A. Phương pháp giải

- Để viết được phương trình đường thẳng d cần xác định được hai yếu tố:

    + Một điểm A thuộc đường thẳng d.

    + Một VTPT hoặc một VTCP của đường thẳng.

- Hai đương thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là VTPT của đường thẳng kia.

- Hai đường thẳng song song có cùng VTPT; VTCP.

- Nhớ đến các tính chất của hình vuông; hình chữ nhật ; hình thoi...đường trung bình của tam giác...

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình bình hành ABCD, biết A( -2; 1) và phương trình đường thẳng CD là 3x - 4y - 5 = 0. Phương trình tham số của đường thẳng AB là:

A.     B.     C.     D. 

Lời giải

Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD.

Do đó đường thẳng AB: đi qua A (-2; 1) và nhận vtpt của CD là (3; -4) làm vtpt.

⇒ đường thẳng AB có vtcp (-4; -3) nên phương trình tham số của đường thẳng AB là

Chọn B.

Ví dụ 2: Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Phương trình các cạnh và đường cao của tam giác là: AB: 7x - y + 4 = 0, BH: 2x + y - 4 = 0 và AH: x - y - 2 = 0. Phương trình đường cao CH của tam giác ABC là:

A. 7x + y - 2 = 0    B. 7x - y = 0    C. x - 7y - 2 = 0    D. x + 7y - 2 = 0

Lời giải

+ Ta có BH và CH cắt nhau tại H nên tọa độ H là nghiệm của hệ phương trình

 ⇒ H(2; 0)

+ Ta có H là trực tâm tam giác ABC nên CH vuông góc AB.

⇒ CH nhận VTPT của AB làm VTCP.

⇒ Đường thẳng CH : 

⇒ Phương trình đường thẳng CH :

1( x - 2) + 7( y - 0) = 0 hay x + 7y - 2 = 0

Chọn D

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC biết trực tâm H(1; 1) và phương trình cạnh
AB: 5x - 2y + 6 = 0, phương trình cạnh AC: 4x + 7y - 21 = 0 . Phương trình cạnh BC là

A. 4x - 2y + 1 = 0    B. x - 2y + 14 = 0    C. x + 2y - 14 = 0    D. x - 2y - 14 = 0

Lời giải

+ Ta có AB và AC cắt nhau tại A nên tọa độ điểm A là nghiệm hệ :

 ⇒ A( 0; 3)

+ Do BH vuông góc AC nên đường thẳng BH nhận n_AC→( 4;7) làm VTCP

⇒ một VTPT của AC: ( 7; -4) .

Đường thẳng BH: 

⇒ Phương trình BH: 7( x - 1) – 4( y - 1) = 0 hay 7x - 4y - 3 = 0

+ Do AB và BH cắt nhau tại B nên tọa độ B là nghiệm hệ:

+ Phương trình ( BC) : 

Suy ra (BC): (x + 5) - 2(y +  ) = 0 ⇔ x - 2y - 14 = 0

Chọn D.

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC có M ( 1; 3) ; N( 3; -1) và P( -1; 5) lần lượt là trung điểm của AB; BC; AC. Viết phương trình AB.

A. 2x + 3y - 1 = 0    B. 2x - 3y + 3 = 0    C. 3x + 2y - 9 = 0    D. 2x - 3y + 1 = 0

Lời giải

Do N và P lần lượt là trung điểm của BC và AC nên NP là đường trung bình của tam giác ABC.

⇒ NP// AB.

Đường thẳng AB: 

⇒ Phương trình AB: 3( x - 1) + 2( y - 3) = 0 hay 3x + 2y – 9 = 0

Chọn C.