Bài 47: Đa thức một biến

A. Lý thuyết

1. Đa thức một biến

   • Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.

   • Một số được coi là một đa thức một biến.

   • Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Ví dụ 1: Đa thức 5x⁵ + 4x³ - 2x² + x là đa thức một biến (biến x); bậc của đa thức là 5.

Ví dụ 2: Cho đa thức sau: 5x⁷ - 7x⁶ + 5x⁵ - 4x⁴ + 7x⁶ - 3x² + 1 - 5x⁷ - 3x⁵

Bậc của đa thức đã cho là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Thu gọn đa thức ta được:

Đa thức đã cho có bậc là 5.

2. Sắp xếp một đa thức một biến

Để thuận lợi cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, người ta thường sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

Ví dụ 1: Đối với đa thức P(x) = 6x + 3 - 6x² + x³ + 2x⁴

   + Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa giảm của biến, ta được:

P(x) = 2x⁴ + x³ - 6x² + 6x + 3

   + Khi sắp xếp các hạng tử của nó theo lũy thừa tăng của biến, ta được:

P(x) = 3 + 6x - 6x² + x³ + 2x⁴

Nhận xét:

Mọi đa thức bậc 2 của biến x, sau khi đã sắp xếp các hạng tử của chúng theo lũy thừa giảm của biến, đều có dạng: ax² + bx + c

Trong đó a,b,c là các số cho trước và a ≠ 0.

Chú ý:

   + Để sắp xếp các hạng tử của một đa thức, trước hết ta phải thu gọn đa thức đó.

   + Những chữ đại diện cho các số xác định cho trước được gọi là hằng số.

Ví dụ 2: Cho đa thức P(x) = 2 + 5x² - 3x³ + 4x - 2x - x³ + 6x⁵. Thu gọn và sắp xếp đa thức

P(x) = 2 + 5x² - 3x³ + 4x² - 2x - x³ + 6x⁵ = 6x⁵ + (-3x³ - x³) + (5x² + 4x²) - 2x + 2 = 6x⁵ - 4x³ + 9x² - 2x + 2

3. Hệ số

Hệ số của lũy thừa bậc 0 của biến gọi là hệ số tự do; hệ số của lũy thừa cao nhất của biến gọi là hệ số cao nhất.

Ví dụ: Các hệ số của đa thức 6x⁵ - x⁴ + 5x² - x + 2 là 6; -1; 5; -1; 2

Hệ số tự do là: 2

Hệ số cao nhất là: 6

4. Bài tập vận dụng

Bài 1: Thu gọn các đa thức sau và sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến

a) 2x³ - x⁵ + 3x⁴ + x² - (1/2)x³ + 3x⁵ - 2x² - x⁴ + 1

b) x⁷ - 3x⁴ + 2x³ - x² - x⁴ - x + x⁷ - x³ + 5

Hướng dẫn giải:

Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) x + x² + x³ + x⁴ + .... + x⁹⁹ + x¹⁰⁰ tại x = -1

b) x² + x⁴ + x⁶ + .... + x⁹⁸ + x¹⁰⁰ tại x = -1

Hướng dẫn giải:

B. Bài Tập

Câu 1: Đa thức nào dưới đây là đa thức một biến

Câu 2: Đa thức nào dưới đây là đa thức một biến

Câu 3: Sắp xếp đa thức 6x³ + 5x⁴ - 8x⁶ - 3x² + 4 theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:

Câu 4: Sắp xếp đa thức 1-7x⁷ + 5x⁴ - 3x⁵ + 9x⁶ theo lũy thừa giảm dần của biến ta được:

Câu 5: Sắp xếp đa thức 7x¹² - 8x¹⁰ + x¹¹ - x⁵ + 6x⁶ + x-10 theo lũy thừa tăng dần của biến ta được:

Câu 6: Sắp xếp đa thức -y⁴ + y⁷ - 3y² + 8y⁵ - y theo lũy thừa tăng dần của biến ta được:

Câu 7: Cho a, b, c là hằng số, hệ số tự do của đa thức x² + (A + B)x - 5a + 3b + 2 là

