Toán học 7 Bài 49: Nghiệm của đa thức một biến
Lý thuyết tổng hợp Toán học lớp 7 Bài 49: Nghiệm của đa thức một biến, chọn lọc năm 2021 – 2022 mới nhất gồm tóm tắt lý thuyết và hơn 500 bài tập ôn luyện Toán 7. Hy vọng bộ tổng hợp lý thuyết Toán học lớp 7 sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, ôn tập và đạt điểm cao trong các bài thi trắc nghiệm môn Toán học 7.
Bài 49: Nghiệm của đa thức một biến
A. Lý thuyết
1. Nghiệm của đa thức một biến
Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0 thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức đó.
Ví dụ 1: Kiểm tra xem mỗi số 1; 2; -1 có phải là một nghiệm của đa thức f(x) = x2 - 3x + 2 hay không?
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 2: Cho đa thức f(x) = x3 + 2x2 + ax + 1
Tìm a biết rằng đa thức f(x) có một nghiệm x = -2
Hướng dẫn giải:
2. Chú ý:
+ Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,… hoặc không có nghiệm.
+ Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức không) không vượt quá bậc của nó. Chẳng hạn: đa thức bậc nhất chỉ có một nghiệm, đa thức bậc hai không quá hai nghiệm,…
Ví dụ: Tìm nghiệm của đa thức P(x) = 2y + 6
Từ 2y + 6 = 0 ⇒ 2y = -6 ⇒ y = -6/2 = -3
Vậy nghiệm của đa thức P(x) là -3.
Ví dụ 2: Giả sử a, b, c là các hằng số sao cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng đa thức f(x) = ax2 + bx + c có một nghiệm là x = 1 . Áp dụng để tìm một nghiệm của đa thức f(x) = 8x2 - 6x - 2.
Hướng dẫn giải:
3. Bài tập vận dụng
Bài 1: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm
a) P(x) = x2 + 1 b) Q(y) = 2y4 + 5
Hướng dẫn giải:
a) Vì x2 ≥ 0 nên x2 + 1 ≥ 1
Do đó: P(x) = x2 + 1 > 0 nên đa thức P(x) vô nghiệm.
b) Vì y4 ≥ 0 nên 2y4 + 5 > 0
Do đó: Q(y) = 2y4 + 5 > 0 nên đa thức Q(x) vô nghiệm.
Bài 2: Tìm nghiệm của đa thức
a) x2 - 2003x - 2004 = 0
b) 2005x2 - 2004x - 1 = 0
Hướng dẫn giải:
a) Đa thức x2 - 2003x - 2004 = 0 có hệ số a = 1, b = -2003, c = -2004
Khi đó ta có: a - b + c = 1 - (-2003) + (-2004) = 0
Nên đa thức x2 - 2003x - 2004 = 0 có nghiệm x = -1
b) Đa thức 2005x2 - 2004x - 1 = 0 có hệ số a = 2005, b = -2004, c = -1
Khi đó ta có: a + b + c = 2005 - 2004 - 1 = 0
Nên đa thức 2005x2 - 2004x - 1 = 0 có nghiệm x = 1.
