Cho hai mặt phẳng \[\left( P \right):3x - 2y + 2z + 7 = 0\] và \[\left( Q \right):5x - 4y + 3z + 1 = 0\]. Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả \[\left( P \right)\] và \[\left( Q \right)\] là

A. \[2x - y - 2z = 0.\]

B. \[2x + y - 2z = 0.\]

C. \[2x - y + 2z = 0.\]

D. \[2x + y - 2z + 1 = 0.\]

Trong không gian \[Oxyz\], cho \[A\left( {0;1;1} \right)\], \[B\left( {1;2;3} \right)\]. Viết phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua \[A\] và vuông góc với đường thẳng \[AB\].

A. \[\left( P \right):x + y + 2z - 3 = 0.\]

B. \[\left( P \right):x + y + 2z - 6 = 0.\]

C. \[\left( P \right):x + 3y + 4z - 7 = 0.\]

D. \[\left( P \right):x + 3y + 4z - 26 = 0.\]

Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[M\left( { - 1;2;0} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right)\]: \[2x - 2y + z + 1 = 0\]. Khoảng cách từ điểm \[M\] đến mặt phẳng \[\left( P \right)\] là

A. \[ - \frac{5}{3}.\]

B. \[\frac{7}{3}.\]

C. \[\frac{5}{3}.\]

D. \[5.\]

Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[M\left( {1;2;3} \right)\]. Gọi \[A,B,C\] lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm \[M\] lên các trục \[Ox,Oy,Oz\]. Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là

A. \[\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1.\]

B. \[ - \frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1.\]

C. \[\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 0.\]

D. \[\frac{x}{1} - \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1.\]

Trong không gian \[Oxyz\], cho điểm \[A\left( {3; - 2; - 2} \right)\], \[B\left( {3;2;0} \right)\], \[C\left( {0;2;1} \right)\]. Phương trình mặt phẳng \[\left( {ABC} \right)\] là

A. \[2x - 3y + 6z + 12 = 0.\]

B. \[2x - 3y - 6z - 12 = 0.\]

C. \[2x - 3y + 6z = 0.\]

D. \[2x + 3y + 6z + 12 = 0.\]

Trong không gian \[Oxyz\], vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( P \right)\], biết \[\overrightarrow a = \left( { - 1; - 2; - 2} \right)\], \[\overrightarrow b = \left( { - 1;0; - 1} \right)\]là cặp vectơ chỉ phương của \[\left( P \right)\]?

A. \[\overrightarrow n = \left( {2;1;2} \right).\]

B. \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 2} \right).\]

C. \[\overrightarrow n = \left( {2;1; - 2} \right).\]

D. \[\overrightarrow n = \left( { - 2;1; - 2} \right).\]

II. Thông hiểu

Trong không gian \[Oxyz\], phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\] đi qua điểm \[A\left( {2;1;3} \right)\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {2;3; - 1} \right)\] là

A. \[2x + 3y - z - 2 = 0.\]

B. \[2x + 3y - z + 2 = 0.\]

C. \[2x - y + 3z - 2 = 0.\]

D. \[2x - y + 3z + 2 = 0.\]

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( P \right):\frac{x}{1} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1\]. Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\]?

A. \[P\left( {0;2;0} \right).\]

B. \[Q\left( {0;0;3} \right).\]

C. \[M\left( {1;2;3} \right).\]

D. \[N\left( {1;0;0} \right).\]

Trong không gian \[Oxyz\], cho mặt phẳng \[\left( \alpha \right):2x + y + z + 1 = 0\]. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

A. \[\overrightarrow n = \left( {2;1;1} \right).\]

B. \[\overrightarrow n = \left( { - 2;1; - 1} \right).\]

C. \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1; - 1} \right).\]

D. \[\overrightarrow n = \left( {1;1;1} \right).\]

Trong không gian \[Oxyz\], mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z - 3 = 0\] đi qua điểm nào dưới đây?

A. \[A\left( { - 1; - 1; - 1} \right).\]

B. \[B\left( {1;1;1} \right).\]

C. \[C\left( {1;1; - 1} \right).\]

D. \[D\left( { - 3;0;0} \right).\]

Phương trình nào dưới đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

A. \[{x^2} + 2y + z - 3 = 0.\]

B. \[{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2 = 0.\]

C. \[{x^2} + 2{y^2} + z - 5 = 0.\]

D. \[x + 2y + z - 4 = 0.\]

I. Nhận biết

Cho hình lập phương \[ABCD.A'B'C'D'\]. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\]?

