A. Phương pháp giải

Cho hai đường thẳng d₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và d₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁ và d₂:

+ Cách 1: Áp dụng trong trường hợp a₁.b₁.c₁ ≠ 0:

Nếu  thì d₁ ≡ d₂.

Nếu  thì d₁ // d₂.

Nếu  thì d₁ cắt d₂.

+ Cách 2: Dựa vào số điểm chung của hai đường thẳng trên ta suy ra vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Giao điểm của hai đường thẳng d₁ và d₂( nếu có) là nghiệm hệ phương trình:

    Nếu hệ phương trình trên có một nghiệm duy nhất thì 2 đường thẳng cắt nhau.

    Nếu hệ phương trình trên có vô số nghiệm thì 2 đường thẳng trùng nhau.

    Nếu hệ phương trình trên vô nghiệm thì 2 đường thẳng song song.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng (a): 3x - 4y + 15 = 0;
(b): 5x + 2y - 1 = 0 và (c):mx - 4y + 15 = 0 đồng quy?

A. m = -5    B. m = 5    C. m = 3    D. m = -3

Lời giải

Giao điểm của đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình:

Vậy giao điểm của hai đường thẳng a và b là A( -1; 3)

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi điểm A cũng thuộc đường thẳng c.

Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng c ta được :

- m - 4.3 + 15 = 0 ⇔ - m + 3 = 0 ⇔ m = 3

Chọn C.

Ví dụ 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁: 3x - 2y - 6 = 0 và d₂: 6x - 2y - 8 = 0.

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

⇒ d₁, d₂ cắt nhau nhưng không vuông góc.

Chọn D.

Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁:  = 1 và d₂: 3x + 4y - 10 = 0.

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

+ Đường thẳng d₁ có VTPT n₁→(  ; -  ) .

+ Đường thẳng d₂ có VTPT n₂→( 3; 4)

Suy ra: n₁→.n₂→ =  .3 -  .4 = 0

⇒ Hai đường thẳng đã cho vuông góc với nhau.

Chọn C.

Ví dụ 4. Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng 2x + 3y - 1 = 0?

A. 4x + 6y + 10 = 0 .    B. 3x - 2y + 1 = 0    C. 2x - 3y + 1 = 0.    D. 4x + 6y - 2 = 0

Lời giải

Ta xét các phương án:

+ Phương án A:

Ta có:  ⇒ Hai đường thẳng này song song với nhau

+ Phương án B:

Ta có:  > Hai đường thẳng này cắt nhau.

+ Phương án C :

Ta có:  > Hai đường thẳng này cắt nhau.

+ Phương án D :

Ta có:  ⇒ Hai đường thẳng này trùng với nhau

Chọn A.

Ví dụ 5. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng
a: 3x + 4y + 10 = 0 và b: (2m - 1)x + m2y + 10 = 0 trùng nhau?

A. m = ± 2    B. m = ± 1    C. m = 2    D. m = -2

Lời giải

Hai đường thẳng a và b trùng nhau khi và chỉ khi:

 = 1

 ⇔ m = 2

Chọn C

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng có phương trình
a: mx + (m-1)y + 2m = 0 và b: 2x + y - 1 = 0. Nếu a song song b thì:

A. m = 2    B. m = -1    C. m = - 2    D. m = 1 .

Lời giải

Ta có: hai đường thẳng a và b song song với nhau khi và chỉ khi :

 ⇒ m = 2

Chọn A.

Ví dụ 7. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng (a) : 2x + y + 4 - m = 0
và ( b) : (m + 3)x + y + 2m - 1 = 0 song song?

A. m = 1    B. m = -1    C. m = 2    D. m = 3

Lời giải

+ Với m = 4 thì phương trình hai đường thẳng là:

( a) : 2x + y= 0 và ( b): 7x + y + 7 = 0

=> Với m = 4 hai đường thẳng a và b không song song với nhau.

+ Với m ≠ 4.

Để a // b khi và chỉ khi :

 ⇔ m = - 1

Vậy với m = -1 thì hai đường thẳng a và b song song với nhau.

Chọn B.

Ví dụ 8: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng (a): 2x - 3y + 2 = 0 và (b): y - 2 = 0.

A. Cắt nhau nhưng không vuông góc

B. Song song

C. Trùng nhau

D. Vuông góc

Lời giải

Giao điểm ( nếu có) của hai đường thẳng (a) và (b) là nghiệm hệ phương trình:

⇒ Hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại A(2; 2). (1)

Lại có đường thẳng (a) có VTPT n→( 2; -3) và đường thẳng (b) có VTPT n'→( 0; 1)

⇒ n→.n'→ = 2.0 - 3.1 = -3 ≠ 0 (2)

Từ (1) và ( 2) suy ra hai đường thẳng đã cho cắt nhau nhưng không vuông góc.

Chọn A.

Ví dụ 9. Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ( a) : ( m- 3)x + 2y + m² - 1 = 0
và (b): - x + my + m² - 2m + 1 = 0 cắt nhau?

