Bài 60: Tổng hợp lý thuyết, bài tập Chương 3 Số học 6

A. Lý thuyết

1. Khái niệm phân số

Người ta gọi  với a, b ∈ ℤ, b ≠ 0 là một phân số, a là tử số (tử), b là mẫu số (mẫu) của phân số

2. Hai phân số bằng nhau

Hai phân số a/b và c/d gọi là những phân số bằng nhau nếu a.d = b.c (tích chéo bằng nhau)

3. Tính chất cơ bản của phân số

   + Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho

   + Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng ta được một phân số mới bằng phân số đã cho

4. Cách rút gọn phân số

Muốn rút gọn phân số , ta chia cả tử và mẫu của phân số đó cho một ước chung khác 1 và -1 của chúng .

5. Phân số tối giản

   + Phân số tối giản (hay phân số không rút gọn được nữa ) là phân số mà cả tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1. Để rút gọn một lần mà được kết quả là phân số tối giản, chỉ cần chia tử và mẫu của phân số cho ƯCLN của chúng

   + Để rút gọn một phân số có thể phân tích tử và mẫu thành tích các thừa số

Chú ý:

   + Phân số a/b là tối giản nếu |a| và |b| là hai nguyên tố cùng nhau.

   + Khi rút gọn một phân số, người ta thường rút gọn về phân số tối giản.

6. Quy đồng mẫu hai phân số

Muốn quy đồng hai phân số ta làm như sau:

Bước 1: Tìm một bội chung của 2 mẫu số để làm mẫu chung

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (chia mẫu chung cho từng mẫu)

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng

7. Các bước quy đồng mẫu số nhiều phân số với mẫu số dương

Muốn quy đồng nhiều phân số với mẫu số dương ta làm như sau:

Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để là mẫu chung

Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu)

Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng

8. So sánh hai phân số cùng mẫu

Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn

Ví dụ: 

9. So sánh hai phân số không cùng mẫu

Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn

Nhận xét:

   + Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0, gọi là phân số dương

   + Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0, gọi là phân số âm

    Ta còn có cách so sánh phân số như sau:

   • Áp dụng tính chất:

   • Đưa về hai phân số cùng tử dương rồi so sánh mẫu (chỉ áp dụng đối với hai phân số cùng dương)

   + Chọn số thứ ba làm trung gian

10. Cộng hai phân số cùng mẫu

Muốn cộng hai phân số cùng mẫu ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu

11. Cộng hai phân số khác mẫu

Muốn cộng hai phân số không cùng mẫu. ta viết chúng dưới dạng hai phân số cùng mẫu rồi cộng các tử với nhau và giữ nguyên mẫu chung

12. Các tính chất

   + Tính chất giao hoán : 

   + Tính chất kết hợp:

   + Cộng với số 0: 

13. Số đối

Hai số gọi là đối nhau nêu tổng của chúng bằng

Kí hiệu số đối của phân số a/b và -a/b

Ví dụ: Số đối của 5/6 là -5/6

Số đối của -2/9 là 2/9.

14. Phép trừ phân số

Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ

15. Quy tắc phép nhân phân số

   + Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau

   + Muốn nhân một số nguyên với một phân số ( hoặc một phân số với một số nguyên ), ta nhân số nguyên với tử của phân số và giữ nguyên mẫu

16. Các tính chất cơ bản của phân số

   + Tính chất giao hoán: 

   + Tính chất kết hợp: 

   + Nhân với số 1: 

   + Nhân với số 0: 

   + Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

Nhận xét:

Lũy thừa của một phân số: Với n ∈ N thừa số

17. Số nghịch đảo

Hai số gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1

Ví dụ:

Số nghich đảo của 1/6 là 6; số nghịch đảo của -5 là -1/5.

18. Phép chia phân số

Muốn chia một phân số hay một số nguyên cho một phân số, ta nhân số bị chia với số nghịch đảo của số chia

19. Hỗn số

   + Nếu phân số dương lớn hơn 1, ta có thể viết nó dưới dạng hỗn số bằng cách: chia tử cho mẫu, thương tìm được là nguyên của hỗn số, số dư là tử của phân số kèm theo, còn mẫu vẫn là mẫu đã cho

   + Muốn viết một hỗn số dưới dạng một phân số, ta nhân phần nguyên với mẫu rồi cộng với tử, kết quả tìm được là tử số của phân số, còn mẫu vẫn là mẫu đã cho

   + Khi viết một phân số âm dưới dạng hỗn số, ta chỉ cần viết số đối của nó dưới dạng hỗn số rồi đặt dấu “-“ trước kết quả nhận được

20. Số thập phân

Phân số thập phân là phân số mà mẫu là lũy thừa của 10

Các phân số thập phân có thể viết được dưới dạng số thập phân

   + Số thập phân gồm hai phần:

• Phần số nguyên viết bên trái dấu phẩy

• Phần thập phân viết bên phải dấu phẩy

Số chữ số của phần thập phân đúng bằng số chữ số 0 ở mẫu của phân số thập phân.

