Toán học 7 Bài 53: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
Lý thuyết tổng hợp Toán học lớp 7 Bài 53: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác, chọn lọc năm 2021 – 2022 mới nhất gồm tóm tắt lý thuyết và hơn 500 bài tập ôn luyện Toán 7. Hy vọng bộ tổng hợp lý thuyết Toán học lớp 7 sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, ôn tập và đạt điểm cao trong các bài thi trắc nghiệm môn Toán học 7.
Bài 53: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác
A. Lý thuyết
1. Bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại.
Cho tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:
• AB + AC > BC hay b + c > a
• AB + BC > AC hay c + a > b
• AC + BC > AB hay b + a > c
2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác
Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại.
Nhận xét: Nếu xét đồng thời cả tổng và hiệu độ dài hai cạnh của một tam giác thì quan hệ giữa các cạnh của nó còn được phát biểu như sau:
Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại.
Ví dụ: Trong tam giác ABC, với cạnh BC ta có:
|AC - AB| < BC < AC + AB hay |b - c| < a < b + c
3. Ví dụ
Ví dụ 1:Một tam giác có độ dài hai cạnh là 2cm và 10cm. Tìm số đo của cạnh thứ ba, biết số đo ấy là một số nguyên tố.
Hướng dẫn giải:
Giả sử độ dài của cạnh thứ ba là x (cm)
Áp dụng bất đẳng thức của tam giác
Ta có: 10 - 2 < x < 10 + 2 ⇒ 8 < x < 12
Vì x là số nguyên tố lớn hơn 8 và nhỏ hơn 12
Nên x = 11
Vậy số đo cạnh thứ ba là 11cm
Ví dụ 2:Cho ΔABC, M là một điểm tùy ý nằm ở miền trong ΔABC. Chứng minh rằng:
MB + MC < AB + AC.
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 3:Cho điểm D nằm trên cạnh BC của ΔABC. Chứng minh rằng:
Hướng dẫn giải:
4. Bài tập vận dụng
Bài 1: Hãy tìm độ dài các cạnh của một tam giác, biết cạnh thứ nhất gấp rưỡi cạnh thứ hai, cạnh thứ hai gấp rưỡi cạnh thứ ba và nửa chu vi tam giác bằng 9,5cm
Hướng dẫn giải:
Gọi độ dài cạnh thứ ba là x (cm)
Theo bài ra ta có:
Theo độ dài, độ dài cạnh thứ hai là (3/2)x (cm)
Độ dài cạnh thứ nhất là
Bất đẳng thức tam giác được thỏa mãn vì
Chu vi của tam giác là
Vậy độ dài của ba cạnh tam giác là 4cm, 6cm, 9cm
Bài 2: Cho tam giác ABC có AC > AB. Nối A với trung điểm M của BC. Trên tia AM lấy điểm E sao cho M là trung điểm của đoạn AE. Nối C với E.
a) So sánh hai đoạn thẳng AB và CE.
b) Chứng minh:
Hướng dẫn giải:
B. Bài Tập
Câu 1: Cho ΔABC, em hãy chọn đáp án sai trong các đáp án sau:
Lời giải:
Vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại và hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại nên các đáp án A, B, C đều đúng, đáp án D sai.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 2: Cho ΔMNP, em hãy chọn đáp án đúng nhất trong các đáp án sau:
Lời giải:
Vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh bất kì lớn hơn độ dài cạnh còn lại và hiệu độ dài hai cạnh bất kì nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại nên các đáp án B, C đều đúng.
