A. Phương pháp giải

+ Cho điểm A(a; 0) và điểm B(0; b) với a.b≠0. Phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là:  =1

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng d: x - y + 3 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng đoạn chắn.

A. -  +  = 1    B.  +  = 1    C. -  -  = 1    D.  -  = 1

Lời giải

Đường thẳng d cắt trục Ox tại A(- 3; 0) và cắt trục Oy tại B(0; 3).

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng d:

-  +  = 1

Chọn A.

Ví dụ 2 : Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 5; -3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

A. 3x - 5y - 30 = 0    B. 3x + 5y - 30 = 0    C. 5x - 3y - 34 = 0    D. 5x - 3y + 34 = 0

Lời giải

Gọi A ∈ Ox ⇒ A(x_A; 0); B ∈ Oy ⇒ B(0; y_B)

Ta có M là trung điểm AB ⇒ 

Suy ra (AB):  = 1 ⇔ 3x - 5y - 30 = 0.

Chọn A.

Ví dụ 3 : Có mấy đường thẳng đi qua điểm M( 2; -3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.

A. 2    B. 3    C. 1    D. Không có.

Lời giải

Gọi tọa độ điểm A( a; 0) và B( 0; b).

Phương trình đoạn chắn (AB):  =1

Do tam giác OAB vuông cân tại O ⇔ |a| = |b| ⇔ 

TH1: b = a ⇒  +  = 1 ⇔ x + y = a

mà M(2; -3) ∈ (AB) ⇒ 2 - 3 = a ⇔ a = -1 ⇒ b = -1

Vậy phương trình (AB) : x + y + 1= 0 .

TH2: b = - a ⇒  -  = 1 ⇔ x - y = a

mà M(2; -3) ∈ (AB) ⇒ 2 + 3 = a ⇔ a = 5 ⇒ b = - 5

Vậy phương trình ( AB) : x - y - 5= 0 .

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn đầu bài.

Chọn A.

Ví du 4: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(0; -3) và B(-2; 0).

A. 2x + 3y - 6 = 0    B. 3x + 2y - 6 = 0    C. 3x + 2y + 6 = 0    D. 2x - 3y - 6 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng AB: 

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng AB:  = 1

Hay (AB) : 3x + 2y + 6 = 0

Chọn C.

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: 2x - y + 4 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng đoạn chắn.

A. -  +  = 1    B.  + (-  ) = 1    C. -  -  = 1    D.  -  = 1

Lời giải

Đường thẳng d cắt trục Ox tại A(-2;0) và cắt trục Oy tại B(0; 4).

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng d:

-  +  = 1

Chọn A

Ví dụ 6: Cho đường thẳng d: x + y - 6 = 0. Viết phương trình đường thẳng d dưới dạng phương trình đoạn chắn?

A.  -  = 1    B.  -  = 1    C.  +  = 1    D. -  -  = 1

Lời giải

Đường thẳng d cắt trục Ox tại điểm A(6;0) .

Đường thẳng d cắt trục Oy tại điểm B(0;6).

Đường thẳng d đi qua hai điểm A(6;0) và B(0; 6) nên phương trình đường thẳng d dạng đoạn chắn là:  +  = 1

Chọn C.

Ví dụ 7. Phương trình tổng quát của đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A( 3 ; 0) và       B(0 ; -2) là:

A. 3x - 2y + 1 = 0    B. -2x + 3y + 6 = 0    C. 2x - 3y + 6 = 0    D. 2x - 3y + 4 = 0

Lời giải

Đường thẳng AB cắt hai trục tọa độ tại A(3 ; 0) và B( 0 ; -2) nên phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là :

 = 1

⇔ -2x + 3y + 6 = 0

Chọn B.

Ví dụ 8: Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 1;-2) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB.

A. – 4x + 2y + 8 = 0    B. 4x + 2y + 8 = 0    C. 2x - y + 1 = 0    D. 2x + y = 0

Lời giải

Gọi A (a ; 0) ∈ Ox; B(0; b) ∈ Oy

Ta có M là trung điểm AB nên :

 ⇔ a = 2 và b = - 4

Suy ra phương trình AB :  = 1 hay – 4x + 2y + 8 = 0

Chọn A.

Ví dụ 9 : Có mấy đường thẳng đi qua điểm M(3;3) và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho tam giác OAB vuông cân.

A. 2    B. 3    C. 1    D. Không có.

Lời giải

Gọi tọa độ điểm A( a; 0) và B( 0; b).

Phương trình đoạn chắn đường thẳng AB:  =1

Do tam giác OAB vuông cân tại O ⇔ |a| = |b| ⇔ 

TH1: b = a ⇒  +  = 1 ⇔ x + y = a

Mà M(3;3) thuộc AB nên 3 + 3 = a ⇔ a= 6 ⇒ b= 6

Vậy phương trình (AB) : x + y - 6 = 0 .

TH2: b = - a ⇒  -  = 1 ⇔ x - y = a

Mà M( 3; 3) thuộc AB nên 3 - 3= a ⇔ a= 0 ⇒ b= 0 ( loại vì khi đó 3 điểm A; B và O trùng nhau)

Vậy có một đường thẳng thỏa mãn đầu bài.

Chọn C.

Ví dụ 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A( 0; 4) và B( -3;0).

A. 4x + 3y - 6 = 0    B. 4x - 3y - 6 = 0    C. 4x - 3y + 12 = 0    D. 4x - 3y + 6 = 0

Lời giải

+ Đường thẳng AB: 

=> Phương trình đoạn chắn đường thẳng AB: -  +  = 1

Hay (AB) : 4x - 3y + 12 = 0

Chọn C.

Ví dụ 11. Phương trình đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại A( -2 ;0) và B( 0 ; 5) là:

A. 5x - 2y - 10 = 0    B. 5x - 2y + 10 = 0    C. 2x - 5y - 10 = 0    D. 2x + 5y + 4 = 0

Lời giải

Đường thẳng AB cắt hai trục tọa độ tại A( -2 ; 0) và B( 0 ; 5) nên phương trình đường thẳng AB theo đoạn chắn là :

 = 1

⇔ 5x - 2y + 10 = 0

Chọn B.