21. Phần trăm

Những phân số có mẫu là 100 còn được viết dưới dạng phần trăm với kí hiệu %

Ví dụ:

22. Tìm giá trị phân số của một số cho trước

Muốn tìm  của số b cho trước, ta tính b. (m,n ∈ N, n ≠ 0)

23. Tìm một số biết giá trị một phân số của nó

Muốn tìm một số biết  của nó bằng a, ta tính a: (m, n ∈ N*)

24. Tỉ số của hai số

Thương trong phép chia số a cho số b (b ≠ 0) gọi là tỉ số của a và b

Kí hiệu a:b hoặc a/b

Ví dụ:

Tỉ số của 

25. Tỉ số phần trăm

Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số a và b, ta nhân a với 100 rồi chia cho b và viết kí hiệu % vào kết quả: 

Ví dụ:

Tỉ số phần trăm của 2kg và 40kg là: 

26. Tỉ lệ xích

Tỉ lệ xích T của một bản vẽ (hoặc một bản đồ) là tỉ số khoảng cách a giữa hai điểm trên bản vẽ ( hoặc bản đồ ) và khoảng cách b giữa hai điểm tương ứng thực tế: T = a/b ( có cùng đơn vị đo)

27. Biểu đồ phần trăm

Để nêu bật và so sánh một cách trực quan các giá trị phần trăm của cùng một đại lượng, người ta dùng biểu đồ phần trăm. Biểu đồ phần trăm thường được dựng dưới dạng cột, ô vuông và hình quạt

28. Bài tập vận dụng

Câu 1: Trong các cách viết sau cách viết nào cho ta phân số:

Đáp án

Câu 2: Viết các phép chia sau dưới dạng phân số

a) 5:13     b) -2:9     c) k:(-5) (k ∈ Z)

Đáp án

Câu 3: Quy đồng mẫu các phân số sau:

Đáp án

Câu 4: Rút gọn hai biểu thức rồi quy đồng

Đáp án

Câu 5: Tính

Đáp án

Câu 6: Cho phân số a/b và phân số a/c có b + c = a (a, b, c ∈ Z, b ≠ 0, c ≠ 0). Chứng tỏ rằng tích của hai phân số này bằng tổng của chúng. Thử lại với a = 8, b = -3

Đáp án

Câu 7: So sánh

Đáp án

Câu 8: Tính

Đáp án

Câu 9: Tính giá trị các biểu thức sau:

Đáp án

Câu 10: Lúc 6 giờ 50 phút Việt đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 15km/h. Lúc 7 giờ 10 phút bạn Nam đi xe đạp từ B để đến A với vận tốc 12km/h. Hai bạn gặp nhau ở C lúc 7 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB.

Đáp án

Câu 11: Tính nhanh

Đáp án

Câu 12: Chứng minh rằng

Đáp án

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Phân số nào dưới đây bằng với phân số -2/5 ?

A. 4/10     B. -6/15     C. 6/15     D. -4/-10

Đáp án

Câu 2: Chọn câu sai?

A. 1/3 = 45/135     B. -13/20 = 26/-40

C. -4/15 = -16/-60     D. 6/7 = -42/-49

Đáp án

Câu 3: Tìm số nguyên x biết 35/15 = x/3 ?

A. x = 7     B. x = 5     C. x = 15     D. x = 6

Đáp án

Câu 4: Điền số thích hợp vào chỗ chấm 15/90 = 5/...

A. 20     B. -60     C. 60     D. 30

Đáp án

Câu 5: Cho tập A = {1; -2; 3; 4}. Có bao nhiêu phân số có tử số và mẫu số thuộc A mà có tử số khác mẫu số và tử số trái dấu với mẫu số

A. 9     B. 6     C. 3     D. 12

Đáp án

Câu 6: TÌm số a; b biết 

A. a = 3, b = -259     B. a = -3, b = -259

C. a = 3, b = 259     D. a = -3, b = 259

Đáp án

Câu 7: Phân số nào dưới đây là phân số tối giản?

