Bài 67: Đường tròn

A. Lý thuyết

1. Định nghĩa đường tròn

Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, kí hiệu (O;R)

Chú ý:

Với mọi điểm M nằm trong mặt phẳng thì:

   + Nếu OM < R thì điểm M nằm trong đường tròn (O;R)

   + Nếu OM = R thì điểm M nằm trên (thuộc) đường tròn (O;R)

   + Nếu OM > R thì điểm M nằm ngoài đường tròn (O;R)

2. Định nghĩa hình tròn

Hình tròn là hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm nằm bên trong đường tròn đó

3. Cung, dây cung, đường kính

   + Hai điểm A,B nằm trên đường tròn chia đường tròn thành hai phần, mỗi phần gọi là một cung tròn (cung) . Hai điểm A,B là hai mút của cung

   + Đoạn thẳng AB nối hai mút của cung gọi là một dây cung

   + Dây cung đi qua tâm là đường kính

Đường kính dài gấp đôi bán kính và là dây cung lớn nhất

Với hình vẽ trên thì đoạn thẳng AB là dây cung và đoạn thẳng AC là đường kính

Khi đó AC ≥ AB

4. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường thẳng a và điểm A ∈ a , một độ dài R = 4cm

a) Các điểm M trong mặt phẳng có khoảng cách đến điểm A bằng 4cm thì nằm trên đường nào

b) Trên đường thẳng a có bao nhiêu điểm cách điểm A một đoạn 4cm. Xác định các điểm ấy

Hướng dẫn giải:

a) Các điểm M cách A một khoảng bằng 4cm thì nằm trên đường tròn tâm A, bán kính là 4cm

b) Trên đường thẳng a có hai điểm M₁, M₂ cách điểm A một khoảng bằng 4cm. M₁, M₂ là giao điểm của đường thẳng a với đường tròn tâm A, bán kính là 4cm

Ví dụ 2: Cho hai điểm A, B cách nhau một khoảng bằng 4cm

a) Các điểm cách A một khoảng 3cm nằm trên đường nào? Cách điểm B một khoảng 2cm nằm trên đường nào?

b) Tìm điểm M có khoảng cách đến A một đoạn 3cm và có khoảng cách đến B một đoạn 2cm. Có bao nhiêu điểm như vậy?

Hướng dẫn giải:

a) Các điểm cách A một khoảng 3cm nằm trên đường tròn tâm A bán kính 3cm

Các điểm cách B một khoảng 2cm nằm trên đường tròn tâm B bán kính 2cm

b) Các điểm M có MA = 3cm và MB = 2 cm là giao điểm của hai đường tròn (A; 3) và (B; 2)

Có hai điểm M thỏa mãn bài toán.

5. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho hình vẽ dưới đây, ta có hai đường tròn (O; 2cm) và (A; 2cm) cắt nhau tại C,D. Điểm A nằm trên đường tròn tâm O.

a) Vẽ đường tròn tâm C, bán kính 2cm.

b) Vì sao đường tròn (C; 2cm) đi qua O, A?

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ đường tròn (C; 2cm)

b) Ta có: C ∈ (O; 2cm) ⇒ OC = 2cm

⇒ O ∈ (C; 2cm)

+ C ∈ (A; 2cm) ⇒ CA = 2cm

⇒ A ∈ (C; 2cm)

Vậy đường tròn (C; 2cm) đi qua điểm O, A

Câu 2: Trên hình sau đây, ta có hai đường tròn (A; 3cm) và (B; 2cm) cắt nhau tại C, D, AB = 4cm . Đường tròn tâm A, B lần lượt cắt đoạn thẳng AB tại K, I.

a) Tính CA, CB, DA, DB.

b) I có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không?

c) Tính IK.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có:

CA = 3cm; DA = 3 cm; CB = 2cm; DB = 2cm

b) Điểm I nằm giữa A và B

Nên ta có: AI + IB = AB = 4cm

Mặt khác,IB = 2cm nên AI = AB - IB = 4 - 2 = 2 (cm)

Vậy AI = IB = 2 (cm) nên I là trung điểm của AB

c) Ta có:

Điểm I nằm giữa A và K nên AI + IK = AK

Suy ra IK = AK - AI = 3 - 2 = 1 (cm)

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Chọn phát biểu đúng trong các phát biểu sau:

A. Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, kí hiệu là (O; R).

B. Đường tròn tâm O, đường kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, kí hiệu là (O; R).

C. Đường tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R/2, kí hiệu là (O; R).

D. Hình tròn tâm O, bán kính R là hình gồm các điểm cách O một khoảng bằng R, kí hiệu là (O; R).

Đáp án

Câu 2: Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau:

A. Hình gồm các điểm nằm trên đường tròn và các điểm nằm trong đường tròn đó là hình tròn.

B. Dây cung không đi qua tâm là bán kính của đường tròn đó.

C. Hai điểm A và B của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai cung. Đoạn thẳng nối hai mút của một cung là dây.

D. Dây cung đi qua tâm là đường kính của đường tròn đó.

Đáp án

Câu 3: Nếu điểm M nằm trong đường tròn tâm O bán kính 4cm. Khi đó:

A. OM < 4cm     B. OM = 4cm     C. OM > 4cm     D. OM ≥ 4cm

Đáp án

Câu 4: Cho đường tròn (O; 5cm) và OM = 6cm. Chọn câu đúng:

A. Điểm M nằm trên đường tròn     B. Điểm M nằm trong đường tròn

C. Điểm M nằm ngoài đường tròn     D. Điểm M trùng với tâm đường tròn

Đáp án

Câu 5: Cho đường tròn (M; 1,5cm) và ba điểm A, B, C sao cho OA = 1cm; OB = 1,5cm; OC = 2cm. Chọn câu đúng:

A. Điểm A nằm trên đường tròn, điểm B nằm trong đường tròn và điểm C nằm ngoài đường tròn (M; 1,5cm)

B. Điểm A và điểm C nằm ngoài đường tròn, điểm B nằm trên đường tròn (M; 1,5cm)

C. Điểm A nằm trong đường tròn, điểm B nằm trên đường tròn và điểm C nằm ngoài đường tròn (M; 1,5cm)

D. Cả ba đều nằm trên đường tròn (M; 1,5cm)

Đáp án

Câu 6: Trên đường tròn có 9 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu dây cung được tạo thành từ 9 điểm đó?

A. 9     B. 18     C. 72     D. 36

Đáp án

A. 1cm

B. 2cm

C. 3cm

D. 4cm

Đáp án

Câu 8: Cho hai điểm A, B cách nhau 5cm. Vẽ đường tròn (A; 1,5cm) và đường tròn (B; 2,5cm). Đường tròn (A; 1,5cm) cắt đoạn AB tại C, đường tròn (B; 2cm) cắt đoạn AB tại D. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Điểm C nằm trong đường tròn (B; 2cm)

B. Điểm C nằm giữa A và D

C. Điểm D nằm ngoài đường tròn (A; 1,5cm)

D. Điểm D là trung điểm của AB

Đáp án

Câu 9: Cho hình vẽ sau, có bao nhiêu dây cung ở trong hình?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

Đáp án

Câu 10: Cho hình vẽ sau, có bao nhiêu bán kính ở trong hình?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án