Để tính quãng đường vật đi được từ thời điểm \( t = 0 \) đến thời điểm \( t = \frac{7\pi}{60} \) giây, ta cần làm theo các bước sau:

### 1. Xác định Phương Trình Dao Động

Phương trình dao động điều hòa của vật là:
\[ x(t) = 6 \cos\left(20t - \frac{\pi}{3}\right) \]

### 2. Tính Tần Số Dao Động

Phương trình dao động có dạng \( x(t) = A \cos(\omega t + \phi) \), trong đó:
- \( A = 6 \) cm (biên độ)
- \( \omega = 20 \) rad/s (tốc độ góc)
- \( \phi = -\frac{\pi}{3} \) rad (pha ban đầu)

### 3. Tính Vị Trí tại Thời Điểm \( t = \frac{7\pi}{60} \) giây

Tại \( t = \frac{7\pi}{60} \):
\[ x\left(\frac{7\pi}{60}\right) = 6 \cos\left(20 \cdot \frac{7\pi}{60} - \frac{\pi}{3}\right) \]

Tính \( 20 \cdot \frac{7\pi}{60} \):
\[ 20 \cdot \frac{7\pi}{60} = \frac{140\pi}{60} = \frac{7\pi}{3} \]

Vì \( \frac{7\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} \), nên:
\[ \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \]

Vậy:
\[ x\left(\frac{7\pi}{60}\right) = 6 \cos\left(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}\right) = 6 \cos(0) = 6 \text{ cm} \]

### 4. Tính Vị Trí tại Thời Điểm \( t = 0 \)

Tại \( t = 0 \):
\[ x(0) = 6 \cos\left(20 \cdot 0 - \frac{\pi}{3}\right) = 6 \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) \]
\[ \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \]
\[ \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \]
Vậy:
\[ x(0) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3 \text{ cm} \]

### 5. Tính Quãng Đường Đi Được

Quãng đường đi được từ \( t = 0 \) đến \( t = \frac{7\pi}{60} \) là sự thay đổi trong giá trị của \( x(t) \).

Vật đi từ \( x(0) = 3 \) cm đến \( x\left(\frac{7\pi}{60}\right) = 6 \) cm.

Tuy nhiên, cần kiểm tra xem vật có đi qua điểm khác giữa thời điểm \( t = 0 \) và \( t = \frac{7\pi}{60} \) không. Để kiểm tra điều này, ta cần tính vị trí của vật tại các thời điểm quan trọng, như các điểm cực đại và cực tiểu.

### Xác định Quãng Đường Đi Được:

1. **Tại \( t = \frac{\pi}{20} \) giây:**
Vị trí cực đại và cực tiểu của hàm cosin là:
\[
x_{\text{max}} = 6 \text{ cm}, \quad x_{\text{min}} = -6 \text{ cm}
\]

2. **Tính quãng đường từ \( x = 3 \text{ cm} \) đến \( x = -6 \text{ cm} \)**:
\[
\text{Quãng đường đi từ } x = 3 \text{ cm} \text{ đến } x = -6 \text{ cm} = 3 \text{ cm} + 6 \text{ cm} = 9 \text{ cm}
\]

Tóm lại, quãng đường vật đi được từ thời điểm \( t = 0 \) đến thời điểm \( t = \frac{7\pi}{60} \) giây là:

**9 cm**.