Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Vẽ  AH vuông góc với BC. Từ H vẽ HM vuông góc với AB và HN vuông góc với AC (H ∈ BC, M ∈ AB, N ∈ AC). Vẽ đường kính AE cắt MN tại I, tia MN cắt đường tròn (O; R) tại K

a) Chứng minh tứ giác AMHN nội tiếp.

b) Chứng minh AE vuông góc với MN.

c) Chứng minh AH = AK.

Cho tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AC, AB. Gọi E là điểm đối xứng với B qua M; F là điểm đối xứng với C qua N.

a) Chứng minh tứ giác ABCE là hình bình hành.

b) Chứng minh E đối xứng với F qua A.

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB. Trên đoạn OB lấy điểm H sao cho HB = 2HO. Đường thẳng vuông góc với AB tại H cắt nửa (O) tại D. Vẽ đường tròn (S) đường kính AO cắt AD tại C.

a) Chứng minh C là trung điểm của AD.

b) Chứng minh 4 điểm C, D, H, O cùng thuộc một đường tròn.

c) CB cắt DO tại E. Chứng minh BC là tiếp tuyến của (S).

d) Tính diện tích tam giác AEB theo R.

Cho đường tròn tâm O có bán kính OA = R, dây BC vuông góc với OA tại trung điểm M của OA.

a) Tứ giác OCAB là hình gì? Vì sao?

b) Kẻ tiếp tuyến với đường tròn tại B, nó cắt đường thẳng OA tại E. Tính độ dài BE theo R.

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4{\rm{x}}}}{{x - 4}}} \right):\frac{{4\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\sqrt x - 2}}\) với x ≥ 0, x ≠ 4.

a) Rút gọn biểu thức A.

b) So sánh A và \(\sqrt A \).

Chứng minh rằng với mọi giá trị của m:

a) Phương trình: mx² – (3m + 2)x + 1 = 0 luôn có nghiệm.

b) Phương trình: \(({m^2} + 5){x^2} - \left( {\sqrt 3 m - 2} \right)x + 1 = 0\) luôn vô nghiệm.

Cho biểu thức: \(A = \frac{{x - 3}}{x} - \frac{x}{{x - 3}} + \frac{9}{{{x^2} - 3{\rm{x}}}}\).

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để A = – 3.

Từ một điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Qua điểm M thuộc cung nhỏ BC, kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), nó cắt các tiếp tuyến AB và AC theo thứ tự ở D và E.

a) Chứng minh rằng chu vi tam giác ADE bằng 2AB.

b) \(\widehat {DOE} = \frac{1}{2}\widehat {BOC}\).

Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Kẻ hai tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn (O) tại A và B (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, cắt tia Ax và By theo thứ tự tại C và D.

a) Chứng minh tam giác COD vuông tại O.

b) Chứng minh AC . BD = R².

c) Kẻ MH vuông góc AB (H ∈ AB). Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm của đoạn MH.

Cho hàm số y = 2x + 3.

a) Vẽ đồ thị hàm số trên.

b) Gọi A, B là giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ. Tính diện tích tam giác OAB (O là gốc tọa độ và đơn vị trên các trục tọa độ là cm).

c) Tính góc tạo bởi đường thẳng y = ax + b và trục Ox.

Cho 2 hàm số bậc nhất: y = mx + 3 và y = (2m + 1)x – 5. Tìm giá trị m để đồ thị của hai hàm số đã cho là:

a) hai đường thẳng song song.

b) hai đường thẳng cắt nhau.

Tính nhanh:

a) – (– 2012 + 789) + (– 211) + (– 1012 – 1789).

b) – 72 . 17 + 72 . 31 – 72 . 114.

c) 512 . (2 – 128) – 128 . (– 512)..

d) 120 . (5 – 117) – 117 . (– 120)

Cho hàm số y = (k – 3)x + k’ (d). Tìm các giá trị của k, k’ để đường thẳng (d)

a) Đi qua điểm A(1; 2) và B(– 3; 4).

b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1 - \sqrt 2 \) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(1 + \sqrt 2 \).

c) Cắt đường thẳng 2y – 4x + 5 = 0.

d) Song song với đường thẳng y – 2x – 1 = 0.

e) Trùng với đường thẳng 3x + y – 5 = 0.

Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm M nằm ngoài đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến MA với đường tròn (A là tiếp điểm). Tia Mx nằm giữa MA và MO cắt đường tròn (O; R) tại 2 điểm C và D (C nằm giữa M và D). Gọi I là trung điểm của dây CD, kẻ AH vuông góc với MO tại H.

a) Chứng minh OH . OM không đổi.

b) Chứng minh bốn điểm M, A, I, O cùng thuộc 1 đường tròn.

c) Gọi K là giao điểm của OI với HA. Chứng minh KC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R).

Giải hệ phương trình:

a) \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = 1\\{x^2}y + 2{\rm{x}}{y^2} + {y^3} = 2\end{array} \right.\).

b) \(\left\{ \begin{array}{l}{y^2} = \left( {x + 8} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)\\{y^2} - 4\left( {{\rm{x + 2}}} \right)y + 16 + 16{\rm{x}} - 5{{\rm{x}}^2} = 0\end{array} \right.\).

Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y = 12\\mx + 2y = 6\end{array} \right.\).

a) Giải hệ phương trình với m = 1.

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x ∈ ℝ .