A. Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ và điểm A thuộc đường thẳng d₁:

+ Nếu hai đường thẳng này có cùng VTCP( hoặc VTPT) và điểm A không thuộc d₂ thì d₁// d₂

+ Nếu hai đường thẳng này có cùng VTCP( hoặc VTPT) và điểm A thuộc d₂ thì d₁≡ d₂

+ Nếu VTPT của đường thẳng này là VTCP của đường thẳng kia thì hai đường thẳng đó vuông góc với nhau.

+ Nếu hai VTCP ( hoặc VTPT) không cùng phương và có tích vô hướng khác 0 thì hai đường thẳng đó cắt nhau.

Chú ý: Cho hai vecto a→( x; y); b→( x'; y' ) thì tích vô hướng a→. b→ = xx’ + yy’.

Để hai vecto này vuông góc với nhau ⇔ xx’+ yy’ = 0

B. Ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁:  và
  d₂: 5x + 2y - 14 = 0.

  A. Trùng nhau.

  B. Song song.

  C. Vuông góc với nhau.

  D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

  Lời giải

  

  Chọn B.

Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁:  và d₂:  .

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

+ Đường thẳng d₁ có VTCP u₁→( 4; -8).

+ Đường thẳng d₂ có VTCP u₂→( -2;4) và điểm B( 2; -8) thuộc đường thẳng này.

+ Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng d₁ ta được :

 không có giá trị nào của t thỏa mãn.

Suy ra điểm B không thuộc đường thẳng d₁. (1)

+ Lại có u₁→ = -2u₂→ (2)

Từ ( 1) và ( 2) suy ra: d₁// d₂

Chọn B.

Ví dụ 3. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng 
và  .

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 4. Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng ∆₁: 7x + 2y - 1 = 0 và
∆₂: 

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

→ ∆₁, ∆₂ cắt nhau nhưng không vuông góc.

Chọn D.

Ví dụ 5. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁:  và d₂: 3x + 2y - 14 = 0.

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

Chọn A

Ví dụ 6. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d:  và trục tung.

A. (1; 0)    B. (0; -5)    C. (5; 0)    D. (-2; 0)

Lời giải

Trục tung Oy có phương trình là x = 0

Giao điểm của đường thẳng d và trục tung nếu có lag nghiệm hệ phương trình:

Vậy giao điểm của đường thẳng d và trục tung là điểm A( 0; -5)

Chọn B

Ví dụ 7. Đường thẳng nào sau đây có đúng một điểm chung với đường thẳng
d: ?

A. 7x + 3y - 1 = 0    B. 7x + 3y + 1 = 0

C. 3x - 7y + 2018 = 0    D. 7x + 3y + 10 = 0

Lời giải

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát:

Đường thẳng d: 

⇒ Phương trình tổng quát của d:

7( x + 2) + 3(y - 5) = 0 hay 7x + 3y - 1 = 0

+ Phương án A: Hai đường thẳng này trùng nhau.

+ đường thẳng d// d₂: 7x + 3y + 1 = 0 và d// d₃: 7x + 3y + 10 = 0

Chọn C.

Ví dụ 8. Tìm m để hai đường thẳng a: 2x - 3y + 4 = 0 và b:  cắt nhau.

A. m ≠ -     B. m ≠ 2    C. m ≠     D. m = 

Lời giải

Ta đưa phương trình đường thẳng b về dạng tổng quát:

Đường thẳng b: 

⇒ Phương trình đường thẳng b:

4m( x - 2) - 3( y - 1) = 0 hay 4m.x - 3y + 3 - 8m = 0

Để hai đường thẳng a và b cắt nhau khi và chỉ khi :

 ⇔ 2m ≠ 1 nên m ≠ 

Chọn C.

Ví dụ 9 . Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng d₁:  và
d₂: 4x - 3y + m = 0 trùng nhau.

A. m = -3    B. m = 1    C. m = 2    D. không có giá trị nào của m

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng d₁ về dạng tổng quát:

Đường thẳng d₁: 

⇒ Phương trình tổng quát của đường thẳng d₁:

m( x - 2) - 2( y - 1) = 0 hay m.x - 2y + 2 - 2m = 0

+ Với m = 0 thì đường thẳng d₁ là : - 2y + 2 = 0 hay y - 1 = 0

⇒ hai đường thẳng d₁ và d₂ không trùng nhau nên m = 0 không thỏa mãn.

+ Xét m ≠ 0.

Để hai đường thẳng đã cho trùng nhau khi và chỉ khi :

 vô lí vì 

Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn.

Chọn D.

