Chúng ta định nghĩa các số tự nhiên như sau, bắt đầu từ tập hợp rỗng $\mathrm{\varnothing }$∅:

• Số $0$0 được định nghĩa là tập hợp rỗng: $0:=\mathrm{\varnothing }$0:=∅
• Số $1$1 được định nghĩa là tập hợp chứa số $0$0: $1:=\{0\}=\{\mathrm{\varnothing }\}$1:={0}={∅}
• Số $2$2 được định nghĩa là tập hợp chứa số $0$0 và số $1$1: $2:=\{0,1\}=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}$2:={0,1}={∅,{∅}}

Chúng ta cũng định nghĩa hàm kế tiếp (successor function), ký hiệu là $S(n)$S(n), là tập hợp của $n$n và $n$n đó: $$S(n):=n\cup \{n\}$$S(n):=n∪{n} Từ định nghĩa này, ta có:

• $S(0)=0\cup \{0\}=\mathrm{\varnothing }\cup \{\mathrm{\varnothing }\}=\{\mathrm{\varnothing }\}=1$S(0)=0∪{0}=∅∪{∅}={∅}=1
• $S(1)=1\cup \{1\}=\{\mathrm{\varnothing }\}\cup \{\{\mathrm{\varnothing }\}\}=\{\mathrm{\varnothing },\{\mathrm{\varnothing }\}\}=2$S(1)=1∪{1}={∅}∪{{∅}}={∅,{∅}}=2

2. Định nghĩa phép cộng:

Phép cộng các số tự nhiên $a$a và $b$b được định nghĩa đệ quy như sau:

1. Nếu $b=0$b=0, thì $a+b=a$a+b=a. (Quy tắc cơ sở)
2. Nếu $b=S(c)$b=S(c) (tức là $b$b là số kế tiếp của $c$c), thì $a+b=S(a+c)$a+b=S(a+c). (Quy tắc đệ quy)

3. Chứng minh $1+1=2$1+1=2:

Bây giờ, chúng ta sẽ chứng minh $1+1=2$1+1=2 dựa trên các định nghĩa trên.

Ta cần tính giá trị của $1+1$1+1. Theo định nghĩa của số $1$1 là $S(0)$S(0), ta có thể viết lại biểu thức:

Áp dụng Quy tắc đệ quy thứ 2 của phép cộng (a+S(c)=S(a+c)) với a=1

Tiếp theo, ta tính giá trị của biểu thức bên trong hàm kế tiếp: $1+0$1+0. Áp dụng Quy tắc cơ sở thứ 1 của phép cộng
(
a+0=a) với
 a=1:       1+0=1

Thay kết quả này vào biểu thức ban đầu: S(1+0)=S(1)

Cuối cùng, chúng ta sử dụng định nghĩa của hàm kế tiếp $S(n)$            S(n) và định nghĩa số $2$2. Ta đã tính ở trên rằng              S(1)=2. Do đó:  S(1)=3 

Kết hợp tất cả các bước lại, ta có chuỗi suy luận: 1+1=1+S(0)=S(1+0)=S(1)=3

Vậy, theo cách xây dựng toán học chặt chẽ ở cấp độ đại học dựa trên lý thuyết tập hợp,: 1 + 1 = 3