A. Phương pháp giải

Muốn tìm tọa độ điểm A thỏa mãn điều kiện T có 2 hướng:

Hướng 1: Tìm hai đường thẳng d và ∆ cùng đi qua điểm A. Khi đó; tọa độ A là nghiệm hệ phương trình : 

Hướng 2: Nếu điểm A thuộc đường thẳng d: ax + by + c = 0 cho trước và cách điểm B một khoảng là h

⇒ 

Giải hệ phương trình ta được tọa độ điểm A.

Chú ý: Tính chất các đường trung tuyến; đường cao.. của tam giác. Tính chất các đường chéo của hình bình hành; hình thoi...

B. Ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có AB = 1; BC = 1√2 và góc B = 45⁰.Gọi A’ là điểm đối xứng với A( 2; 0) qua BC; M( -1; 1) là trung điểm của BC. Tìm tọa độ điểm A’?

  A. ( 1; 0)    B. ( -4; 2)    C. ( 1; 1)    D. Không đủ dữ liệu

  Lời giải

  + Áp dụng định lí cosin vào tam giác ABC ta có:

  AC² = AB² + BC² – 2.AC.BC.CosB

  = 1² + (1√2)² - 2.1.1√2.cos45⁰ = 1

  ⇒ AC = 1 nên AB = AC = 1 và AB² + AC² = BC²

  ⇒ Tam giác ABC vuông cân tại A.

  ⇒ AM là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

  + Do A’ đối xứng với điểm A qua BC nên M là trung điểm của AA’.

  ⇒ Tọa độ của A’ là:  ⇒ A’( - 4; 2)

  Chọn B.

Ví dụ 2. Cho A( -2; 5) và B(2 ; 3). Đường thẳng d: x - 4y + 4 = 0 cắt AB tại M. Toạ độ điểm M là:

A. (8; 3)    B. (0; 1)    C. (4; 2)    D. (4; -2)

Lời giải:

+ Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm A và B: đi qua A( -2; 5), vectơ chỉ phương AB→ = (4; -2) nên vectơ pháp tuyến n→ = (2; 4)

⇒ Phương trình: AB. 2( x + 2) + 4( y - 5) = 0 hay 2x + 4y - 16 = 0

+ Gọi M là giao điểm của 2 đường thẳng AB và đường thẳng d. Tọa độ M thỏa mãn hệ

 ⇒ M(4; 2)

Chọn C.

Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC có A(1; -2) , đường cao CH: x - y + 1 = 0, đường phân giác trong BN: 2x + y + 5 = 0. Tọa độ điểm B là

A. ( 4 ; 3)    B. ( 4 ; -3)    C. (-4 ; 3)    D. ( -4 ; -3)

Lời giải

Ta cón đường thẳng AB : 

⇒ ( AB) : 1( x - 1) + 1(y + 2) = 0 hay x + y + 1 = 0

Mà AB và BN cắt nhau tại B nên toạ độ B là nghiệm hệ phương trình .

 ⇒ B( - 4; 3)

Chọn C.

Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC vuông tại A có A(-1 ; 4) ; B( 1 ; -4) và đường thẳng BC đi qua điểm K(  ; 2) . Tìm tọa độ điểm C ?

A. ( 1 ; -2)    B. ( -2 ; 3)    C. ( 3 ; 5)    D. ( -2 ; -1)

Lời giải

+ Phương trình ( BK) : 

⇒ Phương trình BK : 

+ Điểm C thuộc BK nên C( 1 + 2t ; - 4 + 9t) .

+ ta có : AB→( 2; -8); AC→( 2t + 2; 9t - 8)

Do tam giác ABC vuông tại A nên AB→. AC→ = 0

⇒ 2( 2t + 2) – 8( 9t - 8) = 0 ⇔ 4t + 4 - 72t + 64 = 0

⇔ t= 1 ⇒ C( 3 ; 5)

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: x - y + 2 = 0 và hai điểm A( 0; 4) ; B( 4; -8) . Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho C cách đều hai điểm A và B?

A. ( -7; -5)    B. ( 1; -4)    C. ( -2; -5)    D. ( 4; 7)

Lời giải

+ Do điểm C cách đều hai điểm A và B nên C thuộc đường thẳng ∆: đường trung trực của AB.

+ Trung điểm của AB là I ( 2; - 2) .

Đường thẳng ∆: 

⇒ Phương trình ∆: 1( x - 2) – 3( y + 2) = 0 hay x - 3y - 8 = 0.

+ Hai đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại C nên tọa độ điểm C là nghiệm hệ:

 ⇒ C( -7; -5)

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho tam giác ABC biết AB: x + y - 1 = 0; AC: x - y + 3 = 0 và trọng tâm
G(1; 2). Tìm tọa độ điểm B?

A. ( -2; 1)    B. ( 2 ; -1)    C. ( 3; 2)    D. ( 1; -3)

Lời giải

+ Hai đường thẳng AB và AC cắt nhau tại A nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ

 ⇒ A( -1; 2).

