Toán học 7 Bài 31: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (g.c.g)
Lý thuyết tổng hợp Toán học lớp 7 Bài 31: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (g.c.g), chọn lọc năm 2021 – 2022 mới nhất gồm tóm tắt lý thuyết và hơn 500 bài tập ôn luyện Toán 7. Hy vọng bộ tổng hợp lý thuyết Toán học lớp 7 sẽ giúp học sinh củng cố kiến thức, ôn tập và đạt điểm cao trong các bài thi trắc nghiệm môn Toán học 7.
Bài 31: Trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác: góc - cạnh - góc (g.c.g)
A. Lý thuyết
1. Vẽ tam giác biết một cạnh và hai góc kề
Bài toán: Vẽ tam giác ABC biết BC = 4cm, ∠B = 60o, ∠C = 40o
• Vẽ đoạn thẳng BC = 4cm.
• Trên cùng một nửa mặt phẳng phẳng bờ BC, vẽ các tia Bx và Cy sao cho ∠CBx = 60o, ∠BCy = 40o.
Hai tia trên cắt nhau tại A, ta được tam giác ABC.
Lưu ý: Ta gọi góc B và góc C là hai góc kề cạnh BC. Khi nói một cạnh và hai góc kề, ta hiểu hai góc này là hai góc ở vị trí kề cạnh đó.
2. Trường hợp bằng nhau góc – cạnh – góc
Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.
ΔABC và ΔA'B'C' có:
3. Hệ quả
• Hệ quả 1: Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
• Hệ quả 2: Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.
Ví dụ:
4. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho ΔABC có ∠B = ∠C. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Tia phân giác của góc C cắt AB tại E. So sánh độ dài đoạn thẳng BD và CE.
Hướng dẫn giải:
Bài 2: Cho tam giác ABC (AB = AC) và I là trung điểm của đáy BC. Dựng tia Cx song song với tia BA sao cho hai tia BA và Cx nằm trong hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là đường thẳng BC. Lấy một điểm D nào đó trên AB. Gọi E là một điểm nằm trên tia Cx sao cho BD = CE. Chứng minh rằng ba điểm D, I, E thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
Xét hai tam giác BID và CIE ta có:
BI = IC (I là trung điểm của BC)
∠IBD = ∠ICE (Cx // AB, ∠IBD; ∠ICE hai góc so le trong)
BD = CE (gt)
⇒ ΔBID = ΔCIE (c-g-c)
Nên ∠BID = ∠CIE (hai góc tương ứng bằng nhau)
Hai góc này bằng nhau, chiếm vị trí đối đỉnh, có hai cạnh tương ứng BI và CI nằm trên một đường thẳng.
Vậy D, I, E thẳng hàng
B. Bài Tập
Câu 1: Cho tam giác ABC và tam giác NPM có 
. Cần thêm một điều kiện gì để tam giác MPN và tam giác CBA bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh- góc?
Lời giải:
Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác ta thấy cần thêm một điều kiện về góc kề cạnh đó 
Đáp án cần chọn là: C
Câu 2: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có 
. Cần thêm một điều kiện gì để tam giác ABC và tam giác DFE bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh- góc?
Lời giải:
Áp dụng trường hợp bằng nhau thứ ba của tam giác ta thấy cần thêm một điều kiện về góc kề cạnh đó 
Đáp án cần chọn là: C
Câu 3: Cho tam giác ABC và MNP có 
. Cần thêm một điều kiện gì để tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh- góc?
Lời giải:
Ta thấy hai tam giác ABC và MNP có hai yếu tố về góc
Để tam giác ABC và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh- góc thì cần thêm điều kiện về cạnh kề hai góc đã cho đó là AB = MN
Đáp án cần chọn là: B
Câu 4: Cho tam giác IKQ và MNP có 
. Cần thêm một điều kiện gì để tam giác IKQ và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh- góc?