A. -2/4     B. -15/-96     C. 13/27     D. -29/58

Đáp án

Câu 8: Nhân cả tử số và mẫu số của phân số 14/23 với số nào để được phân số 168/276

A. 14     B. 23     C. 12     D. 22

Đáp án

Câu 9: Rút gọn phân số 600/800 về dạng phân sô tối giản ta được :

A. 1/2     B. 6/8     C. 3/4     D. -3/4

Đáp án

Câu 10: Rút gọn phân số  về dạng phân số tối giản ta được phân số có tử số là

A. 4/9     B. 31     C. -1     D. 4

Đáp án

Câu 11: Tìm x biết 

A. 101     B. 32     C. -23     D. 23

Đáp án

Câu 12: Hãy chọn phân số không bằng phân số -8/9 trong các phân số dưới đây ?

Đáp án

Câu 13: Phân số bằng phân số  mà có tử số và mẫu số đều là số dương , có ba chữ số là phân số nào ?

Đáp án

Câu 14: Mẫu chung nguyên dương nhỏ nhất của các phân số  là :

A. 3².7²     B. 3³.7³.11.19

C. 3².7².11.19     D. 3³.7².11.19

Đáp án

Câu 15: Chọn câu đúng

Đáp án

Câu 16: Chọn câu sai

Đáp án

Câu 17: Sắp xếp các phân số  theo thứ tự tăng dần ta được

Đáp án

Câu 18: Sắp xếp các phân số  theo thứ tự giảm dần ta được

Đáp án

Câu 19: Tìm x biết

Đáp án

Câu 20: Tìm x biết x - 1/5 = 2 + -3/4

Đáp án

Câu 21: Tính hợp lí biểu thức  ta được kết quả là :

A. 9/5     B. 11/5     C. -11/5     D. -1/5

Đáp án

Câu 22: Phép tính  là :

Đáp án

Câu 23: Tính

A. 5/18     B. 5/36     C. -11/18     D. -13/36

Đáp án

Câu 24: Tìm x biết

A. 9/14     B. 1/14     C. 11/14     D. 1/2

Đáp án

Câu 25: Giá trị của x thỏa mãn  là

A. -5/16     B. 5/16     C. 19/16     D. -(19/16)

Đáp án

Câu 26: Điền số thích hợp vào chỗ chấm

A. 2     B. 1     C. -1     D. 5

Đáp án

Câu 27: Chọn câu đúng

Đáp án

Câu 28: Chọn câu sai

Đáp án

Câu 29: Tìm số nguyên x biết 

A. x ∈ {-3; -2; -1}     B. x ∈ {-4; -3; -2; -1}

C. x ∈ {-3; -2}     D. x ∈ {-3; -2; -1; 0}

Đáp án

Câu 30: Tính

A. -15/28     B. -9/28     C. -5/8     D. -7/8

Đáp án

Câu 31: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của x thỏa mãn

A. 1     B. 0     C. 2     D. 3

Đáp án

Câu 32: Tính

A. 7/18     B. 9/14     C. 36/7     D. 18/7

Đáp án

Câu 33: Giá trị biểu thức  là phân số tối giản có dạng a/b với a > 0. Tính b + a

A. 8     B. 9/5     C. 3/5     D. 2

Đáp án

Câu 34: Rút gọn  ta được

A. 4/3     B. 1     C.      D. -4/3

Đáp án

Câu 35: Cho  và

Chọn kết luận đúng:

A. P > Q     B. P < Q     C. P < -Q     D. P = Q

Đáp án

Câu 36: Tính

A. -(1/4)     B. 3/2     C. 1/4     D. 3/4

Đáp án

Câu 37: Kết quả của phép tính  bằng

A. 11/6     B. 7/6     C. 13/6     D. -(5/6)

Đáp án

Câu 38: Các phân số  được viết dưới dạng số thập phân theo lần lượt là

A. 0,69; 0,877; 3,4567     B. 0,69; 8,77; 3,4567

C. 0,069; 0,877; 3,4567     D. 0,069; 8,77; 3,4567

Đáp án

Câu 39: Một lớp học có 30 học sinh , trong lớp đó có 6 em học sinh giỏi toán . Hãy tính tỉ số phần trăm của số học sinh giỏi toán so với số học sinh cả lớp?

A. 25%     B. 35%     C. 20%     D. 40%

Đáp án

Câu 40: Tìm chiều dài cuả một đoạn đường, biết rằng 4/7 đoạn đường đó dài 40km

A. 75km     B. 48km     C. 70km     D. 80km

Đáp án