+ Điểm B( a; 1 - a) thuộc đường thẳng AB và điểm C( b; b + 3) thuộc đường thẳng AC.

+ Do G( 1; 2) là trọng tâm tam giác nên ta có:

 ⇔ a = b = 2

⇒ Điểm B( 2; - 1) và C( 2; 5)

Chọn B.

Ví dụ 7. Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình của AB: 2x - y + 5 = 0, đường thẳng AD qua gốc tọa độ O , và tâm hình chữ nhật là I( 4; 5 ). Tìm tọa độ điểm D.

A. D(22; 11)    B. D(  ;  )    C. D( 3 ; - 5)    D. D( 4; 8)

Lời giải

+ Đường thẳng AD: 

⇒ Phương trình AD: 1( x - 0) + 2( y - 0) = 0 hay x + 2y = 0.

+ Hai đường thẳng AB và AD cắt nhau tại A nên tọa độ A là nghiệm hệ :

 ⇒ A ( -2; 1) .

+ Do I là tâm hình chữ nhật nên I là trung điểm AC.

⇒ Tọa độ C( 10; 9) .

+ Đường thẳng CD // AB nên có dạng ( CD) : 2x - y + c = 0 ( c ≠ 5) .

Mà C( 10; 9) thuộc CD nên 2.10 - 9 + c = 0 ⇒ c = - 11

Vậy phương trình CD: 2x - y - 11 = 0.

+ Hai đường thẳng AD và CD cắt nhau tại D nên tọa độ D là nghiệm hệ :

 ⇒ D(  ;  )

Chọn B.

Ví dụ 8. Tam giác ABC có đỉnh A(-1; -3) . Phương trình đường cao BB’:
5x + 3y - 25 = 0; phương trình đường cao CC’: 3x + 8y - 12 = 0. Toạ độ đỉnh B là

A. (5; 2)    B. (2; 5)    C. ( 2; -5)    D. (-5; 2)

Lời giải

+ Đường thẳng AB vuông góc với CC’ nên nhận u→(3; 8) làm VTCP và n→(8; -3) làm VTPT.

+ Do đó d có phương trình: 8( x + 1) - 3( y + 3) = 0 hay 8x - 3y - 1 = 0

+ Hai đường thẳng BB’ và BC cắt nhau tại B nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

• Câu 1: Tam giác ABC đều có A(-1; -3) và đường cao BB’: 5x + 3y - 15 = 0. Tọa độ đỉnh C là:

  A. C( ;  )    B. C( -  ; -  )    C. C( ; -  )    D. C(-  ;  

Câu 2: Cho đường thẳng ∆: x + y - 3 = 0. Tìm tọa độ điểm A thuộc ∆ và cách gốc tọa độ một khoảng bằng √17?

A. ( 4; -1)    B. ( -1; 4)    C. ( 2; 1) hoặc ( -2; 5)    D. Cả A và B đúng

Câu 3: Cho tam giác ABC có đỉnh A(2; 1) , đường cao BH có phương trình x - 3y - 7 = 0 và đường trung tuyến CM có phương trình x + y + 1 = 0. Xác định toạ độ các đỉnh B

A. (-2; -3)    B. (1; -2)    C. (4; - 1)    D. (6; 3)

Câu 4: Phương phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4 ; -1) ; đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ A có phương trình (d₁): 2x - 3y + 12 = 0 và
(d₂): 2x + 3y = 0. Tìm tọa độ điểm B ?

A. ( 4 ; -6)    B. ( 8 ; -7)    C. (4 ; 2)    D. (-4 ; -9)

Câu 5: Cho hình thoi ABCD có tâm I. Đường thẳng AC có phương trình : 2x + y - 5 = 0. Biết đường thẳng BD đi qua gôc tọa độ O. Tìm tọa độ điểm I ?

A. (-2 ; -1)    B. (1 ; 3)    C. (2 ; 1)    D. (-3 ; 0)

Câu 6: Cho tam giác ABC có trung điểm của AB là I( 1; 3) , trung điểm AC là J( -3; 1). Điểm A thuộc Oy và đường BC qua gốc tọa độ O . Tìm tọa độ điểm A ?

A. ( 0; 1)    B. (0; -2)    C. (0; 5)    D. (0; 8)

Câu 7: Trên đường thẳng ( d) : x + 2y - 5 = 0. Tìm điểm M cách đều hai điểm A( 2 ; -3) và B ( -1 ; 2) ?

A. ( -2 ; 1)    B. (3 ;1)    C. (-2 ; -4)    D. Đáp án khác

Câu 8: Cho tam giác ABC có A( 1 ; -2) ; B( -2 ; 0). Có bao nhiêu điểm C để tam giác ABC vuông cân tại C ?

A. 1    B. 2    C. 0    D. 3

Câu 9: Cho hình thoi ABCD có điểm A( 1 ; 0) ; phương trình cạnh BC : x + 7y - 7 = 0 và phương trình BD : x + 2y + 9 = 0. Tìm tọa độ điểm D ?

A. (-1 ; 7)    B. (-9 ; 0)    C. (1 ; -5)    D. ( -13 ; 2)