Cho biểu thức \(P = \left( {\frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}}} \right):\left( {1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}} \right),\) trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện x²y² – 1 ≠ 0.

a) Tính mỗi tổng \(A = \frac{{x + y}}{{1 - xy}} + \frac{{x - y}}{{1 + xy}}\) và \(B = 1 + \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{x^2}{y^2}}}{{1 - {x^2}{y^2}}}.\)

b) Từ kết quả câu a, hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức \(P = 1 - \frac{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}{{1 + {x^2}}}.\)

d) Sử dụng câu c, hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1.

Cho phân thức \(P = \frac{{2{x^3} + 6{x^2}}}{{2{x^3} - 18x}}.\)

a) Viết điều kiện xác định và rút gọn phân thức P.

b) Có thể tính giá trị của P tại x = −3 được không? Vì sao?

c) Tính giá trị của phân thức P tại x = 4.

d) Với các giá trị nguyên nào của x thì P nhận giá trị nguyên?

Cho đa thức f(x) = x² – 15x + 56.

a) Phân tích đa thức f(x) thành nhân tử.

b) Tìm x sao cho f(x) = 0.

Cho đa thức P = x² – y² + 6x + 9.

a) Phân tích đa thức P thành nhân tử.

b) Sử dụng kết quả của câu a để tìm thương của phép chia đa thức P cho x + y + 3.

Rút gọn các biểu thức sau:

a) (2x + y)² + (5x – y)² + 2(2x + y)(5x – y);

b) (2x – y³)(2x + y³) – (2x – y²)(4x² + 2xy² + y⁴).

Bạn Xuân dự định làm một chiếc đèn lồng treo có hình dạng là hai hình chóp tứ giác đều bằng nhau ghép lại như Hình 10.26. Cạnh đáy của mỗi hình chóp tứ giác đều bằng 120 cm, các cạnh bên bằng 100 cm. Bạn Xuân cần dùng bao nhiêu mét vuông giấy để dán các mặt của chiếc đèn lồng này? (Coi mép dán là không đáng kể).

Bạn Trang cắt miếng bìa hình tam giác đều cạnh dài 20 cm (h.10.24) và gấp lại theo các dòng kẻ (nét đứt) để được hình chóp tam giác đều. Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều tạo thành. Cho biết \(\sqrt {75}  \approx 8,66.\)

Một khối gỗ gồm đế là hình lập phương cạnh 9 cm và phần trên là một hình chóp tứ giác đều (H.10.23). Tính thể tích khối gỗ.

Tính thể tích của hình chóp tứ giác đều, biết chiều cao bằng 9 cm và chu vi đáy bằng 12 cm.

Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều trong Hình 10.21.

Gọi tên đỉnh, cạnh bên, cạnh đáy, đường cao và một trung đoạn của hình chóp tam giác đều, hình chóp tứ giác đều trong Hình 10.20.

Chọn phương án đúng

Một hình chóp tam giác đều có chiều cao h, thể tích V. Diện tích đáy S là:

A. \(S = \frac{h}{V}.\)

B. \(S = \frac{V}{h}.\)

C. \(S = \frac{{3V}}{h}.\)

D. \(S = \frac{{3h}}{V}.\).

Chọn phương án đúng.

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng:

A. Tích của nửa chu vi đáy và chiều cao của hình chóp.

B. Tích của nửa chu vi đáy và trung đoạn.

C. Tích của chu vi đáy và trung đoạn.

D. Tổng của chu vi đáy và trung đoạn.

Chọn phương án đúng.

Đáy của hình chóp tứ giác đều là:

A. Hình vuông.

B. Hình bình hành.

C. Hình thoi.

D. Hình chữ nhật.

Chọn phương án đúng.

Trung đoạn của hình chóp tam giác đều trong Hình 10.19 là:

A. SB.

B. SH.

C. SI.

D. HI.

Bạn Khôi dự định làm một chiếc đèn lồng hình chóp tứ giác đều có độ dài cạnh đáy và đường cao của mặt bên tương ứng với cạnh đáy lần lượt là 40 cm và 30 cm. Em hãy tính giúp Khôi xem cần phải dùng bao nhiêu mét vuông giấy vừa đủ để dán tất cả các mặt bên của chiếc đèn lồng? Biết rằng nếp gấp không đáng kể.

Người ta làm mô hình kim tự tháp ở cổng vào của bảo tàng Louvre. Mô hình có dạng hình chóp tứ giác đều, chiều cao 21 m, độ dài cạnh đáy là 34 m.

a) Tính thể tích hình chóp.

b) Tính tổng diện tích các tấm kính để phủ kín bốn mặt bên hình chóp này, biết rằng người ta đo được độ dài cạnh bên của hình chóp là 31,92 m.