Đáp án cần chọn là: D
Câu 3: Dựa vào bất đẳng thứ tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác
Lời giải:
+ Xét bộ ba: 3cm, 5cm, 7cm. Ta có: 
(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 3cm, 5cm, 7cm lập thành một tam giác. Loại A
+ Xét bộ ba: 4cm, 5cm, 6cm. Ta có: 
(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 4cm, 5cm, 6cm lập thành một tam giác. Loại B
+ Xét bộ ba: 2cm, 5cm, 7cm. Ta có: 2 + 5 = 7 (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 2cm, 5cm, 7cm không lập thành một tam giác. Chọn C
+ Xét bộ ba: 3cm, 5cm, 6cm. Ta có: 
(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 3cm, 5cm, 6cm lập thành một tam giác. Loại D
Đáp án cần chọn là: C
Câu 4: Dựa vào bất đẳng thứ tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác
Lời giải:
+ Xét bộ ba: 6cm; 6cm; 5cm. Ta có: 
(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 6cm; 6cm; 5cm lập thành một tam giác. Loại A
+ Xét bộ ba: 7cm; 8cm; 10cm. Ta có: 
(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 7cm; 8cm; 10cm lập thành một tam giác. Loại B
+ Xét bộ ba: 12cm; 15cm; 9cm. Ta có: 
(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 12cm; 15cm; 9cm lập thành một tam giác. Loại C
+ Xét bộ ba: 11cm; 20cm; 9cm. Ta có: 11 + 9 = 20 (không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nên bộ ba 11cm; 20cm; 9cm không lập thành một tam giác. Chọn D
Đáp án cần chọn là: D
Câu 5: Cho ΔABC có cạnh AB = 1cm và cạnh BC = 4cm. Tính độ dài cạnh AC biết AC là một số nguyên
A. 1cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 4cm
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh AC là x (x > 0). Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
4 - 1 < x < 4 + 1 ⇔ 3 < x < 5. Vì x là số nguyên nên x = 4. Vậy độ dài cạnh AC = 4cm
Đáp án cần chọn là: D
Câu 6: Cho ΔABC có cạnh AB = 10cm và cạnh BC = 7cm. Tính độ dài cạnh AC biết AC là một số nguyên tố lớn hơn 11
A. 17cm
B. 15cm
C. 19cm
D. 13cm
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh AC là x (x > 0).
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
10-7 < x < 10+7⇔3 < x < 17. Vì x là một số nguyên tố lớn hơn 11 nên x = 13. Vậy độ dài cạnh AC = 13cm
Đáp án cần chọn là: D
Câu 7: Cho tam giác ABC biết AB = 1cm; BC = 9cm và cạnh AC là một số nguyên. Chu vi ABC là
A. 17cm
B. 18cm
C. 19cm
D. 16cm
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh AC là x (x > 0).
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
9-1 < x < 9+1⇔8 < x < 10. Vì x là số nguyên nên x=9. Độ dài cạnh AC=9cm
Chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC = 1 + 9 + 9 = 19cm
Đáp án cần chọn là: C
Câu 8: Cho tam giác ABC biết AB = 2cm; BC = 7cm và cạnh AC là một số tự nhiên lẻ. Chu vi ABC là
A. 17cm
B. 18cm
C. 19cm
D. 16cm
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh AC là x (x > 0).
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
7-2 < x < 7+2⇔5 < x < 9. Vì x là số tự nhiên lẻ nên x = 7. Độ dài cạnh AC = 7cm
Chu vi tam giác ABC là AB + AC + BC = 2 + 7 + 7 = 16cm
Đáp án cần chọn là: D
Câu 9: Cho tam giác ABC có BC = 1cm; AC = 8cm và độ dài cạnh AB là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?
A. Tam giác vuông tại A
B. Tam giác cân tại A
C. Tam giác vuông cân tại A
D. Tam giác cân tại B
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh AB là x (x > 0).
Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 8-1 < x < 8+1⇔7 < x < 9
Vì x là số nguyên nên x = 8. Độ dài cạnh AB = 8cm
Tam giác ABC có AB = AC = 8cm nên tam giác ABC cân tại A
Đáp án cần chọn là: B
Câu 10: Cho tam giác ABC có BC = 5cm; AC = 1cm và độ dài cạnh AB là một số nguyên (cm). Tam giác ABC là tam giác gì?
A. Tam giác vuông tại A
B. Tam giác cân tại A
C. Tam giác vuông cân tại A
D. Tam giác cân tại B
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh AB là x (x > 0).