B. Bài Tập
Câu 1: Cho đa thức sau f(x) = 2x2 + 12x + 10. Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đã cho:
A. -9
B. 1
C. -1
D. -4
Lời giải:
f(-9) = 2.92 + 12.9+10=64 ≠ 0 ⇒ x = -9 không là nghiệm của f(x)
f(1) = 2.12 + 12.1+10=24 ≠ 0 ⇒ x = 1 không là nghiệm của f(x)
f(-1) = 2.12 + 12.(-1)+10 = 0 ⇒ x = -1 là nghiệm của f(x)
f(-4) = 2.(-4)2 + 12.(-4)+10=-6 ≠ 0 ⇒ x = -4 không là nghiệm của f(x)
Đáp án cần chọn là: C
Câu 2: Cho đa thức sau f(x) = 2x2 + 5x + 2. Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đã cho:
A. 2
B. 1
C. -1
D. -2
Lời giải:
f(2) = 2.22 + 5.2 + 2 = 20 ≠ 0 ⇒ x = 2 không là nghiệm của f(x)
f(1) = 2.12 + 5.1 + 2 = 9 ≠ 0 ⇒ x = 1 không là nghiệm của f(x)
f(-1) = 2.(-1)2 + 5.(-1) + 2 = -1 ≠ 0 ⇒ x = -1 không là nghiệm của f(x)
f(-2) = 2.(-2)2 + 5.(-2) + 2 = 0 ⇒ x = -2 là nghiệm của f(x)
Đáp án cần chọn là: D
Câu 3: Cho các giá trị của x là 0;-1;1;2;-2. Gía trị nào của x là nghiệm của đa thức P(x) = x2 + x - 2
A. x = 1; x = -2
B. x = 0; x = -1; x = -2
C. x = 1; x = 2
D. x = 1; x = -2; x = 2
Lời giải:
P(0) = (0)2 + 1.0-2=-1 ≠ 0 ⇒ x = 0 không là nghiệm của P(x)
P(-1) = (-1)2 + 1.(-1)-2=-2 ≠ 0 ⇒ x = -1 không là nghiệm của P(x)
P(1) = 12 + 1.1-2 = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm của P(x)
P(2) = 22 + 1.2-2=4 ≠ 0 ⇒ x = 2 không là nghiệm của P(x)
P(-2) = (-2)2 + 1.(-2)-2 = 0 ⇒ x = -2 là nghiệm của P(x)
Vậy x = 1;x = -2 là nghiệm của P(x)
Đáp án cần chọn là: A
Câu 4: Cho các giá trị của x là 
. Gía trị nào của x là nghiệm của đa thức P(x) = 3x2 - 10x+7
Lời giải:
P(0) = 3.02 - 10.0+7=7 ≠ 0 ⇒ x = 0 không là nghiệm của P(x)
P(-1) = 3.(-1)2 - 10.(-1)+7=20 ≠ 0 ⇒ x = -1 không là nghiệm của P(x)
P(1) = 3.(1)2 - 10.(1)+7 = 0 ⇒ x = 1 là nghiệm của P(x)
không là nghiệm của P(x)
Vậy x = 1 là nghiệm của P(x)
Đáp án cần chọn là: A
Câu 5: Tập nghiệm của đa thức f(x) = (x + 14)(x-4) là:
A. {4;14}
B. {-4;14}
C. {-4; -14}
D. {4; -14}
Lời giải:
Vậy tập nghiệm của đa thức f(x) là {4; -14}
Đáp án cần chọn là: D
Câu 6: Tập nghiệm của đa thức f(x) = (2x - 16)(x+6) là:
Lời giải:
Vậy tập nghiệm của đa thức f(x) là {8;-6}
Đáp án cần chọn là: D
Câu 7: Cho đa thức sau: f(x) = x2 + 5x - 6. Các nghiệm của đa thức đã cho:
A. 2 và 3
B. 1 và -6
C. -3 và -6
D. -3 và 8
Lời giải:
Vậy nghiệm của đa thức f(x) là 1 và -6
Đáp án cần chọn là: B
Câu 8: Cho đa thức sau: f(x) = x2 - 10x+9. Các nghiệm của đa thức đã cho:
A. 4 và 6
B. 1 và 9
C. -3 và -7
D. 2 và 8
Lời giải:
Vậy nghiệm của đa thức f(x) là 1 và 9
Đáp án cần chọn là: B
Câu 9: Tổng các nghiệm của đa thức x2 - 16 là:
A. -16
B. 8
C. 4
D. 0
Lời giải:
Vậy =4;x = -4 là nghiệm của đa thức x2 - 16
Tổng các nghiệm là 4 + (-4) = 0
Đáp án cần chọn là: D
Câu 10: Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của đa thức 2x2 - 18 là:
A. 6
B. 18
C. -6
D. 0
Lời giải:
Ta có:
