A. Phương pháp giải

• Áp dụng điều kiện để hai vecto cùng phương để giải bài tập dạng này.

 Điều kiện cần và đủ để hai vecto  ( # 0) cùng phương là có một số k để .

Nhận xét: Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để

• Áp dụng trong hệ tọa độ:

Cho  = (a₁; a₂) và  = (b₁; b₂), với b₁; b₂ # 0

Khi đó nếu có:   cùng phương.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(m-1; 2); B(2; 5-2m) và C(m-3; 4). Giá trị của m để 3 điểm A, B, C thẳng hàng là

A. m = 3

B. m = 2

C. m = -2

D. m = 1

Hướng dẫn giải:

Ta có:  = (2 - m + 1;5 -2m - 2) = (3 - m;3 - 2m)

 = (m - 3 - m + 1;4 - 2) = (-2;2)

Ba điểm A, B, C thẳng hàng  tồn tại k sao cho 

Vậy m = 2 thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng.

Đáp án B

Ví dụ 2: Cho hai vecto . Tìm m để hai vecto  cùng phương.

Hướng dẫn giải:

Ta có  là các vecto đơn vị với 

Suy ra 

Hai vecto  cùng phương 

Vậy m =  thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có E là trung điểm của BC, I là trung điểm của AB. Gọi D, J, K lần lượt là các điểm thỏa mãn . Tìm m để A, K, D thẳng hàng.

Hướng dẫn giải:

Ba điểm A, K, D thẳng hàng  tồn tại k để  (1)

Ta phân tích các vecto  theo hai vecto 

+ E là trung điểm của BC 

Suy ra 

Ta có

Do đó (2)

+ Lại có: I là trung điểm AB 

Ta có: 

Do đó  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra

Vậy m =  thì ba điểm A, K, D thẳng hàng.

Ví dụ 4: Cho hai vecto . Giá trị của m để hai vecto cùng phương là:

Hướng dẫn giải:

Ta có  và là các vecto đơn vị với 

Suy ra 

Hai vecto  cùng phương  tồn tại k để 

Vậy m = .

Đáp án D

Ví dụ 5: Cho . Tìm m để hai vecto  cùng phương.

Hướng dẫn giải:

Để hai vecto  cùng phương  tồn tại số k thỏa mãn 

Từ (2) suy ra k = 2 thay vào (1) ta được:

Vậy m = -1 và m = 2 thì hai vecto  cùng phương.