Bước 1: Tính giá trị 

Γ

(

1

)

Thay 

n

=

1

 vào công thức định nghĩa, ta có:

Γ

(

1

)

=

∫

+

∞

0

x

1

−

1

e

−

x

d

x

=

∫

+

∞

0

e

−

x

d

x

Γ

(

1

)

=

[

−

e

−

x

]

+

∞

0

=

(

lim

x

→

+

∞

−

e

−

x

)

−

(

−

e

0

)

=

0

−

(

−

1

)

=

1

Bước 2: Tính giá trị 

Γ

(

2

)

Thay 

n

=

2

 vào công thức định nghĩa:

Γ

(

2

)

=

∫

+

∞

0

x

2

−

1

e

−

x

d

x

=

∫

+

∞

0

x

e

−

x

d

x

Áp dụng định lý về tính chất đệ quy 

Γ

(

n

+

1

)

=

n

⋅

Γ

(

n

)

 với 

n

=

1

:

Γ

(

2

)

=

Γ

(

1

+

1

)

=

1

⋅

Γ

(

1

)

Từ kết quả Bước 1 ta có 

Γ

(

1

)

=

1

, suy ra:

Γ

(

2

)

=

1

⋅

1

=

1

Bước 3: Kết luận hệ quả

Mặt khác, theo mối liên hệ giữa hàm Gamma và giai thừa đối với các số nguyên dương 

k

: 

Γ

(

k

)

=

(

k

−

1

)

!

, ta có hệ thống:

{

Γ

(

1

+

1

)

=

(

1

+

1

−

1

)

!

=

1

!

=

1

Γ

(

2

)

=

(

2

−

1

)

!

=

1

!

=

1

Xét hàm số 

f

(

n

)

=

Γ

(

n

)

. Do hàm Gamma đồng biến nghiêm ngặt trên khoảng 

[

1.46

,

+

∞

)

, nên hàm số có tính đơn ánh trên miền giá trị nguyên dương. Do đó:

Γ

(

1

+

1

)

=

Γ

(

2

)

⟺

1

+

1

=

2

Vậy: 

1

+

1

=

2

(

đpcm

)