Theo bất đẳng thức tam giác ta có: 5-1 < x < 5+1⇔4 < x < 6
Vì x là số nguyên nên x = 5. Độ dài cạnh AB = 5cm
Tam giác ABC có AB = BC = 5cm nên tam giác ABC cân tại B
Đáp án cần chọn là: D
Câu 11: Cho ΔABC cân tại A có một cạnh bằng 5cm. Tính cạnh BC của tam giác đó biết chu vi tam giác bằng 17cm
Lời giải:
Ta có: 
(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)
Ta có: 
(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)
Đáp án cần chọn là: A
Câu 12: Cho ΔABC cân tại A có một cạnh bằng 6cm. Tính cạnh BC của tam giác đó biết chu vi tam giác bằng 20cm
Lời giải:
Ta có: 
(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)
Ta có: 
(thỏa mãn bất đẳng thức tam giác)
Đáp án cần chọn là: D
Câu 13: Cho ΔABC có M là trung điểm BC. So sánh AB + AC với 2AM
Lời giải:
Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA
Vì M là trung điểm BC(gt) ⇒ MA = MB (tính chất trung điểm)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 14: Cho ΔABC có AB < AC. Trên đường phân giác AD lấy điểm E. Chọn câu đúng
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔCEK ta có: EC - EK < KC mà EB = EK (cmt) suy ra EC - EB < KC (1)
Mặt khác KC = AC - AK = AC - AB (vì AB = AK theo cách dựng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra EC - EB < AC - AB
Đáp án cần chọn là: C
Câu 15: Cho ΔABC có điểm O là một điểm bất kì nằm trong tam giác. So sánh OA + OC và AB + BC
Lời giải:
Gọi giao điểm của AO và BC là D. Do O nằm trong ΔABC nên D nằm giữa B và C
Đáp án cần chọn là: A
Câu 16: Cho ΔABC có điểm O là một điểm bất kì nằm trong tam giác. So sánh MB + MC và AB + AC
Lời giải:
Gọi I là giao điểm của BM và AC
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔIMC ta có: MC < MI + IC (1)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔIBA ta có: IB < IA + AB (3)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 17: Có bao nhiêu tam giác có độ dài hai cạnh là 7 cm và 2 cm còn độ dài cạnh thứ ba là một số nguyên (đơn vị cm)?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh còn lại là x (x > 0)
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
7-2 < x < 7+2⇔5 < x < 9. Vì x là số nguyên nên x ∈ {6;7;8}
Vì có ba giá trị của x thỏa mãn nên có ba tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài
Đáp án cần chọn là: C
Câu 18: Có bao nhiêu tam giác có độ dài hai cạnh là 9 cm và 3 cm còn độ dài cạnh thứ ba là một số nguyên (đơn vị cm)?
A. 6
B. 4
C. 5
D. 7
Lời giải:
Gọi độ dài cạnh còn lại là x (x > 0)
Theo bất đẳng thức tam giác ta có:
9-3 < x < 9+3⇔6 < x < 12. Vì x là số nguyên nên x ∈ {7;8;9;10;11}
Vì có năm giá trị của x thỏa mãn nên có năm tam giác thỏa mãn điều kiện đề bài
Đáp án cần chọn là: C
Câu 19: Cho hình vẽ dưới đây. Chọn câu đúng
Lời giải:
Xét tam giác AED có: AE+ED>AD (1) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)
Xét tam giác ECD có: CE+DE>CD (2) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)
Xét tam giác EBC có: ED+EC>BC (3) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)
Xét tam giác ABE có: AE+EB>AB (4) (quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác)
Từ (1)(2)(3)(4) ta có:
AE+DE+CE+DE+BE+CE+AE+BE>AD+CD+BC+AB
Mà AE+EC=AC;DE+BE=BD nên 2(AC+BC)>AD+CD+BC+AB
Đáp án cần chọn là: B
Câu 20: Cho hình vẽ dưới đây với 
là góc nhọn. Chọn câu đúng
Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔMIN ta có: MN < MI+IN (1)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔEIF ta có: EF < IF+IE (2)
Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:
Đáp án cần chọn là: A
Câu 21: Cho tam giác ABC điểm M nằm trong tam giác. Chọn câu đúng
Lời giải:
Kéo dài BM cắt AC tại E
Xét tam giác BEC có BE < EC + BC và xét tam giác AME có MA < ME + EA (quan hệ giữa các cạnh trong tam giác)
Suy ra MA + MB < ME + MB + EA < BE + EA < EC + BC + EA mà EC + EA = AC
Vậy MA + MB < AC + BC
Đáp án cần chọn là: A
