Lập phương trình đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước

A. Phương pháp giải

+ Để lập được phương trình đường tròn ( C) cần xác định được hai yếu tố: tâm I(x₀; y₀) và bán kính R.

⇒ Phương trình đường tròn ( C):

( x - x₀)² + (y - y₀)² = R².

+ Nếu điểm A thuộc đường tròn thì IA = R.

+ Nếu đường tròn đi qua hai điểm A và B thì IA = IB và I nằm trên đường trung trực của AB.

+ Nếu đường tròn tiếp xúc với đường tròn d thì d(I; d) = R.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Đường tròn (C) đi qua hai điểm A( 2; -3); B( 1; -2) và có tâm I thuộc trục hoành có phương trình là:

A. ( x + 2)² + y² = 10    B. ( x - 4)² + y² = 13

C. (x + 4)² + y² = 16    D. (x + 2)² + y² = 12

Lời giải

Gọi tâm đường tròn ( C) là I( a; 0) thuộc trục hoành .

Do đường tròn đi qua hai điểm A và B nên IA = IB

⇔ IA² = IB² ⇔ ( a - 2)² + ( 0 + 3)² = (a - 1)² + (0 + 2)²

⇔ a² - 4a + 4 + 9 = a² - 2a + 1 + 4

⇔ - 2a = - 8 ⇔ a = 4.

⇒ Tâm I( 4;0) và bán kính R = IA =  = √13

Vậy đường tròn cần tìm là: ( x - 4)² + y² = 13

Chọn B.

Ví dụ 2: Đường tròn ( C) đi qua hai điểm A( 1; 3); B( 3; 1) và có tâm nằm trên đường thẳng d: 2x - y + 7 = 0 có phương trình là

A. (x - 7)² + (y - 7)² = 102    B. (x + 7)² + (y + 7)² = 164

C. (x - 3)² + (y - 5)² = 25    D. (x + 3)² + (y + 5)² = 25

Hướng dẫn giải

Gọi I ( a; b) là tâm của đường tròn ( C).

Do hai điểm A và B cùng thuộc đường tròn nên IA = IB ⇔ IA² = IB²

⇔ ( a - 1)² + ( b - 3)² = ( a - 3)² + (b - 1)²

⇔ a² - 2a + 1 + b² - 6b + 9 = a² - 6a + 9 + b² - 2b + 1

⇔ a = b ( 1)

Mà điểm I (a; b) thuộc đường thẳng d: 2x - y + 7 = 0 nên 2a - b + 7 = 0 (2)

Từ (1) và ( 2) ta có hệ phương trình:

 ⇒ I( - 7; -7)

⇒ Bán kính đường tròn là R = IA =  = √164

Vậy (C): (x + 7)² + (y + 7)² = 164

Chọn B

Ví dụ 3: Phương trình đường tròn ( C) có tâm I( 6;2) và tiếp xúc ngoài với đường tròn
(C'): x² + y² - 4x + 2y + 1 = 0 là

A. x² + y² - 12x - 4y - 9 = 0    B. x² + y² - 6x - 12y + 31 = 0

C. x² + y² + 12x + 4y + 31 = 0    D. x² + y² - 12x - 4y + 31 = 0

Hướng dẫn:

Đường tròn (C'): x² + y² - 4x + 2y + 1 = 0 có tâm I’( 2; -1) bán kính R’ = 2.

Độ dài đoạn II’ =  = 5

Đường tròn (C) tâm I( 6; 2) tiếp xúc ngoài với (C’) khi và chỉ khi:

II’ = R + R’ ⇒ R = II’- R’ = 5 - 2 = 3 .

Đường tròn ( C) có tâm I( 6;2) và bán kính R = 3.

⇒ Phương trình đường tròn : ( x - 6)² + (y - 2)² = 9

hay x² + y² - 12x - 4y + 31 = 0 .

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho đường tròn (C): (x + 1)² + (y - 3)² = 4 và đường thẳng
d: 3x - 4y + 5 = 0. Phương trình của đường thẳng d’ song song với đường thẳng d và chắn trên (C) một dây cung có độ dài lớn nhất là

A. 4x + 3y + 13 = 0.    B. 3x - 4y + 25 = 0.

C. 3x - 4y + 15 = 0.    D. 4x + 3y + 20 = 0

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I( - 1 ; 3) và R = 2.

+ Do đường thẳng d’// d nên d’ có dạng : 3x - 4y + c = 0 ( c≠5) .

+ Để đường thẳng d’chắn trên ( C) một dây cung có độ dài lớn nhất khi và chỉ khi đường thẳng d’ đi qua tâm I ( -1 ; 3) của đường tròn

⇒ 3.( - 1) – 4.3 + c = 0 ⇔ - 15 + c = 0 nên c = 15

Vậy phương trình đường thẳng d’ : 3x - 4y + 15 = 0.

Chọn C.

Ví dụ 5 : Đường tròn ( x - a)² + ( y - b)² = R² cắt đường thẳng x + y - a - b = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu ?

A. 2R    B. R√2    C.     D. R

Hướng dẫn giải

Ta có: đường tròn tâm I (a; b) , bán kính R.

Vì tâm I(a; b) thuộc đường thẳng x + y - a - b = 0 nên độ dài của dây cung bằng độ dài đường kính bằng 2R.

Chọn A.

Ví dụ 6. Đường tròn ( C) đi qua hai điểm A( -1; 1); B(3; 3) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: 3x - 4y + 8 = 0. Viết phương trình đường tròn( C), biết tâm của (C) có hoành độ nhỏ hơn 5.

