Cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng cực hay
Cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng cực hay Toán học lớp 10 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng cực hay
Cách xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng cực hay
A. Phương pháp giải
Cho hai đường thẳng d1: a1x + b1y + c1 = 0 và d2: a2x + b2y + c2 = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1 và d2:
+ Cách 1: Áp dụng trong trường hợp a1.b1.c1 ≠ 0:
Nếu thì d1 ≡ d2.
Nếu thì d1 // d2.
Nếu thì d1 cắt d2.
+ Cách 2: Dựa vào số điểm chung của hai đường thẳng trên ta suy ra vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Giao điểm của hai đường thẳng d1 và d2( nếu có) là nghiệm hệ phương trình:
Nếu hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất thì 2 đường thẳng cắt nhau.
Nếu hệ phương trình trên có vô số nghiệm thì 2 đường thẳng trùng nhau.
Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm thì 2 đường thẳng song song.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng (a): 3x - 4y + 15 = 0;
(b): 5x + 2y - 1 = 0 và (c):mx - 4y + 15 = 0 đồng quy?
A. m = -5 B. m = 5 C. m = 3 D. m = -3
Lời giải
Giao điểm của đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình:
Vậy giao điểm của hai đường thẳng a và b là A( -1; 3)
Để ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi điểm A cũng thuộc đường thẳng c.
Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng c ta được :
- m - 4.3 + 15 = 0 ⇔ - m + 3 = 0 ⇔ m = 3
Chọn C.
Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: 3x - 2y - 6 = 0 và d2: 6x - 2y - 8 = 0.
A. Trùng nhau.
B. Song song.
C. Vuông góc với nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Lời giải
⇒ d1, d2 cắt nhau nhưng không vuông góc.
Chọn D.
Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: = 1 và d2: 3x + 4y - 10 = 0.
A. Trùng nhau.
B. Song song.
C. Vuông góc với nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Lời giải
+ Đường thẳng d1 có VTPT n1→( ; - ) .
+ Đường thẳng d2 có VTPT n2→( 3; 4)
Suy ra: n1→.n2→ = .3 - .4 = 0
⇒ Hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.
Chọn C.
Ví dụ 4. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng 2x + 3y - 1 = 0?
A. 4x + 6y + 10 = 0 . B. 3x - 2y + 1 = 0 C. 2x - 3y + 1 = 0. D. 4x + 6y - 2 = 0
Lời giải
Ta xét các phương án:
+ Phương án A:
Ta có: ⇒ Hai đường thẳng này song song với nhau
+ Phương án B:
Ta có: > Hai đường thẳng này cắt nhau.
+ Phương án C :
Ta có: > Hai đường thẳng này cắt nhau.
+ Phương án D :
Ta có: ⇒ Hai đường thẳng này trùng với nhau
Chọn A.
Ví dụ 5. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
a: 3x + 4y + 10 = 0 và b: (2m - 1)x + m2y + 10 = 0 trùng nhau?
A. m = ± 2 B. m = ± 1 C. m = 2 D. m = -2
Lời giải
Hai đường thẳng a và b trùng nhau khi và chỉ khi:
= 1
⇔ m = 2
Chọn C
Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình
a: mx + (m-1)y + 2m = 0 và b: 2x + y - 1 = 0. Nếu a song song b thì:
A. m = 2 B. m = -1 C. m = - 2 D. m = 1 .
Lời giải
Ta có: hai đường thẳng a và b song song với nhau khi và chỉ khi :
⇒ m = 2
Chọn A.
Ví dụ 7. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng (a) : 2x + y + 4 - m = 0
và ( b) : (m + 3)x + y + 2m - 1 = 0 song song?
A. m = 1 B. m = -1 C. m = 2 D. m = 3
Lời giải
+ Với m = 4 thì phương trình hai đường thẳng là:
( a) : 2x + y= 0 và ( b): 7x + y + 7 = 0
=> Với m = 4 hai đường thẳng a và b không song song với nhau.
+ Với m ≠ 4.
Để a // b khi và chỉ khi :
⇔ m = - 1
Vậy với m = -1 thì hai đường thẳng a và b song song với nhau.
Chọn B.
Ví dụ 8: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (a): 2x - 3y + 2 = 0 và (b): y - 2 = 0.
A. Cắt nhau nhưng không vuông góc
B. Song song
C. Trùng nhau
D. Vuông góc
Lời giải
Giao điểm ( nếu có) của hai đường thẳng (a) và (b) là nghiệm hệ phương trình:
⇒ Hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại A(2; 2). (1)
Lại có đường thẳng (a) có VTPT n→( 2; -3) và đường thẳng (b) có VTPT n'→( 0; 1)
⇒ n→.n'→ = 2.0 - 3.1 = -3 ≠ 0 (2)
Từ (1) và ( 2) suy ra hai đường thẳng đã cho cắt nhau nhưng không vuông góc.
Chọn A.
Ví dụ 9. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ( a) : ( m- 3)x + 2y + m2 - 1 = 0
và (b): - x + my + m2 - 2m + 1 = 0 cắt nhau?
