Như chúng ta đã biết, Lí thuyết đồ thị ra đời trong quá trình khái quát, mô phỏng những vấn đề của khoa học và thực tiễn thành những mô hình toán học. Vì thế, các kết quả của Lí thuyết đồ thị có nhiều ứng dụng trong khoa học và thực tiễn.

Lí thuyết đồ thị có thể giải quyết những vấn đề thực tiễn nào?

Một cuộc họp có 6 người tham dự. Hai người bất kì trong họ hoặc quen nhau hoặc không quen nhau. Chứng minh rằng có 3 người trong 6 người đó đôi một quen nhau hoặc đôi một không quen nhau.

Tìm bậc của mỗi đỉnh và chỉ ra một chu trình Hamilton (nếu có) của đồ thị ở Hình 21.

Tìm bậc của mỗi đỉnh và chỉ ra một chu trình Euler (nếu có) của đồ thị ở Hình 20. 

Hãy vẽ một đồ thị có bốn đỉnh sao cho chỉ có đúng:

a) Hai đỉnh cùng có bậc là 1;

b) Hai đỉnh cùng có bậc là 2.

Có sáu thành phố A, B, C, D, E, G sao cho hai thành phố bất kì trong chúng đều có đường nối với nhau. Sử dụng đồ thị để mô tả tình huống đó. 

Chứng minh rằng đồ thị G ở Hình 19 có ít nhất một chu trình Hamilton.

Chứng minh rằng đồ thị G ở Hình 17 có ít nhất một chu trình Hamilton.

Tìm hai đường đi Hamilton bắt đầu từ đỉnh E của đồ thị trong Hình 15

Quan sát đường đi màu đỏ trên đồ thị ở Hình 13 và cho biết đường đi đó có đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị hay không và mỗi đỉnh đi qua bao nhiêu lần.

Chứng minh rằng đồ thị ở Hình 11a không có chu trình Euler.

Hãy chỉ ra hai đường đi Euler trong đồ thị ở Hình 11a.

Quan sát đồ thị ở Hình 10 và đường đi CABDCB, cho biết:

a) Đường đi trên có đi qua tất cả các cạnh của đồ thị hay không?

b) Đường đi trên đi qua mỗi cạnh bao nhiêu lần?

Cho ví dụ về một đồ thị liên thông và một đồ thị không liên thông. 

Quan sát đồ thị Hình 8 và cho biết hai đỉnh bất kì của đồ thị có được nối với nhau bằng một đường đi hay không?

Trong đồ thị ở Hình 8, hãy tìm:

a) Một đường đi từ đỉnh A đến đỉnh F;

b) Một chu trình có đỉnh E là đỉnh đầu và đỉnh cuối.

Quan sát đồ thị Hình 7 và cho biết:

a) Hai đỉnh A, B có được nối với nhau bằng một cạnh hay không;

b) Dãy các cạnh kế tiếp nhau AB, BC, CD, DE có đặc điểm gì.

Cho ví dụ về một đồ thị có số lẻ đỉnh bậc chẵn. 

Quan sát đồ thị Hình 7 và cho biết:

a) Tổng các bậc của năm đỉnh trong đồ thị đó;

b) Số cạnh của đồ thị đó;

c) Tổng các bậc của năm đỉnh trong đồ thị gấp bao nhiêu lần số cạnh của đồ thị đó.

Có bao nhiêu đỉnh bậc lẻ trong đồ thị ở Hình 5a?

Quan sát đồ thị ở Hình 6 và đếm số cạnh của đồ thị nhận đỉnh P làm đầu mút.

Cho hai ví dụ về đồ thị đơn.

Quan sát đồ thị ở Hình 4 và cho biết:

a) Với mỗi cặp đỉnh của đồ thị, có nhiều nhất bao nhiêu cạnh nối chúng;

b) Có hay không một đỉnh được nối với chính nó bởi một cạnh của đồ thị.

Có năm thành phố A, B, C, D, E sao cho hai thành phố bất kì trong chúng đều có đúng một đường nối với nhau. Sử dụng đồ thị để mô tả tình huống đó. 

Đọc tên các đỉnh, các cạnh của đồ thị ở Hình 2c.

Hình 59 mô tả một viên gạch trang trí hình tam giác đều. Chứng minh rằng hình hoa ba cánh màu xanh và hình hoa ba cánh màu đỏ đồng dạng với nhau.

Cho hình vuông ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, BC, BO (Hình 58). Chứng minh rằng hai hình AMOD và OENC đồng dạng với nhau.

Chứng minh rằng các đa giác đều có cùng số cạnh thì đồng dạng với nhau.

Chứng minh rằng nếu phép đồng dạng F biến tam giác ABC thành tam giác A'B'C' thì F biến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thành trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A'B'C'.

Cho hai đường tròn (O₁; R) và (O₂; 2R) tiếp xúc ngoài với nhau tại điểm A. Tìm phép vị tự biến đường tròn (O₁; R) thành đường tròn (O₂; 2R).

Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm H. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm H tỉ số k = $\frac{1}{2}$.

Chứng minh rằng qua phép vị tự tâm O tỉ số k (k ≠ 0), ảnh của mọi đường thẳng đi qua tâm O là chính nó.

Một thấu kính phân kì có tiêu cự OF = OF' = 20 cm (kính cận). Vật sáng AB được đặt vuông góc với trục chính của thấu kính, cách thấu kính một đoạn OA = 60 cm, qua thấu kính cho ảnh ảo A'B' (Hình 57). A'B' là ảnh của AB qua một phép vị tự tâm O tỉ số k.

Tính khoảng cách A'O từ ảnh đến thấu kính và so sánh khoảng cách đó với khoảng cách AO từ vật đến thấu kính.

Trên bản đồ bay với tỉ lệ xích 1: 10 000 000, khoảng cách giữa Hà Nội và Tokyo đo được là 37,34 cm. Khoảng cách thực tế (tính theo đường chim bay) giữa Hà Nội và Tokyo là bao nhiêu kilômét?

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

a) Hai tam giác luôn đồng dạng với nhau;

b) Hai hình chữ nhật luôn đồng dạng với nhau;

c) Hai hình thoi luôn đồng dạng với nhau;

d) Hai hình vuông luôn đồng dạng với nhau.

Phép biến hình nào trong các phép biến hình dưới đây không là phép đồng dạng?

a) Phép đối xứng trục;

b) Phép đồng nhất;

c) Phép vị tự tỉ số k = 1;

d) Phép biến hình biến mỗi điểm trong mặt phẳng thành điểm A cho trước.

Phép biến hình nào trong các phép biến hình dưới đây là phép vị tự?

a) Phép tịnh tiến theo vectơ khác $\overrightarrow{0}$;

b) Phép đối xứng tâm;

c) Phép đối xứng trục;

d) Phép quay.

Trong Ví dụ 8, chứng minh rằng hai hình OMGE và COEN đồng dạng với nhau.

Quan sát Hình 54 và cho biết:

a) Hình chữ nhật A"B"C"D" nhận được từ hình chữ nhật ABCD bằng cách nào.

b) Hình chữ nhật A'B'C'D' nhận được từ hình chữ nhật A"B"C"D" bằng cách nào.

c) Phép đồng dạng nào biến hình chữ nhật ABCD thành hình chữ nhật A'B'C'D'.

Người ta dùng một kính hiển vi có khả năng phóng to vật lên gấp 100 000 lần để quan sát một virus và đo được kích thước của virus là 2 mm. Hỏi kích thước thật của virus là bao nhiêu micromét (μm)?

Biết 1 mm = 1 000 μm.