Chứng minh các đẳng thức sau với $n \in N^{\ast }$ $B_n = 1 + 3 + 6 + 10 +... + \frac{n\left(n+1\right)}{2} = \frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{6}$

Cho dãy số $\left(u_n\right)$: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = 0\\ u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 4} với n\ge 1\end{array}\right.$

a) Lập dãy số $\left(x_n\right)$ với $x_n = \frac{u_n - 1}{u_n + 3}$ . Chứng minh dãy số là cấp số nhân.

Viết bốn số xen giữa các số 5 và 160 để được một cấp số nhân.

Bốn số lập thành một cấp số cộng. Lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7, 2 ta nhận được một cấp số nhân.Tìm các số đó.

Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $\left(u_n\right)$ biết $\left\{\begin{array}{l}{u}_5 - u_1 = 15\\ u_4 - u_2 = 6\end{array}\right.$

Tìm số các số hạng của cấp số nhân (un) biết $q = 2, u_n = 96, S_n = 189$

Cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 + u_5 = 51\\ u_2 + u_6 = 102\end{array}\right.$

a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân:

b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạngđầu tiên sẽ bằng 3096?

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n = {\left(-3\right)}^{2n-1}$

a) Chứng minh dãy số $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân. Nêu nhận xét về tính tăng, giảm của dãy số;

b) Lập công thức truy hồi của dãy số;

Tìm cấp số cộng $\left(u_n\right)$ biết $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 + u_2 +...+u_n = a\\ {u_1}^2 + {u_2}^2 +....+ {u_n}^2 = b^2\end{array}\right.$

Tính số các số hạng của cấp số cộng (an), nếu $\left\{\begin{array}{l}{a}_2 + a_4 + ... + a_{2n} = 126\\ a_2 + a_{2n} = 42\end{array}\right.$

Tính số hạng đầu $u_1$ và công sai d của cấp số cộng $\left(u_n\right)$ $\left\{\begin{array}{l}{u}_4 = 10\\ u_7 = 19\end{array}\right.$

Dãy số $\left(u_n\right)$ sau đây có phải là cấp số cộng? $u_n = 2^n + 1$

Dãy số $\left(u_n\right)$ sau đây có phải là cấp số cộng? $u_n = 3n - 1$

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n = 1 - 7n$

a) Khảo sát tính tăng, giảm của dãy số;

b) Chứng minh dãy số trên là cấp số cộng. Lập công thức truy hồi của dãy số;

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ với $u_n = n^2 - 4n + 3$

a) Viết công thức truy hồi của dãy số;

b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới;

c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy đã cho.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = 5\\ u_{n+1} = u_n + 3n -2 với n\ge 1\end{array}\right.$

Tìm công thức tính $\left(u_n\right)$ theo n

Trong các dãy số $\left(u_n\right)$ cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? $u_n = \frac{1}{n^2 -6n + 11}$

Trong các dãy số $\left(u_n\right)$ cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? $u_n = 2n - n^2$

Cho tổng: $S_n = \frac{1}{1.5} + \frac{1}{5.9} + ... + \frac{1}{\left(4n-3\right)\left(4n+1\right)}$

a) Tính $S_1, S_2, S_3, S_4$;