Ta có: a.b = BCNN (a, b).ƯCLN (a, b) => a . b = 144 x 24 = 3456

Vì ƯCLN (a, b) = 24 nên a = 24. m, b = 24. n và (m, n ) = 1

Mà a.b = 3456 nên 24.m.24. n = 3456 => m . n = 6 và m, n nguyên tố cùng nhau.

Học sinh tiếp tục giải để tìm m, n sau đó tìm a, b

Ta có: a.b = BCNN (a, b).ƯCLN (a, b)

=> a . b = 1440 x 240 = 345600

Vì ƯCLN (a, b) = 240 nên a = 240. m, b = 240. n và ( m, n ) = 1

Mà a.b = 345600 nên 240.m.240. n = 345600 => m . n = 6 và m, n nguyên tố cùng nhau.

Học sinh tiếp tục giải để tìm m, n sau đó tìm a, b

Gọi năm cần tìm là a.

Vì a thuộc thế kỉ X nên 901<=a<=1000

Vì a chia 5 dư 3 => a+2 chia hết cho 5; a chia 47 dư 45 => a+2 chia hết cho 47

mà 5 ,47 nguyên tố 

=> a+2 chia hết cho 235

mà 903<=a+2<=1002

=> a+2=940

=> a=938 (chia hết cho 2)

Vậy năm đó là năm 938

Gọi số cam đó là a.

a chia 8 dư 7; chia 9 dư 8; chia 12 dư 11

=> a + 1 chia hết cho 8 ; 9 ; 12, hay a + 1 thuộc BC (8; 9; 12)

Tìm BCNN tính ra được a + 1 = 216 => a = 215

Xếp thành hàng 12, 16, 18 hàng đều thừa 2 học sinh

=> x-2 thuộc BC (12; 16; 18) và 1200 < x-2 < 1400

BCNN (12; 16; 18)

12= 22.3; 16= 24; 18= 2.32

BCNN (12; 16; 18) = 24.32 = 144

BC (12; 16; 18) = B(144) = {0; 144; 288; 432;......; 1152; 1296; 1440;….}

mà 1200<x-2<1400

nên x-2=1296

x= 1296 + 2 = 1298

Gọi ƯCLN(4n+3,5n+2) = d(d ∈ ℕ )

⇒4n+3 ⋮d; 5n+2 ⋮d

⇒ 5.(4n+3)⋮d; 4.(5n+2)⋮d

⇒20n+15 ⋮d; 20n+8 ⋮d

⇒(20n+15-20n-8)⋮d

⇒7 ⋮d

Do đó d ∈ Ư(7)={1;7}

Mà đầu bài cho là (4n+3,5n+2) ≠ 1

⇒d=7

Vậy ƯCLN(4n+3,5n+2) = 7

Ta có:3n+1 chia hết cho d => 4(3n+1) chia hết cho d => 12n+4 d

4n+1 chia hết cho d => 3(3n+1) chia hết cho d => 12n+3 d

(12n+4 )- (12n+3) chia hết cho d

1 chia hết cho d

vậy 3n+1 và 4n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi 2 số tự nhiên là a và b

Có a – b = 168

Hay ta có a = 56m, b = 56n (m, n nguyên tố cùng nhau)

Có 56m – 56n = 168 => 56.(m - n) = 168 hay m – n = 3

Lại có 600 < 56.m và 56.n < 800 => 10 < m, n < 15

Vậy m = 14, n = 11

Hai số cần tìm là 784 và 616

Đặt 2 số tự nhiên đó là: a = 12.m và b = 12.n

với UCLN (m; n) = 1

ta có: a + b = 168 => 12.m + 12.n = 168

=> (m + n).12 = 168 => m + n = 14

Do UCLN (m; n) = 1

=> m = 1; n = 13

      m = 3; n = 11

      m = 5; n = 9

 Vây,2 số tự nhiên đó là 12 và 156; 36 và 132; 60 và 108

Gọi số thứ nhất là n, số thứ hai là n+1, ƯC (n, n+1)=a

Ta có: n chia hết cho a (1)

 n+1 chia hết cho a (2)

Từ (1) và (2) ta được:

n+1-n chia hết cho a

=> 1 chia hết cho a

=> a=1

=> ƯC (n, n+1) = 1

=> n và n+1 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Vậy 2 số tự nhiên liên tiếp là hai số nguyên tố cùng nhau

Gọi số bạn được chia là a ta có (a thuộc tập n )

126=2.3.7; 198=2.32.11; 144=24.32

UCLN là 2.3 = 6 => có 6 bạn

Vậy mỗi bạn có 

126:6=21 bóng đỏ

198:6=33 bóng xanh

144:6=24 bóng vàng

Gọi số học sinh khối 6 la x

biết x thuộc N, 120<x<200

=> x+1 chia hết cho 12 và 18

Ta có: 12=22.3; 18=2.32

=> BCNN (12;18)=22.32=36

BC(12;18)= B(36) = {0;36;72;108;144;180;216;....}

Vì 120<x<200 nên a+1=144,+a+1=180 => a=143 hoặc a=179

Vậy số học sinh khối 6 là 143 hoặc 179 em

a) Gọi C là tập hợp giao của hai tập hợp A và B thì C là tập hợp gồm các số tự nhiên chia hết cho 9 

b) Giao của hai tập hợp bằng rỗng

c) Gọi D là tập hợp giao của hai tập hợp A và B thì C = {3; 5; 7}

Gọi thương và số chia là a va b

ta có: a.b + 7 =150 suy ra a.b =143

ta có: 143 = 13 x 11

Vậy a = 11, 13;  b=13, 11

1+2+3+...+n=1275

(n+1).n:2=1275

(n+1).n=1275.2

(n+1).n=2550

(n+1).n=51.50

(n+1).n=(50+1).50

=>n=50 

Ba số đó là 26, 27, 28

p và 2p+1 nguyên tố 

Nếu p = 3 thì p và 2p+1 đều nguyên tố, 4p+1 = 13 nguyên tố 

Xét p chia hết cho 3 

=> 2p không chia hết cho 3, và 2p+1 là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3 

=> 2p+2 chia hết cho 3 (do 3 số nguyên liên tiếp phải có 1 số chia hết cho 3) 

=> 2(2p+2) = 4p+4 = 4p+1+3 chia hết cho 3 => 4p+1 chia hết cho 3 

kết luận: 4p+1 nguyên tố nếu p = 3, và là hợp số nếu p nguyên tố chia hết cho 3

Do a là số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 nên a = 1

b là số nguyên tố nhỏ nhất nên b = 2

c là hợp số chẵn lớn nhât có một chữ số nên c = 8

d là số tự nhiên liền sau số nguyên tố lẻ nhỏ nhất nên d = 4

Số cần tìm là 1284

A=2001.2002.2003.2004+1

ta có:2001.2002.2003.2004 có tận cùng là 4

=>2001.2002.2003.2004=10k+4

=>A=10k+4+1=10k+5=5(2k+1) chia hết cho 5

=>A là hợp số

Ta có: $\overline{abcabc}$=$\overline{abc}$.1001

mà 1001 chia hết cho 7;11;13(là số nguyên tố)

nên $\overline{abc}$.1001 chia hết cho 7;11;13(là số nguyên tố)

suy ra số tự nhiên $\overline{abcabc}$ chia hết cho ít nhất 3 số nguyên tố