A. \[\overrightarrow {AC} .\]

B. \[\overrightarrow {AC'} .\]

C. \[\overrightarrow {AA'} .\]

D. \[\overrightarrow {AD'} .\]

Một li rượu có hình dạng tròn xoay và kích thước như hình vẽ, thiết diện dọc của cốc (bổ dọc cốc thành 2 phần bằng nhau) là một đường parabol.

Thể tích tối đa mà cốc có thể chứa được là (làm tròn kết quả đến hai chữ số thập phân).

A. \[V \approx 320\] cm³.

B. \[V \approx 1005,31\] cm³.

C. \[V \approx 251,33\] cm³.

D. \[V \approx 502,65\] cm³.

Chị Minh muốn làm một cái cổng hình parabol như hình vẽ dưới đây. Chiều cao \[GH = 4\] m, chiều rộng \[AB = 4\] m, \[AC = BD = 0,9\] m. Chi Minh làm hai cánh cổng khi đóng lại là hình chữ nhật \[CDEF\] tô đậm có giá là \[1200000\] đồng/m², còn các phần để trắng để trang trí hoa có giá là \[900000\] đồng/m². Hỏi tổng số tiền để làm hai phần nói trên gần nhất với số tiền nào dưới đây?

A. \[11445000\] đồng.

B. \[4077000\] đồng.

C. \[7368000\] đồng.

D. \[11370000\] đồng.

Cho hình (H) là hình phẳng được tô đậm trong hình vẽ và được giới hạn bởi các đường có phương trình \[y = \frac{{10}}{3}x - {x^2}\], \[y = \left\{ \begin{array}{l} - x,{\rm{ }}x \le 1\\x - 2{\rm{, }}x > 1\end{array} \right.\].

Diện tích của hình (H) bằng

A. \[\frac{{13}}{2}.\]

B. \[\frac{{11}}{6}.\]

C. \[\frac{{14}}{3}.\]

D. \[\frac{{11}}{3}.\]

Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \[\left( C \right):y = \frac{{{x^2} + 1}}{x}\], trục \[Ox\] và hai đường thẳng \[x = 1,x = 3\]. Thể tích V của vật thể tròn xoay khi (H) quay quanh trục \[Ox\] thỏa:

A. \[16 < V < 17.\]

B. \[41 < V < 42.\]

C. \[13 < V < 14.\]

D. \[5 < V < 6.\]

III. Vận dụng

Một người chạy trong thời gian 1 giờ, vận tốc \[v\] (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị là một phần parabol với đỉnh \[I\left( {\frac{1}{2};8} \right)\] và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường \[s\] người đó chạy được trong khoảng thời gian 45 phút, kể từ khi chạy?

A. 4 km.

B. 5 km.

C. 4,5 km.

D. 5,5 km.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^2}\], \[y = - \frac{1}{3}x + \frac{4}{3}\] và trục hoành như hình vẽ sau:

A. \[\frac{7}{3}.\]

B. \[\frac{{56}}{3}.\]

C. \[\frac{{39}}{2}.\]

D. \[\frac{{11}}{6}.\]

Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \[y = {x^2} - 2x\], trục hoành, trục tung và đường thẳng \[x = 1.\] Tính thể tích V của khối tròn xoay khi quay (H) quanh trục \[Ox.\]

A. \[V = \frac{{8\pi }}{{15}}.\]

B. \[V = \frac{{4\pi }}{3}.\]

C. \[V = \frac{{15\pi }}{8}.\]

D. \[V = \frac{{7\pi }}{8}.\]

Cho hình (H) giới hạn bởi các đường \[y = {x^2},x = 1\] và trục hoành. Quay hình (H) quanh trục \[Ox\] ta được khối tròn xoay có thể tích là

A. \[\frac{\pi }{5}.\]

B. \[\frac{\pi }{3}.\]\[\]

C. \[\frac{{2\pi }}{3}.\]

D. \[\frac{{2\pi }}{5}.\]

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \[y = \sqrt {2 + \cos x} \], trục hoành và các đường thẳng \[x = 0,x = \frac{\pi }{2}.\] Khối tròn xoay tạo thành khi D quay quanh trục hoành có thể tích V bằng:

