Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow {AG} \) bằng

A. \(\sqrt 3 ;\)

B. \(\frac{{3\sqrt 3 }}{2};\)

C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2};\)

D. \(2\sqrt 3 .\)

Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và \[\widehat {DAB} = 120^\circ .\] Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} ;\)

B. \[\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AC} ;\]

C. \(\left| {\overrightarrow {BD} } \right| = 1;\)

D. \(\left| {\overrightarrow {{\rm{AC}}} } \right| = 1.\)

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Trong các vectơ có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, K, L, M, O, có bao nhiêu vectơ bằng vectơ \(\overrightarrow {AK} ?\)

A. 2;

B. 6;

C. 4;

D. 8.

Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A, C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?

A. Hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \] và \[\overrightarrow {CB} \] cùng hướng;

B. Hai vectơ \(\overrightarrow {CA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) cùng hướng;

C. Hai vectơ \[\overrightarrow {AB} \] và \(\overrightarrow {AC} \) cùng hướng;

D. Hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BA} \) cùng hướng.

Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm A, B, C, D và O. Số các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với \(\overrightarrow {AC} \) là:

A. 6;

B. 3;

C. 4;

D. 2.

Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực \(\overrightarrow F \) không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?

Chất điểm chuyển động thẳng từ M đến P.

Cho ba điểm M, N, P. Nếu một lực \(\overrightarrow F \) không đổi tác động lên một chất điểm trong suốt quá trình chuyển động của chất điểm, thì các công sinh bởi lực \(\overrightarrow F \) trong hai trường hợp sau có mối quan hệ gì với nhau?

Chất điểm chuyển động theo đường gấp khúc từ M đến N rồi tiếp tục từ N đến P.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm toạ độ của I.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(–3; 2), B(1; 5) và C(3; −1).

Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ấy.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).

Tìm toạ độ của điểm D thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {DA} + \overrightarrow {DB} \) có độ dài ngắn nhất.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 1) và B(7; 5).

Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều A và B.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(1; 4) và C(9; 2) là hai đỉnh của hình vuông ABCD. Tìm toạ độ các đỉnh B, D, biết rằng tung độ của B là một số âm.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).

Tìm toạ độ của điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm A(2; 1) và B(4; 3).

Tìm toạ độ của điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tính chu vi và diện tích của tam giác ABC.

Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B, C; gọi M, N, P tương ứng là trung điềm các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng

\(\overrightarrow {MD} .\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {NE} .\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {PF} .\overrightarrow {AB} = 0\)

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thoả mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 6,\left| {\overrightarrow b } \right| = 8\) và \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 10.\)

Tính số đo của góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow a + \overrightarrow b .\)

Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thoả mãn \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 6,\left| {\overrightarrow b } \right| = 8\) và \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = 10.\)

Tính tích vô hướng \(\overrightarrow a .\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\)

Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

Tam giác MNP là một tam giác vuông cân.

Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

BE vuông góc với CD;

Cho tam giác ABC có \(\widehat A < 90^\circ .\) Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh A là ABD và ACE. Gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm BC, BD, CE. Chứng minh rằng:

AM vuông góc với DE;

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, \(BC = \sqrt 2 .\) Gọi M là trung điểm của AD.

Gọi H là giao điểm của AC, BM. Gọi N là trung điểm của AH và P là trung điểm của CD. Chứng minh rằng tam giác NBP là một tam giác vuông.

Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1, \(BC = \sqrt 2 .\) Gọi M là trung điểm của AD.

Chứng minh rằng các đường thẳng AC và BM vuông góc với nhau.

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.

Lấy điểm P thuộc đoạn AN sao cho AP = 3PN. Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AP} ,\overrightarrow {MP} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} .\) Tính độ dài đoạn MP.

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.

Gọi N là điểm đối xứng với B qua C. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {AN} .\)

Cho tam giác đều ABC có độ dài các cạnh bằng 1.

Gọi M là trung điểm của BC. Tính tích vô hướng của các cặp vectơ \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {BA} ,\) \(\overrightarrow {MA} \) và \(\overrightarrow {AC} .\)

Để kéo đường dây điện băng qua một hồ hình chữ nhật ABCD với độ dài AB = 200 m, AD = 180 m, người ta dự định làm 4 cột điện liên tiếp cách đều, cột thứ nhất nằm trên bờ AB và cách đỉnh A khoảng cách 20 m, cột thứ tư nằm trên bờ CD và cách đỉnh C khoảng cách 30 m. Tính các khoảng cách từ vị trí các cột thứ hai, thứ ba đến các bờ AB, AD.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1).

Tìm toạ độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp và trực tâm H của tam giác ABC.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(1; 2), B(3; 4) và C(2; –1).

Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm của tam giác đó.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).

Tìm tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = CD.\)

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).

Tìm toạ độ của điểm F thuộc trục hoành sao cho \(\left| {2\overrightarrow {FC} + 3\overrightarrow {FD} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).

Tìm toạ độ của điểm E thuộc trục tung sao cho vectơ \(\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} \) có độ dài ngắn nhất.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7).

Tìm toạ độ của điểm R đối xứng với M qua trục hoành.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7).

Tìm toạ độ của điểm Q đối xứng với N qua Oy.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–3; 2) và N(2; 7).

Tìm toạ độ của điểm P thuộc trục tung sao cho M, N, P thẳng hàng.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).

Tìm toạ độ của điểm R thoả mãn \[\overrightarrow {RM} + 2\overrightarrow {RN} = \overrightarrow 0 .\] Từ đó suy ra P, Q, R thẳng hàng.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).

Tìm toạ độ của điểm Q sao cho \[\overrightarrow {MQ} = 2\overrightarrow {PN} .\]

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm M(–2; 1) và N(4; 5).

Tìm toạ độ của điểm P thuộc Ox sao cho PM = PN.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).

Tìm toạ độ của điểm D sao cho tứ giác ABDC là một hình vuông.

Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2;–1), B(1; 4) và C(7; 0).

Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CA. Từ đó suy ra tam giác ABC là một tam giác vuông cân.