Ví dụ 10. Cho hai đường thẳng d₁ :2x+ 3y-19= 0 và d₂:  . Tìm toạ độ giao điểm của hai đường thẳng đã cho.

A. ( 2; 5)    B. ( 4; -1)    C. ( -1 ; 6)    D. (4; 3)

Lời giải

Giao điểm của2 đường thẳng đã cho nếu có là nghiệm hệ phương trình:

Thay (1) và (2) vào ( *) ta được :

2( 22 + 2t) + 3(55 + 5t) – 19 = 0

⇔ 44 + 4t + 165 + 15t - 19 = 0

⇔ 19t + 190 = 0 ⇔ t = -10

⇒ x = 2 và y = 5

Vậy giao điểm của hai đường thẳng đã cho là A( 2; 5)

Chọn A.

Ví dụ 11: Cho điểm A(0; -2) ; B( -1; 0); C(0; -4); D( -2; 0). Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD

A. (1; -2)    B. (0; 2)    C. Vô số    D. Không có giao điểm.

Lời giải

+ Đường thẳng AB đi qua A( 0; -2) có vectơ chỉ phương là AB→(-1;2) nên có VTPT (2; 1) .

⇒ Phương trình: AB: 2( x - 0) + 1( y + 2) = 0 hay 2x + y + 2 = 0

+ Đường thẳng CD có vectơ chỉ phương là CD→ = (-2; 4).

+ Ta có: AB→ = (-1; 2) và CD→ = (-2; 4) cùng phương và điểm C không thuộc AB nên và CD không có giao điểm.

Chọn D.

Ví dụ 12. Các cặp đường thẳng nào sau đây vuông góc với nhau?

A. d₁:  và d₂: 2x + y - 1 = 0

B. d₁: x - 2 = 0 và d₂: 

C. d₁: 2x - y + 3 = 0 và d₂: x - 2y + 1 = 0

D. d₁: 2x - y + 3 = 0 và d₂: 4x - 2y + 1 = 0

Lời giải

Hai đường thẳng vuông góc với nhau khi và chỉ khi :

+ Vecto pháp tuyến của đường thẳng này là vecto chỉ phương của đường thẳng kia.

+ Tích vô hướng của hai vecto chỉ phương của hai đường thẳng bằng 0.

+ Tích vô hướng của hai vecto pháp tuyến của 2 đường thẳng bằng 0.

Ta xét các phương án:

(i) → loại A.

(ii)  Chọn B.

Tương tự, kiểm tra và loại các đáp án C, D.

Chọn B.

Ví dụ 13. Lập phương trình của đường thẳng ∆ đi qua giao điểm của hai đường thẳng (a):x + 3y - 1 = 0; (b):x - 3y - 5 = 0 và vuông góc với đường thẳng (c):2x - y + 7 = 0.

A. 3x + 6y - 5 = 0.    B. 6x + 12y - 5 = 0.

C. 6x + 12y + 7 = 0 .    D. x + 2y + 10 = 0.

Lời giải

Giao điểm của hai đường thẳng a và b nếu có là nghiệm hệ phương trình :

Vậy giao điểm của hai đường thẳng a và b là A(3; -  )

+ đường thẳng ∆: 

⇒Phương trình ∆: 1( x - 3) + 2( y +  ) = 0

⇔ x + 2y -  = 0 ⇔ 3x + 6y – 5 = 0

Chọn A.

Ví dụ 14. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng d₁: 4x - 3y + 3m = 0 và
d₂:  vuông góc với nhau?

A. m =     B. m =     C. m = -     D. m = 

Lời giải

+ đường thẳng d₁ có VTPT n→( 4; -3).

+ Đường thẳng d₂ đi qua M( 1; 4) và có VTCP u→( 2; m) nên nhận vecto n'→( m; -2) làm VTPT.

+ Để hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau khi và chỉ khi :

n→.n'→ = 0 ⇔ 4m - 3.(-2) = 0

⇔ 4m = - 6 ⇔ m = 

Chọn B.

Ví dụ 15. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁:  và d₂: 

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

+ Đường thẳng d₁ có VTCP u₁→( 1; -2).

+ Đường thẳng d₂ có VTCP u₂→( -2;4) và điểm B( 2; -8) thuộc đường thẳng này.

+ Thay tọa độ điểm B vào phương trình đường thẳng d₁ ta được :

 ⇔ t= 3

Suy ra điểm B thuộc đường thẳng d₁. (1)

+ Lại có u₂→ = -2u₁→ (2)

Từ (1) và ( 2) suy ra hai đường này trùng nhau.

Chọn A.