A. (x - 3)² + (y + 2)² = 25    B. (x + 3)² + (y - 2)² = 5

C. (x + 5)² + (y + 2)² = 5    D. (x - 5)² + (y - 2)² = 25.

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng AB: 

⇒ Phương trình AB: 1( x + 1) – 2( y - 1) = 0 hay x - 2y + 3 = 0.

+ Do A và B thuộc đường tròn nên IA = IB trong đó I là tâm đường tròn

⇒ I thuộc đường trung trực d của AB .

+ Phương trình đường trung trực d của AB:

⇒ (d) : 4( x - 1) + 2( y - 2) = 0 hay (d): 2x + y - 4 = 0.

Do tâm I thuộc đường thẳng d nên I( a; 4 - 2a) với a < 5

+ Mà đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên R = IA = d(I; ∆)

⇔ 

⇔ 5 = |11a - 8|

⇔ 25( a² + 2a + 1 + 9 - 12a + 4a²) = 121a² - 176a + 64

⇔ 25( 5a² - 10a + 10) – 121a² + 176a - 64 = 0

⇔125a² - 250a + 250 - 121a² + 176a - 64 = 0

⇔4a² - 74a + 186 = 0

⇔ 

Với a = 3 thì tâm I (3; -2) và bán kính R = IA = 5

Vậy phương trình đường tròn là: ( x - 3)² + ( y + 2)² = 25

Chọn A.

Ví dụ 7. Đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1; 1); B(3; 5) và có tâm I thuộc trục tung có phương trình là:

A. x² + y² - 8y + 6 = 0    B. x² + (y - 4)² = 10

C. x² + (y + 4)² = 6    D. x² + y² + 4y + 6 = 0

Lời giải

Gọi tâm đường tròn ( C) là I( 0; a) thuộc trục tung.

Do đường tròn đi qua hai điểm A và B nên IA = IB

⇔ IA² = IB² ⇔ (1 - 0)² + (1 - a)² = (3 - 0)² + (5 - a)²

⇔ 1 + 1 - 2a + a² = 9 + 25 - 10a + a²

⇔8a = 32 ⇔a = 4

⇒ Tâm đường tròn là I( 0; 4) và bán kính R = IA = √10.

Vậy đường tròn cần tìm là: x² + (y - 4)² = 10

Chọn B.

Ví dụ 8. Đường tròn ( C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 3y - 5 = 0, bán kính R = 2√2 và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : x - y - 1 = 0. Phương trình của đường tròn (C) là:

A. (x + 1)² + (y - 2)² = 8 hoặc (x - 5)² + y² = 8.

B. (x + 1)² + (y - 2)² = 8 hoặc (x + 5)² + y² = 8.

C. (x - 1)² + (y + 2)² = 8 hoặc (x - 5)² + y² = 8.

D. (x - 1)² + (y + 2)² = 8 hoặc (x + 5)² + y² = 8.

Lời giải

Do điểm I thuộc đường thẳng d nên tọa độ điểm I( 5 - 3a; a).

Do đường tròn tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên d(I; ∆) = R

⇔  = 2√2 ⇔ |4 - 4a| = 4

⇔ 

⇒ Có hai đường tròn thỏa mãn là:

( x - 5)² + y² = 8 và ( x + 1)² + (y - 2)² = 8

Chọn A.

Ví dụ 9. Đường tròn ( C) có tâm I thuộc đường thẳng d: x + 2y - 2 = 0, bán kính R = 5 và tiếp xúc với đường thẳng ∆ : 3x - 4y - 11 = 0. Biết tâm I có hoành độ dương. Phương trình của đường tròn (C) là:

A. (x + 8)² + (y - 3)² = 25.

B. ( x - 2)² + (y + 2)² = 25 hoặc ( x + 8)² + (y - 3)² = 25.

C. (x + 2)² + (y - 2)² = 25 hoặc (x - 8)² + (y + 3)² = 25.

D. (x - 8)² + (y + 3)² = 25.

Lời giải

Do tâm I thuộc đường thẳng d nên tọa độ điểm I( 2 - 2a; a) với a < 1 ( vì tâm I có hoành độ dương ) .

Do đường tròn ( C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ nên d( I; ∆) = R

⇔  = 5 ⇔ |-5 - 10a| = 25

⇔ 

Với a = -3 thì tâm I (8; - 3). Khi đó phương trình đường tròn là:

(x - 8)² + (y + 3)² = 25.

Chọn D.

Ví dụ 10: Đường tròn ( C) tiếp xúc với trục tung tại điểm A(0; - 2) và đi qua điểm
B( 4; -2) có phương trình là

A. (x - 2)² + (y + 2)² = 4    B. (x + 2)² + (y - 2)² = 4

C. (x - 3)² + (y - 2)² = 4    D. (x - 3)² + (y + 2)² = 4

Hướng dẫn giải

+ Phương trình đường thẳng AB: 

⇒ Phương trình ( AB) : 0( x - 0) + 1( y + 2) = 0 hay y + 2 = 0

⇒ đường thẳng AB vuông góc với trục tung (1)

+ Lại có: đường tròn ( C) tiếp xúc trục tung tại điểm A( 0; -2) và đi qua điểm B( 4; -2) (2)

Từ ( 1) và( 2) suy ra AB là đường kính của đường tròn ( C) .

⇒ Tâm I của đường tròn là trung điểm AB và có tọa độ:

 ⇒ I( 2; -2)

Bán kính đường tròn là R = IA =  = 2

Vậy (C): (x - 2)² + (y + 2)² = 4 .

Chọn A.