A. m ≠ 1. B. m ≠ 1 và m ≠ 2 C. m ≠ 2 D. m ≠ 1 hoặc m ≠ 2
Lời giải
+ Nếu m = 0 thì hai đường thẳng đã cho trở thành:
(a) : - 3x + 2y - 1 = 0 và (b): - x + 1 = 0 .
Giao điểm của hai đường thẳng này là nghiệm hệ phương trình:
Vậy với m = 0 thì hai đường thẳng cắt nhau tại A( 1; 2) .
+ Nếu m ≠ 0. Để hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi:
⇔ m(m - 3) ≠ - 2 ⇔ m2 - 3m + 2 ≠ 0
⇔ m ≠ 1 và m ≠ 2
Chọn B.
Ví dụ 10. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (a): 2x + 4y - 10 = 0 và trục hoành.
A.(0;2) B. (0; 5) C. (2;0) D. (5;0)
Lời giải
Trục hoành có phương trình là: y = 0
Giao điểm của đường thẳng a và trục hoành nếu có nghiệm hệ phương trình :
Vậy giao điểm của (a) và trục hoành là điểm A( 5; 0) .
Chọn D.
Ví dụ 11. Nếu ba đường thẳng (a): 2x + y- 4 = 0; (b) : 5x - 2y + 3 = 0 và
(c): mx + 3y - 2 = 0 đồng quy thì m nhận giá trị nào sau đây?
A. B. - C. 12 D. - 12
Lời giải
Giao điểm của đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình:
Vậy giao điểm của hai đường thẳng a và b là A( ; )
Để ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi điểm A cũng thuộc đường thẳng c.
Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng c ta được :
→ - 2 = 0 ⇔ m = -12
Chọn D.
Ví dụ 12. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d1: x- 2y+ 1= 0 và d2: -3x + 6y- 10= 0
A. Trùng nhau.
B. Song song.
C. Vuông góc với nhau.
D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.
Lời giải
Ta có:
⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau.
Chọn B.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng (a): 2x - 3my + 10 = 0 và
( b) : mx + 4y + 1 = 0 cắt nhau.
A. 1 < m < 10 B. m = 1 C. Không có m. D. Với mọi m.
Câu 2: Đường thẳng (a) :3x - 2y - 7 = 0 cắt đường thẳng nào sau đây?
A. ( d1) : 3x + 2y = 0 B. (d2) : 3x - 2y = 0
C. (d3): -3x + 2y - 7 = 0 D. (d4): 6x - 4y - 14 = 0
Câu 3: Hai đường thẳng (a): 4x + 3y - 18 = 0 và (b) : 3x + 5y - 19 = 0 cắt nhau tại điểm có toạ độ:
A. (3; 2) B. ( -3; 2) C. ( 3; -2) D. (-3; -2)
Câu 4: Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng d: y = 2x - 1
A. 2x - y + 5 = 0 B. 2x - y - 5 = 0 C. - 2x + y = 0 D. 2x + y - 5 = 0
Câu 5: Hai đường thẳng (a) : mx + y = m + 1 và (b): x + my = 2 song song khi và chỉ khi:
A. m = 2 B. m = ± 1 C. m = -1 D. m = 1
Câu 6: Cho 3 đường thẳng d1 : 2x + y - 1 = 0 ; d2 : x + 2y + 1 = 0 và d3 : mx - y - 7 = 0. Để ba đường thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của m là:
A. m= -6 B. m = 6 C. m = -5 D. m = 5
Câu 7: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng (a): mx + y - 19 = 0 và
(b): ( m - 1).x + (m + 1).y - 20 = 0 vuông góc?
A. Với mọi m. B. m = 2 C. Không có m. D. m = 1
Câu 8: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ( a): 3mx + 2y + 6 = 0 và
(b) : (m2 + 2)x + 2my + 6 = 0 cắt nhau?
A. m ≠ ±3 B. m ≠ ±2 C. mọi m D. m ≠ ±1.
Câu 9: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (a) 7x - 3y - 1 = 0 và (b): x + 2 = 0.
A. (-2; 5) B. (-2; -5) C. (-2; -4) D. (-4; 3)
Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình (a) : 3x – 4y + 15 = 0, ( b): 5x + 2y - 1 = 0 và (c) : mx - (2m - 1)y + 9m - 13 = 0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.
A. m = B. m= -5 C. m= - D. m= 5
Câu 11: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây: (a) : x - 2y + 1 = 0 và
(b): - 3x + 6y - 1 = 0
A. Song song. B. Trùng nhau. C. Vuông góc nhau. D. Cắt nhau.
Bài viết liên quan
- Cách viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng hay, chi tiết
- Cách viết phương trình đường thẳng khi biết hệ số góc hay, chi tiết
- Cách viết phương trình đường trung trực của đoạn thẳng cực hay
- Cách tìm hình chiếu vuông góc của điểm lên đường thẳng cực hay
- Cách tìm điểm đối xứng của một điểm qua đường thẳng cực hay