Tính thể tích hình chóp tam giác đều A.BCD có độ dài cạnh đáy bằng 10 cm, chiều cao bằng 12 cm (H.10.17), biết \(\sqrt {75}  \approx 8,66.\)

Trong các miếng bìa ở Hình 10.16, miếng bìa nào khi gấp và dán lại thì được một hình chóp tam giác đều, miếng nào được một hình chóp tứ giác đều?

Tính thể tích của hình chóp tam giác đều S.ABC, biết diện tích đáy của nó bằng 15,6 cm², chiều cao bằng 10 cm.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh bên bằng 13 cm, cạnh đáy bằng 10 cm như Hình 10.15.

a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Một khối bê tông có dạng như Hình 10.14. Phần dưới của khối bê tông có dạng hình hộp chữ nhật, đáy là hình vuông có dạng 40 cm, chiều cao 25 cm. Phần trên của khối bê tông có dạng hình chóp tứ giác đều, chiều cao 100 cm. Tính thể tích của khối bê tông đó.

Bánh ít trong Hình 10.13 có dạng hình chóp tứ giác đều với độ dài cạnh đáy bằng 3 cm, chiều cao bằng 3 cm. Tính thể tích của một chiếc bánh ít.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng 10 cm, trung đoạn bằng 13 cm. (H.10.12).

a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp.

b) Tính diện tích toàn phần của hình chóp.

Trong các miếng bìa ở Hình 10.11, hình nào gấp lại cho ta một hình chóp tứ giác đều?

Hãy cho biết đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy, đường cao và một trung đoạn của hình chóp tứ giác đều S.EFGH trong Hình 10.10.

Chọn phương án đúng.

Một hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 36 cm², độ dài trung đoạn bằng 4 cm. Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều này bằng:

A. 144 cm².

B. 48 cm².

C. 9 cm².

D. 40 cm².

Chọn phương án đúng.

Quan sát Hình 10.9. Đường cao của hình chóp S.MNPQ là:

A. SM.

B. MQ.

C. SO.

D. NQ.

Chọn phương án đúng.

Một hình chóp tứ giác đều có diện tích đáy bằng 100 cm², chiều cao bằng 9 cm. Thể tích của hình chóp tứ giác đều này bằng:

A. 900 cm³.

B. 300 cm³.

C. 100 cm³.

D. 270 cm³.

Chọn phương án đúng.

Diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác đều bằng:

A. Tích chu vi đáy với độ dài trung đoạn của nó.

B.  \(\frac{1}{3}\) tích của diện tích đáy với chiều cao của nó.

C. Tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn của nó.

D. Nửa tích của diện tích đáy với trung đoạn của nó.

Chọn phương án đúng.

Tổng các cạnh của hình chóp tứ giác đều là:

A. 4.

B. 6.

C. 8.

D. 10.

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng 10 cm, cạnh đáy bằng 12 cm. (H.10.7). Tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều S.ABC.

Cho hình chóp tam giác đều có diện tích đáy bằng \(4\sqrt 3 \) cm², thể tích bằng \(8\sqrt 3 \) cm³. Hỏi chiều cao của hình chóp bằng bao nhiêu xentimét?

Nhà bạn Thu có một đèn trang trí có dạng hình chóp tam giác đều như Hình 10.5. Các cạnh của hình chóp đều bằng nhau và bằng 20 cm. Bạn Thu dự định sẽ dán các mặt bên của đèn bằng những tấm giấy màu. Tính diện tích giấy bạn Thu sử dụng (coi như mép dán không đáng kể). Cho biết \(\sqrt {300}  \approx 17,32.\)

Cho hình chóp tam giác đều S.MNP có độ dài cạnh đáy bằng 6 cm, chiều cao bằng 5 cm. (H.10.4)

a) Tính diện tích tam giác MNP.

b) Tính thể tích hình chóp S.MNP, biết \(\sqrt {27}  \approx 5,2.\)

Gọi tên đỉnh, cạnh bên, mặt bên, mặt đáy, đường cao và một trung đoạn của hình chóp tam giác giác đều trong Hình 10.3.

Chọn phương án đúng

Hình chóp tam giác đều có chu vi đáy bằng 15 cm, diện tích xung quanh bằng 30 cm². Độ dài trung đoạn của hình chóp bằng:

A. 4 cm.

B. 2 cm.

C. 6 cm.

D. 8 cm.

Chọn phương án đúng

Một hình chóp tam giác đều có diện tích đáy bằng 30 cm², chiều cao bằng 6 cm. Thể tích của hình chóp tam giác đều này bằng:

A. 180 cm³.

B. 56 cm³.

C. 36 cm³.

D. 60 cm³.

Chọn phương án đúng

Một trung đoạn của hình chóp tam giác đều trong Hình 10.2 là:

 

A. SM.

B. SE.

C. MN.

D. SP.