân theo quy luật \[v\left( t \right) = 10t - {t^2},\] trong đó t (phút) là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, \[v\left( t \right)\] được tính theo đơn vị mét/phút (m/p). Nếu như vậy thì khi bắt đầu tiếp đất vận tốc v của khí cầu là

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với đáy, mặt bên \[\left( {SCD} \right)\] hợp với đáy một góc bằng \[60^\circ \], M là trung điểm của BC. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \[\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\]. Khoảng cách từ M đến mặt phẳng \[\left( {SCD} \right)\] bằng

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm, liên tục trên \[\mathbb{R}\], gọi \[{d_1},{d_2}\] lần lượt là tiếp tuyến của đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\] và \[y = {x^2}f\left( {2x - 1} \right)\] tại điểm có hoành độ bằng 1. Biết rằng hai đường thẳng \[{d_1},{d_2}\] vuông góc nhau, khẳng định nào sau đây đúng?

Cắt hình trụ (T) bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng \[30{\mkern 1mu} c{m^2}\] và chu vi bằng \[26{\mkern 1mu} cm\]. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ (T). Diện tích toàn phần của (T) là:

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \[m \in \left[ { - 10;10} \right]\] để bất phương trình sau nghiệm đúng \[\forall x \in \mathbb{R}:{\left( {6 + 2\sqrt 7 } \right)^x} + \left( {2 - m} \right){\left( {3 - \sqrt 7 } \right)^x} - \left( {m + 1} \right){2^x} \ge 0\]?

Cho f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên đoạn \[\left[ { - 1;1} \right]\] và \[\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx} = 4\]. Kết quả \[I = \int\limits_{ - 1}^1 {\frac{{f\left( x \right)}}{{1 + {e^x}}}dx} \] bằng

Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = x\left( {1 + 2\sin x} \right)\] là

B. \[{x^2} - 2x.\cos x + 2\sin x + C.\]

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] có đạo hàm liên tục trên \[\mathbb{R}\] và có bảng biến thiên như sau

Hàm số \[y = f\left( {{x^2} - 2x} \right)\] nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

Cho hai số phức \[{z_1}\] và \[{z_2}\] thỏa mãn \[\left| {{z_1}} \right| = 3,\left| {{z_2}} \right| = 4;\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \sqrt {41} .\] Xét các số phức \[z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = a + bi{\mkern 1mu} \left( {a,b \in \mathbb{R}} \right).\] Khi đó \[\left| b \right|\] bằng

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng \[{d_1}:\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}};{d_2}:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\]. Đường thẳng \[\Delta \] đi qua điểm \[A\left( {1;2;3} \right)\] vuông góc với đường thẳng \[{d_1}\] và cắt đường thẳng \[{d_2}\] có phương trình là

Tìm hệ số của số hạng chứa \[{x^3}\] trong khai triển biểu thức \[P = {x^2}{\left( {2x + 1} \right)^{10}} - {\left( {x - 2} \right)^8}\]

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \[x = 0\] và \[x = 2\sqrt 3 ,\] biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục \[Ox\] tại điểm có hoành độ \[x\left( {0 \le x \le 2\sqrt 3 } \right)\] thì thiết diện là một hình tam giác đều có cạnh là \[x\sqrt 2 .\]

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số \[y = \frac{{{x^2} + x - 2}}{{{x^2} - 2x + m}}\] có ba đường tiệm cận.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho \[A\left( {1; - 1;2} \right);\;B\left( {2;1;1} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z + 1 = 0\]. Mặt phẳng (Q) chứa \[A,B\] và vuông góc với mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) có phương trình là

Trong không gian Oxyz, mặt cầu \[\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 2x + 4y - 2z - 3 = 0\] có bán kính bằng

Cho khối lăng trụ đứng \[ABC.A'B'C'\] có đáy ABC là tam giác vuông cân tại \[A,BC = 2\sqrt 2 \]. Góc giữa mặt phẳng \[AB'\] và mặt phẳng \[\left( {BCC'B'} \right)\] bằng \[30^\circ \]. Thể tích của lăng trụ đã cho bằng

Số nghiệm của phương trình \[{\log _3}\left( {{x^2} + 4x} \right) + {\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2x + 3} \right) = 0\] là:

Một khối đồ chơi gồm một khối hình trụ (T) gắn chồng lên một khối hình nón (N), lần lượt có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là \[{r_1},{h_1},{r_2},{h_2}\] thỏa mãn \[{r_2} = 2{r_1},{h_1} = 2{h_2}\] (hình vẽ). Biết rằng thể tích của khối nón (N) bằng \[20{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}\]. Thể tích của toàn bộ khối đồ chơi bằng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a, SA vuông góc với đáy, \[SB = 5a\]. Tính sin của góc giữa cạnh SC và mặt đáy \[\left( {ABCD} \right)\].