Bài 61: Nửa mặt phẳng

A. Lý thuyết

1. Nửa mặt phẳng bờ a

a. Mặt phẳng

   + Một mặt bàn, mặt bảng, một tờ giấy trải rộng… cho ta hình ảnh của mặt phẳng

   + Mặt phẳng không bị hạn chế về mọi phía

b. Nửa mặt phẳng

   + Hình gồm đường thẳng a vả một phần mặt phẳng bị chia ra bởi a được gọi là một nửa mặt phẳng bờ a

   + Hai nửa mặt phẳng có bờ chung gọi là hai nửa mặt phẳng đối nhau

Trên hình vẽ nửa mặt phẳng bờ a' chứa điểm B và nửa mặt phẳng bờ a chứa điểm A là hai nửa mặt phẳng đối nhau

Hai điểm A và C (hoặc A và B) nằm khác phía với đường thẳng a hay thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a thì đoạn AC (hoặc AB) cắt a

Hai điểm bất kì B và C nằm cùng phía với đường thẳng a thì đoạn BC không cắt a

Bất kì đường thẳng nào nằm trên mặt phẳng cũng là bờ chung của hai nửa mặt phẳng đối nhau

2. Tia nằm giữa hai tia

Cho ba tia Ox; Oy; Oz chung gốc. Lấy điểm M ∈ Ox; N ∈ Oy(M; N không trùng với O)

Nếu tia Oz cắt đoạn thẳng MN tại một điểm nằm giữa M và N thì tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy

3. Ví dụ

Ví dụ 1: Cho đường thẳng xy và ba điểm A, B, C không nằm trên xy. Biết đoạn thẳng AB không cắt đường thẳng xy còn đoạn thẳng AC cắt đường thẳng xy tại P

a) Chứng tỏ hai điểm B, C nằm trong hai mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng xy

b) Đoạn thẳng BC có cắt đường thẳng xy không?

Hướng dẫn giải:

a) A và B là hai điểm cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ xy mà A và C là hai điểm nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ xy

Suy ra hai điểm B và C nằm trong hai mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng xy

b) Do B và C nằm trong hai mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng xy

Nên đoạn thẳng BC cắt đường thẳng xy

Ví dụ 2: Cho đường thẳng xy và ba điểm A, B, C không thuộc xy. Biết đường thẳng xy cắt hai đoạn thẳng BA và BC.

a) Giải thích tại sao điểm A và điểm C cùng thuộc một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy

b) Đường thẳng xy cắt đoạn thẳng AC không? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

a) Vì đường thẳng xy cắt hai đoạn thẳng BA và đoạn thẳng BC

Khi đó ta có: B và A là hai điểm thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng xy

Điểm B và điểm C là hai điểm thuộc hai nửa phẳng đối nhau bờ là đường thẳng xy

Suy ra A và C là hai điểm cùng khác phía với B đối với bờ là đường thẳng xy

Vậy điểm A và điểm C cùng thuôc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy

b) Do điểm A và điểm C cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng xy

Nên đoạn thẳng AC không cắt đường thẳng xy

4. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng. Vẽ đường thằng a cắt các đoạn thằng AB, AC và không đi qua A, B, C.

a) Gọi tên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a.

b) Đoạn thẳng BC có cắt đường thẳng a không?

Hướng dẫn giải:

a) Hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ a là:

    + Nửa mặt phẳng bờ a chứa A

    + Nửa mặt phẳng bờ a chứa B và C

b) Đoạn thẳng BC không cắt đường thẳng a. (chú ý không nhầm lẫn giữa đường thẳng với đoạn thẳng)

Câu 2: Gọi M là điểm nằm giữa hai điểm A, B. Lấy điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Vẽ ba tia OA, OB, OM.

Hỏi tia nào nằm giữa hai tia còn lại?

Hướng dẫn giải:

Tia OM nằm giữa hai tia OA và OB (vì tia OM cắt đoạn thẳng AB tại điểm M nằm giữa A và B

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Chọn đáp án đúng?

A. Trang sách là hình ảnh của mặt phẳng

B. Sàn nhà là hình ảnh của mặt phẳng

C. Mặt bàn là hình ảnh của mặt phẳng

D. Cả A, B, C đều đúng

Đáp án

Câu 2: Cho hình vẽ sau, chọn đáp án đúng

A. P và Q là hai điểm thuộc hai mặt phẳng đối nhau bờ a

B. P và Q thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ a.

C. P nằm trên đường thẳng a.

D. P và Q cùng nằm trên đường thẳng a.

Đáp án

Câu 3: Cho hình vẽ sau. Chọn đáp án sai

A. Điểm C và D thuộc hai mặt phẳng đối nhau bờ a.

B. Điểm D và E thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ a

C. Điểm C và E thuộc hai mặt phẳng đối nhau bờ a.

D. Điểm C, D, E thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ a.

Đáp án

Câu 4: Gọi C là điểm nằm giữa hai điểm A và

B. Lấy điểm O không nằm trên đường thẳng A

B. Vẽ ba tia OA, OB, O

C. Hỏi tia nào nằm giữa hai tia còn lại?

A. OA

B. OB

C. OC

D. Không xác định được

Đáp án

Câu 5: Cho bốn điểm A, B, C, D không nằm trên đường thẳng a, trong đó A và B thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ a, còn C và D thuộc nửa mặt phẳng ki

A. Hỏi đường thẳng a cắt bao nhiêu đoạn thẳng?

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Đáp án

Câu 6: Cho hình vẽ sau. Khẳng định nào sai?

A. Tia BE nằm giữa hai tia BA và BC

B. D và E nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ là đường thẳng AC

C. Tia BA và BC là hai tia đối nhau

D. Tia BD nằm giữa hai tia BA và BE

Đáp án

Câu 7: Cho hai tia OA, OB không đối nhau. Gọi C là điểm nằm giữa A,

B. Vẽ điểm D sao cho B nằm giữa A và

D. Đọc tên các tia nằm giữa hai tia khác?

A. OC và OB

B. OD và OA

C. OA và OB

D. OC và OD

Đáp án

Câu 8: Cho hình vẽ sau. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Hai điểm M và N thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y, nằm khác phía đối với đường thẳng x.

B. Hai điểm M và P nằm khác phía đối với đường thẳng x và cũng nằm khác phía đối với đường thẳng y

C. Hai điểm N và P thuộc nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng y, nằm khác phía đối với đường thẳng x.

D. M và P thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng y và cũng thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng x.

Đáp án

Câu 9: Cho hình vẽ sau, tia SC nằm giữa mấy cặp tia?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Đáp án

Câu 10: Cho ba điểm A, B, C nằm ngoài đường thẳng A. Biết rằng cả hai đoạn thẳng BA, BC đều cắt đường thẳng A. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. Hai điểm A và C nằm khác phía với đường thẳng a

B. Hai điểm B và C nằm cùng phía với đường thẳng a

C. Hai điểm A và B nằm cùng phía với đường thẳng a

D. Đường thẳng a không cắt đoạn AC

Đáp án