Bài 1: Cho hàm số f(x) = 2x⁴ + (m-1)x³ + (m² - 1)x² + 2(m² - 3m + 2)x - 3.

Tìm m để điểm M(1;0) thuộc đồ thị hàm số đã cho.

Bài 2: Tìm giá trị của tham số m để:

a) Hàm sốxác định trên (-1; 0)

b) Hàm sốcó tập xác định là [0; +∞)

Bài 3: Tìm giá trị của tham số m để:

a) Hàm sốxác định trên (-1; 3)

b) Hàm sốxác định trên (0;+∞)

Bài 4: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau:

Bài 5: Cho hàm số y = f(x), y = g(x) có cùng tập xác định D. Chứng minh rằng

a) Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số y = f(x) + g(x) là hàm số lẻ

b) Nếu hai hàm số trên một chẵn một lẻ thì hàm số y = f(x).g(x) là hàm số lẻ

Bài 6:

a) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

y = x³ - (m² - 9)x² + (m + 3)x + m - 3.

b) Tìm m để đồ thị hàm số sau nhận trục tung làm trục đối xứng

y = x⁴ - (m² - 3x + 2)x³ + m² - 1

Bài 7: Xét sự biến thiên của các hàm số sau:

a) y = 4 – 3x

b) y = x² + 4x - 5

c) y = 2/(x-2) trên (-∞; 2) và (2; +∞)

d) y = x/(x-1) trên (-∞; 1)

Bài 8: Chứng minh rằng hàm số y = x³ + x đồng biến trên R.

Áp dụng tìm số nghiệm của phương trình sau x³ - x =+ 1

Bài 9: Cho hàm số y = √(x-1) + x² - 2x

a) Xét sự biến thiên của hàm số đã cho trên [1; +∞)

b) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [2; 5]

Bài 10: Tìm các điểm cố định mà đồ thị hàm số sau luôn đi qua với mọi m.

a) y = x³ + 2(m-1)x² + (m² - 4m + 1)x - 2(m² + 1)

b)

Bài 11. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1: Điểm M(1; 0) thuộc đồ thị hàm số đã cho khi và chỉ khi:

f(1) = 0

⇔ 0 = 2 + (m - 1) + (m² - 1) + 2(m² - 3m + 2) - 3

⇔ 3m² - 5m + 1 = 0

⇔

Vậylà giá trị cần tìm.

Bài 2:

a) ĐKXĐ: x ≠ m

Hàm số xác định trên (-1; 0) ⇔ m ∉ (-1; 0)

⇔

Vậy vớithì hàm số xác định trên (-1; 0)

b) ĐKXĐ:

Nếu m > 0 thì (*) ⇔ x ≥ m ⇒ D = [m; +∞) nên m > 0 không thỏa mãn

Nếu m ≤ 0 thì (*) ⇔ x ≥ 0 ⇒ D = [0; +∞)

Vậy m ≤ 0 là giá trị cần tìm.

Bài 3:

a) Hàm sốxác định trên (-1; 3)

ĐKXĐ:

Với m ≤ -1 thì (*) vô nghiệm.

Với m > -1 thì (*) ⇔ m - 1 ≤ x < 2m

Vậy không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

b) Hàm sốxác định trên (0;+∞)

ĐKXĐ:

Ta có: (m - 1)/2 > -m ⇔ m > 1/3

Với m > 1/3 thì (2) ⇔ x ≥ (m - 1)/2

⇒ D = [(m - 1)/2; +∞)

Khi đó hàm số xác định trên (0; +∞) khi (m - 1)/2 ≤ 0 ⇔ m ≤ 1

⇒ 1/3 < m ≤ 1

Với m ≤ 1/3 thì (2) ⇔ x ≥ -m ⇒ D = [-m; +∞)

Khi đó hàm số xác định trên (0; +∞) khi -m ≤ 0 ⇔ m ≥ 0

⇒ 0 ≤ m ≤ 1/3

Vậy các giá trị m cần tìm là 0 ≤ m ≤ 1.

Bài 4

a)

TXĐ: D = R.

Với x ∈ D ⇒ -x ∈ D.Ta có:

Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

b)

ĐKXĐ: x² - 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1 ⇒ TXĐ: D = R\{1; -1}

Với x ∈ D ⇒ -x ∈ D.Ta có:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn

⇒ TXĐ: D = [-1;1]

Với x ∈ D ⇒ -x ∈ D.Ta có:

Hàm số đã cho là hàm số lẻ.

d)

ĐKXĐ: x - 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ 1 ⇒ TXĐ: D = R\{1}

Với x₀ = -1 ∈ D ⇒ -x₀ = 1 ∉ D

Vậy hàm số không chẵn cũng không lẻ.

e)

TXĐ: R

Với x ∈ D ⇒ -x ∈ D.Ta có:

ĐKXĐ: |x - 1| - |x + 1| ≠ 0 ⇔ |x - 1| ≠ |x + 1|

TXĐ: D = R\ {0}

Với x ∈ D ⇒ -x ∈ D.Ta có:

Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Bài 5:

a) Ta có hàm số y = f(x) + g(x) có tập xác định D. Do hàm số y = f(x); y = g(x) lẻ nên ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D và f(-x) = -f(x); g(-x) = -g(x) suy ra

y(-x) = f(-x)+ g(-x) = -[f(x) + g(x)] = -y(x)

Suy ra hàm số y = f(x) + g(x) là hàm số lẻ.

b) Giả sử hàm số y = f(x) chẵn, y = g(x) lẻ.