A. m ≠ 1.    B. m ≠ 1 và m ≠ 2    C. m ≠ 2    D. m ≠ 1 hoặc m ≠ 2

Lời giải

+ Nếu m = 0 thì hai đường thẳng đã cho trở thành:

(a) : - 3x + 2y - 1 = 0 và (b): - x + 1 = 0 .

Giao điểm của hai đường thẳng này là nghiệm hệ phương trình:

Vậy với m = 0 thì hai đường thẳng cắt nhau tại A( 1; 2) .

+ Nếu m ≠ 0. Để hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi:

⇔ m(m - 3) ≠ - 2 ⇔ m² - 3m + 2 ≠ 0

⇔ m ≠ 1 và m ≠ 2

Chọn B.

Ví dụ 10. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (a): 2x + 4y - 10 = 0 và trục hoành.

A.(0;2)    B. (0; 5)    C. (2;0)    D. (5;0)

Lời giải

Trục hoành có phương trình là: y = 0

Giao điểm của đường thẳng a và trục hoành nếu có nghiệm hệ phương trình :

Vậy giao điểm của (a) và trục hoành là điểm A( 5; 0) .

Chọn D.

Ví dụ 11. Nếu ba đường thẳng (a): 2x + y- 4 = 0; (b) : 5x - 2y + 3 = 0 và
(c): mx + 3y - 2 = 0 đồng quy thì m nhận giá trị nào sau đây?

A.     B. -     C. 12    D. - 12

Lời giải

Giao điểm của đường thẳng a và b là nghiệm hệ phương trình:

Vậy giao điểm của hai đường thẳng a và b là A(  ;  )

Để ba đường thẳng đã cho đồng quy khi và chỉ khi điểm A cũng thuộc đường thẳng c.

Thay tọa độ điểm A vào đường thẳng c ta được :

→  - 2 = 0 ⇔ m = -12

Chọn D.

Ví dụ 12. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d₁: x- 2y+ 1= 0 và d₂: -3x + 6y- 10= 0

A. Trùng nhau.

B. Song song.

C. Vuông góc với nhau.

D. Cắt nhau nhưng không vuông góc nhau.

Lời giải

Ta có:

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau.

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của m để hai đường thẳng (a): 2x - 3my + 10 = 0 và
( b) : mx + 4y + 1 = 0 cắt nhau.

A. 1 < m < 10    B. m = 1    C. Không có m.    D. Với mọi m.

Câu 2: Đường thẳng (a) :3x - 2y - 7 = 0 cắt đường thẳng nào sau đây?

A. ( d₁) : 3x + 2y = 0    B. (d₂) : 3x - 2y = 0

C. (d₃): -3x + 2y - 7 = 0    D. (d₄): 6x - 4y - 14 = 0

Câu 3: Hai đường thẳng (a): 4x + 3y - 18 = 0 và (b) : 3x + 5y - 19 = 0 cắt nhau tại điểm có toạ độ:

A. (3; 2)    B. ( -3; 2)    C. ( 3; -2)    D. (-3; -2)

Câu 4: Phương trình nào sau đây biểu diễn đường thẳng không song song với đường thẳng d: y = 2x - 1

A. 2x - y + 5 = 0    B. 2x - y - 5 = 0    C. - 2x + y = 0    D. 2x + y - 5 = 0

Câu 5: Hai đường thẳng (a) : mx + y = m + 1 và (b): x + my = 2 song song khi và chỉ khi:

A. m = 2    B. m = ± 1    C. m = -1    D. m = 1

Câu 6: Cho 3 đường thẳng d₁ : 2x + y - 1 = 0 ; d₂ : x + 2y + 1 = 0 và d₃ : mx - y - 7 = 0. Để ba đường thẳng này đồng qui thì giá trị thích hợp của m là:

A. m= -6    B. m = 6    C. m = -5    D. m = 5

Câu 7: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng (a): mx + y - 19 = 0 và
(b): ( m - 1).x + (m + 1).y - 20 = 0 vuông góc?

A. Với mọi m.    B. m = 2    C. Không có m.    D. m = 1

Câu 8: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ( a): 3mx + 2y + 6 = 0 và
(b) : (m² + 2)x + 2my + 6 = 0 cắt nhau?

A. m ≠ ±3    B. m ≠ ±2    C. mọi m    D. m ≠ ±1.

Câu 9: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (a) 7x - 3y - 1 = 0 và (b): x + 2 = 0.

A. (-2; 5)    B. (-2; -5)    C. (-2; -4)    D. (-4; 3)

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba đường thẳng lần lượt có phương trình (a) : 3x – 4y + 15 = 0, ( b): 5x + 2y - 1 = 0 và (c) : mx - (2m - 1)y + 9m - 13 = 0. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm.

A. m =     B. m= -5    C. m= -     D. m= 5

Câu 11: Xác định vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau đây: (a) : x - 2y + 1 = 0 và
(b): - 3x + 6y - 1 = 0

A. Song song.    B. Trùng nhau.    C. Vuông góc nhau.    D. Cắt nhau.