Vậy x = 3;x = -3 là nghiệm của đa thức 2x2 - 18
Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của đa thức 2x2 - 18 là 3-(-3) = 6
Đáp án cần chọn là: A
Câu 11: Số nghiệm của đa thức x3 + 27
A. 1
B. 2
C. 0
D. 3
Lời giải:
Ta có: x3 + 27 = 0 ⇒ x3 = -27 ⇒ x3 = (-3)3 ⇒ x = -3
Vậy đa thức đã cho có một nghiệm là x = -3
Đáp án cần chọn là: A
Câu 12: Số nghiệm của đa thức x3 - 64 là:
A. 1
B. 2
C. 4
D. 3
Lời giải:
Ta có: x3 - 64 = 0 ⇒ x3 = 64 ⇒ x3 = 43 ⇒ x = 4
Vậy đa thức đã cho có một nghiệm là x = 4
Đáp án cần chọn là: A
Câu 13: Tích các nghiệm của đa thức 5x2 - 10x là
A. -2
B. 2
C. 0
D. 4
Lời giải:
Vậy đa thức 5x2 - 10 có hai nghiệm x = 0 hoặc x = -2
Tích các nghiệm là 0.(-2) = 0
Đáp án cần chọn là: C
Câu 14: Tích các nghiệm của đa thức 6x3 - 18x2 là:
A. -3
B. 3
C. 0
D. 9
Lời giải:
Vậy đa thức 6x3 - 18x2 có hai nghiệm x = 0 hoặc x = 3
Tích các nghiệm của đa thức 6x3 - 18x2 là 0.3 = 0
Đáp án cần chọn là: C
Câu 15: Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c. Chọn câu đúng?
A. Nếu a + b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1
B. Nếu a - b + c = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1
C. Cả A và B đều đúng
D. Cả A và B đều sai
Lời giải:
+ Với a + b + c = 0 thay x = 1 vào f(x) ta được
f(1) = a.12 + b.1 + c = a + b + c ⇒ f(1) = 0
Nên x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)
+ Với a - b + c = 0 thay x = -1 vào f(x) ta được
f(-1) = a.(-1)2 + b.(-1)+c = a - b + C ⇒ f(-1) = 0
Nên x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x)
Vậy cả A, B đều đúng
Đáp án cần chọn là: C
Câu 16: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx+d. Chọn câu đúng?
A. Nếu a + b + c + d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = 1
B. Nếu a - b + c - d = 0 thì đa thức f(x) có một nghiệm x = -1
C. Cả A và B đều đúng
D. Cả A và B đều sai
Lời giải:
+ Với a + b + c + d = 0 thay x = 1 vào f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ta được
f(1) = a.13 + b.12 + c.1+d = a + b + c + d ⇒ f(1) = 0
Vậy x = 1 là một nghiệm của đa thức f(x)
+ Với a - b + c - d = 0 thay x = -1 vào f(x) = ax3 + bx2 + cx + d ta được
f(-1) = a.(-1)3 + b.(-1)2 + c.(-1)+d = -a + b - c + d = -(a-b + c-d) = 0 ⇒ f(-1) = 0
Nên x = -1 là một nghiệm của đa thức f(x)
Vậy cả A, B đều đúng
Đáp án cần chọn là: C
Câu 17: Cho P(x) = x2 - 6x + a. Tìm a để P(x) nhận -1 là nghiệm
A. a = 1
B. a = -7
C. a = 7
D. a = 6
Lời giải:
P(x) nhận -1 là nghiệm nên P(-1) = 0
Vậy P(x) nhận -1 là nghiệm thì a = -7
Đáp án cần chọn là: B
Câu 18: Cho Q(x) = ax2 - 2x - 3. Tìm a để Q(x) nhận 1 là nghiệm
A. a = 1
B. a = -5
C. a = 5
D. a = -1
Lời giải:
Q(x) nhận 1 là nghiệm thì Q(1) = 0
⇒ a.12 - 2.1-3 = 0 ⇒ a-5 = 0 ⇒ a = 5
Vậy để Q(x) nhận 1 là nghiệm thì a = 5
Đáp án cần chọn là: C
Câu 19: Đa thức f(x) = x2 - x + 1 có bao nhiêu nghiệm ?