Khi đó hàm số y = f(x)g(x) có tập xác định là D nên ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D

Ta có y(-x)= f(-x)g(-x) = f(x)[-g(x)] = -[f(x)g(x)] = -y(x)

Do đó hàm số y = f(x)g(x) lẻ.

Bài 6

a) Ta có TXĐ: D = R nên ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D

Đồ thị hàm số đã cho nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số lẻ

⇔ f(-x) = -f(x), ∀ x ∈ R.

⇔ (-x)³ - (m² - 9)(-x)² + (m + 3)(-x) + m - 3 = x³ - (m² - 9)x² + (m + 3)x + m - 3, ∀ x ∈ R.

⇔ 2(m² - 9)x² - 2(m - 3) = 0, ∀ x ∈ R.

b) Ta có TXĐ: D = R nên ∀ x ∈ D ⇒ -x ∈ D

Đồ thị hàm số đã cho nhận trục tung làm trục đối xứng khi và chỉ khi nó là hàm số chẵn

⇔ f(-x) = f(x), ∀ x ∈ R.

⇔ (-x)⁴ - (m² - 3x + 2)(-x)³ + m² - 1 = x⁴ - (m² - 3x + 2)x³ + m² - 1, ∀ x ∈ R.

⇔ 2(m² - 3x + 2)x³ = 0, ∀ x ∈ R.

⇔ m² - 3x + 2 = 0

Bài 7:

a) Hàm số đồng biến trên (-∞; 4/3) và nghịch biến trên khoảng (4/3; +∞)

b) Với mọi x₁; x₂ ∈ R; x₁ ≠ x₂ ta có:

x₁; x₂ ∈ (-∞; -2) ⇒ K < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (-∞; -2).

x₁; x₂ ∈ (-2; +∞) ⇒ K > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (-2; +∞).

c) Với mọi x₁; x₂ ∈ R; x₁ ≠ x₂ ta có:

x₁; x₂ ∈ (-∞; 2) ⇒ K < 0 suy ra hàm số nghịch biến trên (-∞; 2).

x₁; x₂ ∈ (2; +∞) ⇒ K > 0 suy ra hàm số đồng biến trên (2; +∞)

d) Với mọi x₁; x₂ ∈ (-∞; 1); x₁ ≠ x₂ ta có:

Vậy hàm số nghịch biến trên(-∞; 1).

Bài 8:

Với mọi x₁; x₂ ∈ R; x₁ ≠ x₂ ta có:

        = x₁² + x₂² + x₁x₂ + 1 > 0

Suy ra hàm số đã cho đồng biến trên R.

Ta có x³ - x =+ 1 ⇔ x³ + x = 2x + 1 +

Đặt= y, phương trình trở thành x³ + x = y³ + y

Do hàm số f(x) = x³ + x đồng biến trên R nên

x = y ⇒= x ⇔ x³ - 2x - 1 = 0

⇔ 

Vậy phương trình có nghiệm

Bài 9: Cho hàm số y = √(x-1) + x² - 2x

a) Với mọi x₁; x₂ ∈ [1; +∞); x₁ ≠ x₂ ta có:

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên [1; +∞)

b) Do hàm số đồng biến trên [1; +∞) nên f(2) < f(x) < f(5) ⇔ 1 < f(x) < 17

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [2; 5] là 1, đạt được khi x = 2.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên [2; 5] là 17, đạt được khi x = 5.

Bài 10:

a) Ta có: y = x³ + 2(m-1)x² + (m² - 4m + 1)x - 2(m² + 1)

⇔ m²(x - 2) + m(2x² - 4x) + x³ - 2x² + x - 2 - y = 0

Tọa độ điểm cố định mà họ đồ thị đồ thị luôn đi qua là nghiệm của hệ:

Vậy điểm cần tìm là A (2; 0)

b)

ĐKXĐ: x + m + 2 ≠ 0 ⇔ x ≠ -m - 2

Hàm số tương đương với:

(m - 1)x + m + 2 = y(x + m + 2)

⇔ m(x + 1 - y) - (x - 2 + xy + 2y) = 0

Tọa độ điểm cố định mà họ đồ thị đồ thị luôn đi qua là nghiệm của hệ:

Điểm cố định là (0; 1) và (-4; -3)

Bài 11:

a) ĐKXĐ:

⇒ TXĐ: D = [1; +∞)\{2}.

b) ĐKXĐ:

⇒ TXĐ: D = (1; +∞).

c) ĐKXĐ: x² + x + 1 ≠ 0 ⇔ (x + 1/2)² + 3/4 ≠ 0 (đúng ∀ x)

⇒ TXĐ: D = R.

d) ĐKXĐ:

⇒ TXĐ: D = [-1;+∞)\{3}

⇒ TXĐ: D = R\{2}