Lời giải:
Ta thấy hai tam giác IQK và MNP có hai yếu tố về góc
Để tam giác IQK và tam giác MNP bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh- góc thì cần thêm điều kiện về cạnh kề hai góc đã cho đó là IK = MP
Đáp án cần chọn là: B
Câu 5: Cho tam giác ABC và MNP có 
. Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây đúng:
Lời giải:
Đáp án cần chọn là: D
Câu 6: Cho tam giác PQR và tam giác DEF có: 
. Phát biểu nào trong các phát biểu sau đây đúng:
Lời giải:
Xét tam giác PQR và tam giác DEF có
Đáp án cần chọn là: D
Câu 7: Cho góc nhọn xOy, Oz là tia phân giác của góc đó. Qua điểm A thuộc tia Ox kẻ đường thẳng song song với Oy cắt Oz ở M. Qua M kẻ đường thẳng song song với Ox cắt Oy ở B. Chọn câu đúng
Lời giải:
Đáp án cần chọn là: B
Câu 8:Cho góc xOy có tia phân giác Oz. Trên Oz lấy điểm E, vẽ đường thẳng qua E vuông góc với Ox tại K, cắt Oy tại N. Vẽ đường thẳng qua E vuông góc với Oy tại H cắt Ox tại M. Chọn câu đúng
Lời giải:
Đáp án cần chọn là: D
Câu 9: Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax; By vuông góc với AB. Gọi C là một điểm thuộc D. Khi đó:
Lời giải:
Xét tam giác AOC và tam giác BOK có:
Xét tam giác DOC và tam giác DOK có:
Ta có: DK = DB + BK mà CD = DK (cmt) nên CD = AC + BD
Đáp án cần chọn là: D
Câu 10: Cho đoạn thẳng AB, O là trung điểm AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tia Ax; By vuông góc với AB. Gọi C là một điểm thuộc D. Tính DC biết AC = 5cm; BD = 2cm
Lời giải:
Ta có: K = DB + BK mà CD = DK (cmt) nên CD = AC + BD = 5 + 2 = 7cm
Vậy CD = 7cm
Đáp án cần chọn là: A
Câu 11: Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên cạnh AB và AC lấy các điểm D,E sao cho AD = AE. Gọi K là giao điểm BE và DC. Chọn câu sai:
Lời giải:
Xét tam giác ABE và tam giác ACD có:
(hai góc tương ứng) và BE = CD (hai cạnh tương ứng) nên A đúng
Lại có: 
(hai góc kề bù)
Xét tam giác KBD và tam giác KCE có:
⇒ KB = KC; KD = KE (hai cạnh tương ứng) nên B đúng, D sai
Đáp án cần chọn là: D
Câu 12: Cho tam giác ABC có AB < AC. Tia phân giác của góc A cắt BC ở K. Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AK cắt H tại AC ở D. Chọn câu sai
Lời giải:
⇒ ΔAHB = ΔAHD(g.c.g) ⇒ HB = HD; AB = AD (hai cạnh tương ứng); 
(hai góc tương ứng)
Đáp án cần chọn là: B
Câu 14: Cho tam giác DEF và tam giác HKG có 
. Số đo góc H là:
Lời giải:
Xét tam giác DEF và tam giác HKG có
Đáp án cần chọn là: B
Câu 15: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có 
. Biết AC = 6cm. Độ dài DF là:
Lời giải:
Đáp án cần chọn là: C
Câu 16: Cho tam giác MNP và tam giác DEF có 
. Biết ED = 9cm. Độ dài NP là:
A. 7cm
B. 8cm
C. 9cm
D. 10cm
Lời giải:
Đáp án cần chọn là: C
Câu 17: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy sao cho B,C nằm cùng phía với xy. Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Chọn câu đúng
Lời giải:
⇒ ΔBDA = ΔAEC (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ BD = AE, CE = AD ( hai cạnh tương ứng)
Do đó: DE = AD + AE = CE + BD
Đáp án cần chọn là: A
Câu 18: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = AC. Qua A kẻ đường thẳng xy sao cho B,C nằm cùng phía với xy. Kẻ BD và CE vuông góc với xy. Tính DE biết BD = 3cm; CE = 2cm
Lời giải:
⇒ ΔBDA = ΔAEC (cạnh huyền-góc nhọn)
⇒ BD = AE, CE = AD (hai cạnh tương ứng)
Do đó: DE = AD + AE = CE + BD = 2 + 3 = 5cm
Đáp án cần chọn là: A
Câu 19: Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AC ở E, đường thẳng qua E và song song với AB cắt BC ở F. Khi đó:
Lời giải:
Tương tự chứng minh được: ΔEFC = ΔDBF (g.c.g) (2)
Từ (1) và (2) suy ra: ΔADE = ΔEFC = ΔDBF (3)
Đáp án cần chọn là: D
Câu 20: Cho tam giác ABC có Â = 60°. Tia phân giác của góc B cắt AC ở D, tia phân giác của góc C cắt AB ở E. Các tia phân giác đó cắt nhau ở I. Tính độ dài ID, biết IE = 2cm
Lời giải:
Xét ΔABC có: 
(tổng ba góc trong tam giác bằng 180°)
Xét ΔBIC có: 
(tổng ba góc trong tam giác bằng 180°)
Khi đó 
(hai góc đối đỉnh) (1)
Kẻ tia phân giác của 
cắt BC tại H
Đáp án cần chọn là: B
Câu 21: Cho hai đoạn thẳng AB, CD song song với nhau. Hai đoạn thẳng này chắn giữa hai đường thẳng song song AC, BD. Chọn câu đúng:
Lời giải:
Kẻ đoạn thẳng AD
⇒ ΔABD = ΔDCA(g.c.g) ⇒ AB = CD, AC = BD (hai cạnh tương ứng)
Đáp án cần chọn là: A