Câu 8: Cho a, b là hằng số, hệ số tự do của đa thức x³ - 7(a+1)x² - a² + b² - ab + 3 là

A. a² + b² - ab + 3

B. -a² + b² - ab + 3

C. 3

D. -ab + 3

Câu 9: Hệ số cao nhất của đa thức 5x⁶ + 6x⁵ + x⁴ - 3x² + 7

A. 6

B. 7

C. 4

D. 5

Câu 10: Hệ số cao nhất của đa thức -7x⁵ - 9x² + x⁶ - x⁴ + 10

A. -7

B. -1

C. 10

D. 1

Câu 11:Cho đa thức A = x⁴ - 4x³ + x-3x² + 1. Tính giá trị của A tại x = -2

A. A = -35

B. A = 53

C. A = 33

D. A = 35

Câu 12: Cho đa thức -3x² + 5x⁶ - 7x. Tính giá trị của A tại x = -1

A. A = -9

B. A = -15

C. A = -5

D. A = 9

Câu 13: Cho hai đa thức f(x) = x⁵ + 2 và g(x) = 5x³ - 4x+2

13.1: So sánh f(0) và g(1)

 13.2: Chọn câu đúng về f (-2) và g(-2)

Câu 14: Cho hai đa thức f(x) = 3x⁴ - 1 và g(x) = 5x⁴ - 3x³ + 2x

14.1: Chọn câu đúng về f(2) và g(2)  

14.2: So sánh f(0) và g(0)

Câu 15: Cho f(x) = 1 + x³ + x⁵ + x⁷ + ... +x¹⁰1. Tính f(1); f(-1)

Câu 16: Cho f(x) = 1 + x² + x⁴ + x⁶ + ... + x²020. Tính f(1); f(-1)

Câu 17: Bậc của đa thức 8x⁸ - x² + x⁹ + x⁵ - 12x³ + 10 là

A. 10

B. 8

C. 9

D. 7

Câu 18: Bậc của đa thức 9x² + x⁷ - x⁵ + 1 là:

A. 14

B. 9

C. 5

D. 7

Câu 19: Tính đa thức f(x) = ax+b. Biết f(0) = 7;f(2) = 13

Câu 20: Tính đa thức f(x) = ax+b. Biết f(0) = 4;f(3) = 12

Câu 21: Tính đa thức f(x) = ax+b. Biết 

Câu 22: Tính đa thức f(x) = ax+b. Biết f(2) = 4;f(1) = 3

Câu 23: Cho hai đa thức f(x) = 3x³ + 2ax² + ax - 5 và g(x) = x² + 3ax-4. Tìm a để f(1) = g(-1)

Câu 24: Cho hai đa thức f(x) = 4x⁴ - 2ax² + (a+1)x+2 và g(x) = 2ax+5. Tìm a để f(1) = g(2)

Câu 25: Xác định hệ số a của đa thức Q(x) = 3ax+5 biết Q(-1) = 3

Câu 26: Cho f(x) = ax³ + 4x(x² - 1)+8; g(x) = x³ - 4x(bx + 1)+x-5 với a, b, c là hằng số. Xác định a, b, c để f(x) = g(x)

Câu 27: Tìm a biết rằng đa thức (a+1)x⁴ - 4x³ + x⁴ - 3x² + x có bậc là 3

A. a = -2

B. a = -1

C. a = 1

D. a = 2

Câu 28: Tìm a,b biết rằng đa thức x³ + x² - x + (2a - 3)x⁵ - 3b - 1 có hệ số cao nhất là 3 và hệ số tự do bằng 8

Câu 29: Cho P(x) = 100x¹⁰⁰ + 99x⁹⁹ + 98x⁹⁸ + ... + 2x² + x. Tính P(-1)

A. P(-1) = -50

B. P(-1) = 100

C. P(-1) = 50

D. P(-1) = 5050

Câu 30: Cho f(x) = x⁹⁹ - 101x⁹⁸ + 101x⁹⁷ - 101x⁹⁶ + ... +101x - 1. Tính f(100)

A. f(100) = -1

B. f(100) = 99

C. f(100) = -99

D. f(100) = 100