Vị trí tương đối của hai đường tròn, của đường thẳng và đường tròn

A. Phương pháp giải

+ Vị trí tương đối của hai đường tròn :

Cho hai đường tròn (C₁): tâm I₁; bán kính R₁ và đường tròn (C₂): Tâm I₂ bán kính R₂.

- Nếu I₁I₂ > R₁ + R₂ thì hai đường tròn không có điểm chung .

- Nếu I₁I₂ = R₁ + R₂ thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài

- Nếu I₁I₂ = |R₁ - R₂ | thì hai đường tròn tiếp xúc trong.

- Nếu R₁ - R₂ < I₁I₂ < R₁ + R₂ thì hai đường tròn cắt nhau ( với R₁ > R₂) .

+ Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn :

Cho đường thẳng d và đường tròn ( C): tâm I; bán kính R:

- Nếu d( I; d) = R thì đường thẳng tiếp xúc với đường tròn.

- Nếu d( I; d) > R thì đường thẳng và đường tròn không có điểm chung.

- Nếu d(I; d) < R thì đường thẳng và đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tọa độ giao điểm của đường tròn (C) : x² + y² - 2x - 2y + 1 = 0 và đường thẳng
∆ : 

A. (1 ; 2) và ( 2 ;1)    B. (1 ;2) và ( ;  ).

C. ( 2 ;5)    D. (1 ; 0) và (0 ;1)

Hướng dẫn giải

Thế  vào (C) ta có:

( 1 + t)² + ( 2 + 2t)² - 2( 1 + t) - 2( 2 + 2t) + 1 = 0

⇔ 1 + 2t + t² + 4 + 8t + 4t² - 2 - 2t - 4 – 4t + 1 = 0

⇔ 5t² + 4t = 0

⇔ 

Chọn B

Ví dụ 2 : Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn (C₁) : x² + y²= 4 và đường tròn
(C₂) : (x + 10)² + (y - 16)² = 1.

A. Cắt nhau.    B. Không cắt nhau.    C. Tiếp xúc ngoài.    D. Tiếp xúc trong.

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn C₁ có tâm và bán kính: I₁ ( 0; 0) và R₁ = 2

+ Đường tròn ( C₂) có tâm và bán kính: I₂( - 10; 16) và R₂ = 1.

Khoảng cách giữa hai tâm I₁I₂ =  = 2√89 > R₁ + R₂ .

Vậy ( C₁) và ( C₂) không có điểm chung.

Chọn B.

Ví dụ 3: Tìm giao điểm 2 đường tròn (C₁) : x² + y² - 2 = 0 và (C₂) : x² + y² - 2x = 0

A. (2 ; 0) và (0 ; 2) .    B. (√2; 1) và (1; -√2) .

C. (1; - 1) và (1; 1)    D. ( - 1 ; 0) và (0 ; - 1) .

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của hai đường tròn đã cho là nghiệm hệ phương trình:

Vậy hai giao điểm là A( 1; 1) và B( 1; - 1) .

Chọn C.

Ví dụ 4: Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng ∆ : y = x và đường tròn
(C) : x² + y² - 2x = 0 .

A. ( 0; 0)    B. (0; 0) và (1;1) .    C. (2; 0)    D. (1;1)

Hướng dẫn giải

Giao điểm nếu có của đường thẳng ∆ và đường tròn ( C) là nghiệm hệ phương trình:

Vậy đường thẳng cắt đường tròn tại hai điểm là A( 0; 0) và B (1; 1).

Chọn B

Ví dụ 5. Cho đường tròn ( C): x² + y² – 2x + 4y = 0. Đường thẳng d: 2x - y + m = 0. Tìm m để đường thẳng d cắt đường tròn ?

A. – 7 < m < 1    B. - 9 ≤ m ≤ 1    C. - 9 < m < 1    D. - 9 < m ≤ 1

Lời giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I ( 1; - 2) và bán kính R =  = √5

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d:

d(I; d) = 

+ Để đường thẳng cắt đường tròn khi và chỉ khi đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau hoặc cắt nhau nên:

d(I; d) ≤ R ⇔  ≤ √5

⇔ |4 + m| ≤ 5

⇔ - 5 ≤ 4 + m ≤ 5 ⇔ - 9 ≤ m ≤ 1

Vậy để đường thẳng d cắt đường tròn khi - 9 ≤ m ≤ 1

Chọn B.

Ví dụ 6 : Xác định vị trí tương đối giữa 2 đường tròn ( C₁) : x² + y² = 4 và đường tròn
( C₂) : ( x - 3)² + ( y - 4)² = 25.

A. Không cắt nhau.    B. Cắt nhau.    C. Tiếp xúc ngoài.    D. Tiếp xúc trong.

Hướng dẫn giải

Đường tròn ( C₁) có tâm I₁( 0; 0) và bán kính R₁ = 2

Đường tròn ( C₂) có tâm I₂(3; 4) và bán kính R₂ = 5

Khoảng cách hai tâm I₁I₂ =  = 5.

Ta có: R₂ - R₁ = 3 < I₁I₂ = 5 < R₂ + R₁ = 7 nên 2 đường tròn trên cắt nhau.

Chọn B.

Ví dụ 7 : Đường tròn x² + y² - 2x - 2y - 23 = 0 cắt đường thẳng d : x + y - 2 = 0 theo một dây cung có độ dài bằng bao nhiêu?

A. 10    B. 8    C. 6    D. 3√2.

Hướng dẫn giải

+ Đường tròn ( C) có tâm I( 1; 1) và bán kính R= 5.

+ Khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d là:

d(I,d) =  = 0

⇒ điểm I thuộc đườngthẳng d nên đường thẳng ( d) cắt đường tròn ( C) tại hai điểm M và N trong đó MN là đường kính của đường tròn.

⇒ MN = 2R = 10

Vậy đường thẳng d cắt đường tròn( C) theo một dây cung có độ dài là 10.

Chọn A.

Ví dụ 8: Cho đương tròn C₁) có tâm I₁(1; 0); bán kính R₁ = 1 và đường tròn (C₂) có tâm I₂( - 5; 8), bán kính R₂ = 11. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C₁) và ( C₂)?

A. Tiếp xúc ngoài    B. Tiếp xúc trong

C. Cắt nhau    D. Không cắt nhau

Lời giải

+ Khoảng cách hai tâm là: I₁I₂ =  = 10

⇒ I₁I₂ = R₂ - R₁ = 10

⇒ Hai đương thẳng đã cho tiếp xúc trong.

Chọn B.

Ví dụ 9: Cho đương tròn C₁) có tâm I₁(2; - 3); bán kính R₁ = 3 và đường tròn (C₂) có tâm I₂(4; 7), bán kính R₂ = 6. Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (C₁) và ( C₂)?

A. Tiếp xúc ngoài    B. Tiếp xúc trong

C. Cắt nhau    D. Không cắt nhau

Lời giải

+ Khoảng cách hai tâm là: I₁I₂ =  = √104

⇒ I₁I₂ > R₂ + R₁ = 9

⇒ Hai đường tròn đã cho không cắt nhau.

Chọn D.

Ví dụ 10. Tìm giao điểm 2 đường tròn ( C₁) : x² + y² - 4 = 0 và
(C₂) : x² + y² - 4x - 4y + 4 = 0

A. (√2; √2) và (√2; - √2)    B. (0 ; 2) và (0 ; - 2)

C. (2 ; 0) và (0 ;2)    D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Tọa độ giao điểm của 2đường tròn đã cho thỏa mãn hệ phương trình:

Vậy giao điểm A(0; 2) và B( 2; 0).

Chọn C.