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
Lời giải:
+ Xét x < 0 khi đó x - 1 < 0 nên x(x-1) > 0 do đó x2 - x + 1 > 0
Hay f(x) > 0
+ Xét 0 ≤ x < 1 khi đó x2> 0 và 1 - x > 0 do đó
x2 + (1-x) = x2 - x + 1>0nên f(x) > 0
+ Xét x ≥ 1thì x > 0 và x(x-1) ≥ 0 suy ra x2 - x + 1>0 hay f(x) > 0
Vậy f(x) > 0 với mọi x nên f(x) vô nghiệm
Đáp án cần chọn là: B
Câu 20: Đa thức f(x) = 2x2 - 2x + 3 có bao nhiêu nghiệm ?
A. 1
B. 0
C. 2
D. 3
Lời giải:
Ta có:
f(x) = 2x2 - 2x + 3=x2 + x2 - x-x + 1 + 2
= x2 + (x2 - x) - (x-1) + 2 = x2 + x(x-1) - (x-1) + 2
= x2 + (x-1)(x-1) + 2 = x2 + (x-1)2 + 2
Với mọi x ta có : x2 ≥ 0;(x-1)2 ≥ 0
Mặt khác 2 > 0 nên x2 + (x-1)2 + 2>0 với mọi x hay f(x) > 0 với mọi x
Do đó f(x) không có nghiệm
Đáp án cần chọn là: B
Câu 21: Biết (x-1)f(x) = (x + 4)f(x+8). Khi đó đa thức f(x) có ít nhất là bao nhiêu nghiệm?
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
Lời giải:
Vì (x-1)f(x) = (x + 4)f(x+8) với mọi x nên suy ra:
+ Khi x - 1 = 0, hay x = 1 thì ta có:
(1-1)f(1) = (1+4)f(1+8) ⇒ 0f(1) = 5.f(9) ⇒ f(9) = 0
Vậy x = 9 là một nghiệm của f(x)
+ Khi x + 4 = 0 hay x = -4 ta có:
(-4-1)f(-4) = (-4+4)f(-4+8) ⇒ -5.f(-4) = 0.f(4) ⇒ f(-4) = 0
Vậy x = -4 là một nghiệm của f(x)
Vậy f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 9 và -4
Đáp án cần chọn là: A
Câu 22: Biết x.f(x + 1) = (x + 3).f(x). Khi đó đa thức f(x) có ít nhất là bao nhiêu nghiệm?
A. 2
B. 1
C. 3
D. 4
Lời giải:
Ta có: x.f(x + 1) = (x + 3).f(x) với mọi x
+ Khi x = 0 ta có:
0.f(0+1) = (0 + 3).f(0) ⇒ 0.f(1) = 3.f(0) ⇒ f(0) = 0
Vậy x = 0 là một nghiệm của f(x)
+ Khi x + 3 = 0 hay x = -3 ta có:
(-3).f(-3+1) = (-3 + 3).f(-3) ⇒ (-3).f(-2) = 0.f(-3) ⇒ f(-2) = 0
Vậy x = -2 là một nghiệm của f(x)
Vậy f(x) có ít nhất 2 nghiệm là 0 và -2
Đáp án cần chọn là: A
Câu 23: Nghiệm của đa thức P(x) = 2(x - 3)2 - 8 là
A. x = 0
B. x = 5; x = -1
C. Không tồn tại
D. x = 5; x = 1
Lời giải:
Vậy đa thức P(x) có hai nghiệm x = 5; x = 1
Đáp án cần chọn là: D
Câu 24: Nghiệm của đa thức P(x) = 3(2x+5)2 - 48 là
Lời giải:
Đáp án cần chọn là: D
Câu 25: Số nghiệm của đa thức g(x) = (3x + 4)4 - 81 là
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Lời giải:
Đáp án cần chọn là: C