Câu 22: Cho tam giác ABC điểm M nằm trong tam giác. Chọn câu đúng
Lời giải:
Nối các đoạn thẳng MA, MB, MC
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔAMB ta được: MA+MB>AB (1)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔBMC ta được: MB+MC>BC (2)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào ΔCMA ta được: MC+MA>CA (3)
Cộng (1),(2),(3) theo vế với vế ta được:
Đáp án cần chọn là: C
Câu 23: Chọn câu đúng. Trong một tam giác:
A. độ dài một cạnh luôn lớn hơn nửa chu vi
B. độ dài một cạnh luôn bằng nửa chu vi
C. độ dài một cạnh luôn lớn hơn chu vi
D. độ dài một cạnh luôn nhỏ hơn nửa chu vi
Lời giải:
Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là a, b, c. Nửa chu vi tam giác là
Đáp án cần chọn là: D
Câu 24: Cho tam giác ABC, điểm M nằm trong tam giác. So sánh tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh a, b, c với chu vi tam giác ABC
A. Tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh a, b, c luôn lớn hơn chu vi tam giác ABC
B. Tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh a, b, c luôn bằng chu vi tam giác ABC
C. Tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh a, b, c luôn nhỏ hơn chu vi tam giác ABC
D. Tổng khoảng cách từ M đến ba đỉnh a, b, c luôn lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC
Lời giải:
Nối các đoạn thẳng MA, MB, MC
Nối các đoạn thẳng MA, MB, MC
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào 
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào 
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào 
Cộng (1),(2),(3) theo vế với vế ta được:
Đáp án cần chọn là: D
Câu 25: Cho ΔABC, trên BC lấy điểm M bất kì nằm giữa B và C. So sánh AB + AC - BC và 2.AM
Lời giải:
Xét ΔAMB có: AM < AB - BM (bất đẳng thức tam giác)
Xét ΔAMC có: AM < AC - CM (bất đẳng thức tam giác)
Vì M nằm giữa B và C (gt) ⇒ BC = BM + MC
Cộng theo từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:
2AM < AB + AC - (BM + MC) ⇒ 2AM < AB + AC - BC
Đáp án cần chọn là: D
Câu 26: Cho ΔABC, trên BC lấy điểm M bất kì nằm giữa B và C. So sánh AB + AC + BC và 2AM
Lời giải:
Xét ΔAMB có: AM < AB - BM (bất đẳng thức tam giác) (1)
Xét ΔAMC có: AM < AC - CM (bất đẳng thức tam giác) (2)
Vì M nằm giữa B và C (gt) ⇒ BC = BM + MC
Cộng (1) và (2) theo từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:
Đáp án cần chọn là: D
Câu 27: Cho tam giác ABC có AB > AC. Điểm M là trung điểm của BC. Chọn câu đúng
Lời giải:
Trên tia đối của tia MA ta lấy điểm A' sao cho MA = MA'
Xét ΔACA' có: A'C - AC < AA' < A'C + AC (bất đẳng thức tam giác)
Mà AB = A'C (cmt); AA' = 2AM (theo cách vẽ) nên ta có:
Đáp án cần chọn là: C
Câu 28: Cho tam giác ABC có hai đường vuông góc BE, CF. So sánh EF và BC
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC
Xét ΔBCE vuông tại E, M là trung điểm BC nên 
Xét ΔBCF vuông tại F, M là trung điểm BC nên 
Ba điểm M, E, F nằm trên cạnh của tam giác ABC nên không thể thẳng hàng do đó ba điểm M, E, F tạo thành một tam giác
Xét ΔMEF có: ME + MF > EF (bất đẳng thức tam giác) (2)
Từ (1) và (2) suy ra BC > EF
Đáp án cần chọn là: A
Câu 29: Cho ΔABC có M là trung điểm BC. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A. AM bằng nửa chu vi của tam giác ABC
B. AM nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC
C. AM lớn hơn chu vi của tam giác ABC
D. AM lớn hơn nửa chu vi của tam giác ABC
Lời giải:
Cộng (1) và (2) theo từng vế của hai bất đẳng thức trên ta được:
Do đó AM nhỏ hơn nửa chu vi của tam giác ABC
Đáp án cần chọn là: B
Bài viết liên quan
- Toán học 7 Bài 51: Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác
- Toán học 7 Bài 52: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên, đường xiên và hình chiếu
- Toán học 7 Bài 54: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác
- Toán học 7 Bài 55: Tính chất tia phân giác của một góc
- Toán học 7 Bài 56: Tính chất ba đường phân giác của tam giác