A. \[V = \left( {\pi + 1} \right)\pi .\]

B. \[V = \pi - 1.\]

C. \[V = \pi + 1.\]

D. \[V = \left( {1 - \pi } \right)\pi .\]

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \[y = {e^x}\], trục hoành và các đường thẳng \[x = 0,x = 1\]. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng

A. \[V = \frac{{\pi \left( {{e^2} + 1} \right)}}{2}.\]

B. \[V = \frac{{{e^2} - 1}}{2}.\]

C. \[V = \frac{{\pi {e^2}}}{3}.\]

D. \[V = \frac{{\pi \left( {{e^2} - 1} \right)}}{2}.\]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \[y = \ln x,{\rm{ }}y = 1\] và hai đường thẳng \[x = 1,x = e\] bằng

A. \[{e^2}.\]

B. \[e + 2.\]

C. \[2e.\]

D. \[e - 2.\]

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \[y = {x^3} - 6x,y = {x^2}\] (phần tô đậm trong hình sau) bằng:

A. \[S = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} - 6x - {x^2}} \right)} dx.\]

B. \[S = \int\limits_{ - 2}^3 {\left( {{x^3} - 6x - {x^2}} \right)} dx.\]

C. \[S = \int\limits_{ - 2}^9 {\left( {{x^2} - {x^3} + 6x} \right)} dx.\]

D. \[S = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^3} - 6x - {x^2}} \right)} dx - \int\limits_0^3 {\left( {{x^3} - 6x - {x^2}} \right)} dx.\]

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đường cong \[y = {x^2} + 1\], trục hoành và các đường thẳng \[x = 0,x = 3\]. Khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành có thể tích V bằng

A. \[V = 12\pi .\]

B. \[V = \frac{{348\pi }}{5}.\]

C. \[V = 32\pi .\]

D. \[V = 9\pi .\]

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {x^2} + 1,{\rm{ }}x = - 1,{\rm{ }}x = 2\] và trục hoành.

A. \[S = 16.\]

B. \[S = 6.\]

C. \[S = \frac{{13}}{6}.\]

D. \[S = 13.\]

II. Thông hiểu

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = {\left( {x - 2} \right)^2} - 1\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = 1,x = 2\] bằng

A. \[\frac{1}{3}.\]

B. \[\frac{2}{3}.\]

C. \[\frac{3}{2}.\]

D. \[\frac{7}{3}.\]

Cho hàm số \[y = f\left( x \right)\] liên tục trên \[\mathbb{R}.\] Gọi \[S\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right)\], \[y = 0,x = - 2,x = 3\] (như hình vẽ). Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. \[S = - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\]

B. \[S = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\]

C. \[S = - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\]

D. \[S = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} .\]

Gọi \[S\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = {3^x}\], \[y = 0,x = 0,x = 2.\]Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. \[S = \int\limits_0^2 {{3^x}dx} .\]

B. \[S = \pi \int\limits_0^2 {{3^{2x}}dx} .\]

C. \[S = \pi \int\limits_0^2 {{3^x}dx} .\]

D. \[S = \int\limits_0^2 {{3^{2x}}dx} .\]

Gọi \[S\] là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \[y = f\left( x \right)\], trục hoành và hai đường thẳng \[x = - 3,x = 2\]. Đặt \[a = \int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)dx} ,{\rm{ }}b = \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx.} \]

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?

A. \[S = a + b.\]

B. \[S = a - b.\]

C. \[S = - a - b.\]

D. \[S = b - a.\]

Diện tích \[S\] của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\], trục \[Ox\] và hai đường thẳng \[x = a,x = b{\rm{ }}\left( {a < b} \right)\] được tính theo công thức

</>

A. \[S = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx.} \]

B. \[S = \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx.} \]

C. \[S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx.} \]

D. \[S = \pi \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|dx.} \]

I. Nhận biết

Thể tích \[V\] của khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số \[y = f\left( x \right)\], trục \[Ox\] và hai đường thẳng \[x = a,x = b{\rm{ }}\left( {a < b} \right)\] khi quay quanh trục \[Ox\] là:

A. \[V = \pi \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx.} \]

B. \[V = \pi \int\limits_a^b {f\left( x \right)dx.} \]

C. \[V = {\pi ^2}\int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx.} \]

D. \[V = \int\limits_a^b {{f^2}\left( x \right)dx.} \]