Câu 26: Thu gọn rồi tìm nghiệm của đa thức sau: f(x) = x(1-2x) + 2x2 - x + 4
A. f(x) = 4x2 + 4 ; f(x) không có nghiệm
B. f(x) = -2x + 4 ; f(x) có nghiệm là x = 2
C. f(x) = 4 ; f(x) không có nghiệm
D. f(x) = 4 ; f(x) có nghiệm là x = 4
Lời giải:
Vì f(x) = 4 > 0 với mọi x nên f(x) không có nghiệm
Đáp án cần chọn là: C
Câu 27: Tìm đa thức f(x) rồi tìm của đa thức f(x) biết nhanh:
x3 + 2x2 (4y-1)-4xy2 - 9y3 - f(x) = -5x3 + 8x2y - 4xy2 - 9y3
A. f(x) = - 4x3 - 2x2 ; f(x) có nghiệm là 
B. f(x) = 6x3 - 3x2 ; f(x) có nghiệm là 
C. f(x) = 4x3 + 3x2 ; f(x) có nghiệm 
D. f(x) = -6x3 + 2x2 ; f(x) có nghiệm là 
Lời giải:
Ta có:
x3 + 2x2 (4y-1)-4xy2 - 9y3 - f(x) = -5x3 + 8x2y - 4xy2 - 9y3
⇒ f(x) = [x3 + 2x2 (4y-1)-4xy2 - 9y3]-(-5x3 + 8x2y - 4xy2 - 9y3)
= x3 + 8x2y - 2x2 - 4xy2 - 9y3 + 5x3 - 8x2y + 4xy2 + 9y3
= (x3 + 5x3) + (8x2y-8x2y) - 2x2 + (-4xy2 + 4xy2) + (-9y3 + 9y3)
= 6x3 - 2x2
Đáp án cần chọn là: B
Câu 28: Cho f(x) = 2x2 (x-1)-5(x + 2)-2x(x - 2); g(x) = x2 (2x - 3)-x(x + 1) - (3x - 2)
28.1: Thu gọn f(x); g(x) theo lũy thừa giảm dần của biến
A. f(x) = 2x3 - 2x2 - 3x - 10; g(x) = 2x3 - 4x2 - 4x + 2
B. f(x) = 2x3 - 4x2 - x - 10; g(x) = 2x3 - 4x2 - 4x + 2
C. f(x) = 2x3 + 4x2 - x - 10; g(x) = 2x3 + 2x2 - 4x + 2
D. f(x) = 2x3 - 4x2 - x - 10; g(x) = 2x3 + 2x2 + 4x + 2
Lời giải:
Ta có:
f(x) = 2x2 (x-1)-5(x + 2)-2x(x - 2)
= (2x3 - 2x2) - (5x + 10) - (2x2 - 4x)
= 2x3 - 2x2 - 5x - 10 - 2x2 + 4x
= 2x3 + ( - 2x2 - 2x2) + (-5x-4x)-10
= 2x3 - 4x2 - 9x - 10
g(x) = x2 (2x - 3)-x(x + 1) - (3x - 2)
= (2x3 - 3x2) - (x2 + x) - (3x - 2)
= 2x3 - 3x2 - x2 - x - 3x + 2
= 2x3 - (3x2 + x2) + (-x - 3x) + 2
= 2x3 - 4x2 - 4x + 2
Sắp xếp f(x); g(x) theo lũy thừa giảm dần của biến ta được
f(x) = 2x3 - 4x2 - x - 10; g(x) = 2x3 - 4x2 - 4x + 2
Đáp án cần chọn là: B
Lời giải:
Theo câu trước ta có:
f(x) = 2x3 - 4x2 - x - 10; g(x) = 2x3 - 4x2 - 4x + 2
Khi đó:
h(x) = f(x) - g(x)
= 2x3 - 4x2 - x - 10-(2x3 - 4x2 - 4x + 2)
= 2x3 - 4x2 - x - 10 - 2x3 + 4x2 + 4x - 2
= (2x3 - 2x3) + ( - 4x2 + 4x2) + (-x + 4x) + (-10-2)
= 3x-12
Đáp án cần chọn là: A
28.3 : Tính nghiệm của h(x) biết h(x) = f(x) - g(x)
Lời giải:
Theo câu trước ta có: h(x) = 3x - 12
Khi đó h(x) = 0 ⇒ 3x - 12 = 0 ⇒ 3x = 12 ⇒ x = 4
Vậy nghiệm của h(x) là x = 4
Đáp án cần chọn là: D
