Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích $240{\text{m}}^2$. Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.

 Đố. Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân một nửa của nó bằng một nửa đơn vị.

Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo môt đường sông dài 120km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi 5km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi.

Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?

Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều rộng bé hơn chiều dài 4 m và diện tích bằng $320 m^2$. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

$\begin{array}{l}a)3.{\left(x^2+x\right)}^2-2\left(x^2+x\right)-1=0\\ b){\left(x^2-4x+2\right)}^2+x^2-4x-4=0\\ c)x-\sqrt{x}=5\sqrt{x}+7\\ d)\frac{x}{x+1}-10\cdot \frac{x+1}{x}=3\end{array}$

Giải phương trình bằng cách đưa về phương trình tích:

Giải các phương trình:

Giải phương trình trùng phương:

$\begin{array}{l}a)9x^4-10x^2+1=0\\ b)5x^4+2x^2-16=10-x^2\\ c)0,3x^4+1,8x^2+1,5=0;\\ d)2x^2+1=\frac{1}{x^2}-4\end{array}$

Giải các phương trình:

Giải các phương trình:

$\begin{array}{l}a)\frac{(x+3)(x-3)}{3}+2=x(1-x)\\ b)\frac{x+2}{x-5}+3=\frac{6}{2-x}\\ c)\frac{4}{x+1}=\frac{-x^2-x+2}{(x+1)(x+2)}\end{array}$

Giải các phương trình trùng phương:

$\begin{array}{l}a)x^4-5x^2+4=0\\ b)2x^4-3x^2-2=0\\ c)3x^4+10x^2+3=0\end{array}$

Giải phương trình

$\frac{x^2-3x+6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}$

Bằng cách điền vào các chỗ trống (…) và trả lời các câu hỏi.

- Điều kiện: x ≠ …

- Khử mẫu và biến đổi, ta được: $x^2 – 3x + 6 = \dots \iff x^2 – 4x + 3 = 0.$

- Nghiệm của phương trình $x^2 – 4x + 3 = 0 là: x_1 = \dots ; x_2 = \dots$

Hỏi $x_1$ có thỏa mãn điều kiện nói trên không ? Tương tự, đối với $x_2$ ?

 Giải các phương trình trùng phương:

$\begin{array}{l}a)4x^4+x^2-5=0\\ b)3x^4+4x^2+1=0\end{array}$

Chứng tỏ rằng nếu phương trình $a{x}^2 + bx + c = 0$ có nghiệm là $x_1 và x_2$ thì tam thức $a{x}^2 + bx + c$ phân tích được thành nhân tử như sau:

$a{x}^2 + bx + c = a( x - x_1)(x - x_2)$

Áp dụng : phân tích đa thức thành nhân tử.

$a) 2x^2 - 5x + 3; b)3x^2 + 8x + 2$

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 42, uv = 441

b) u + v = -42, uv = -400

c) u – v = 5, uv = 24

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

$\begin{array}{l}a)1,5x^2-1,6x+0,1=0\\ b)\sqrt{3}{x}^2-(1-\sqrt{3})x-1=0\\ c\left)\right(2-\sqrt{3})x^2+2\sqrt{3}x-(2+\sqrt{3})=0\\ d\left)\right(\text{m}-1){\text{x}}^2-(2\text{m}+3)\text{x}+\text{m}+4=0 với \text{m}\ne 1.\end{array}$

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm, rồi tính tổng và tích các nghiệm theo m.

$\begin{array}{l}a)x^2-2x+m=0\\ b)x^2+2(m-1)x+m^2=0\end{array}$

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích các nghiệm (nếu có) của mỗi phương trình sau:

$\begin{array}{l}a)4x^2+2x-5=0\\ b)9x^2-12x+4=0\\ c)5x^2+x+2=0\\ d)159x^2-2x-1=0\end{array}$

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) u + v = 32 , uv = 231

b) u + v = -8, uv = -105

c) u + v = 2, uv = 9

Dùng hệ thức Vi-et để tính nhẩm các nghiệm của phương trình.

$\begin{array}{l}a)x^2-7x+12=0\\ b)x^2+7x+12=0\end{array}$

 Dùng điều kiện a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 để tính nhẩm nghiệm của mỗi phương trình sau:

$\begin{array}{l}a)35x^2-37x+2=0\\ b)7x^2+500x-507=0\\ c)x^2-49x-50=0\\ d)4321x^2+21x-4300=0\end{array}$

Đối với mỗi phương trình sau, kí hiệu x1 và x2 là hai nghiệm (nếu có). Không giải phương trình, hãy điền vào những chỗ trống (...):

$$\begin{gathered} a) 2x^2 – 17x + 1 = 0; \Delta = \dots ; x_1 + x_2 = \dots ; x_1.x_2 = \dots ; \\ b) 5x^2 – x – 35 = 0; \Delta = \dots ; x_1 + x_2 = \dots ; x_1.x_2 = \dots ; \\ c) 8x^2 – x + 1 = 0 ; \Delta = \dots ; x_1 + x_2 = \dots ; x_1.x_2 = \dots ; \\ d) 25x^2 + 10x + 1 = 0 ; \Delta = \dots ; x_1 + x_2 = \dots ; x_1.x_2 = \dots ; \end{gathered}$$

Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 1, tích của chúng bằng 5.

Tính nhẩm nghiệm của các phương trình:

$\begin{array}{l}a)-5x^2+3x+2=0\\ b)2004x^2+2005x+1=0\end{array}$

Cho phương trình $3x^2 + 7x + 4 = 0.$

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a - b + c.

b) Chứng tỏ rằng $x_1 = -1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Tìm nghiệm $x_2.$

Cho phương trình $2x^2 – 5x + 3 = 0.$

a) Xác định các hệ số a, b, c rồi tính a + b + c.

b) Chứng tỏ rằng $x_1 = 1$ là một nghiệm của phương trình.

c) Dùng định lý Vi-ét để tìm $x_2$

Hãy tính $x_1 + x_2, x_1{x}_2.$

$\begin{array}{l}{\text{x}}_1=\frac{-\text{b}+\sqrt{\Delta }}{2\text{a}},\\ {\text{x}}_2=\frac{-\text{b}-\sqrt{\Delta }}{2\text{a}}\end{array}$

Cho phương trình (ẩn x) $x^2 – 2(m – 1)x + m^2 = 0$

a) Tính Δ'.

b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt? Có nghiệm kép? Vô nghiệm.

Rada của một máy bay trực thăng theo dõi chuyển động của ôtô trong 10 phút, phát hiện rằng vận tốc v của ôtô thay đổi phụ thuộc vào thời gian bởi công thức:

$v = 3t^2 -30t + 135$

(t tính bằng phút, v tính bằng km/h)

a) Tính vận tốc của ôtô khi t = 5 phút.

b) Tính giá trị của t khi vận tốc ôtô bằng 120km/h (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Không giải phương trình, hãy cho biết mỗi phương trình sau có bao nhiêu nghiệm?

$\begin{array}{l}a)15x^2+4x-2005=0\\ b)-\frac{19}{5}{x}^2-\sqrt{7}x+1890=0\end{array}$

Giải vài phương trình của An Khô-va-ri-zmi (xem Toán 7, Tập 2, tr.26):

$\begin{array}{l}a)x^2=12x+288\\ b)\frac{1}{12}{x}^2+\frac{7}{12}x=19\end{array}$

Giải các phương trình:

$\begin{array}{l}a)25x^2-16=0\\ b)2x^2+3=0\\ c)4,2x^2+5,46x=0\\ d)4x^2-2\sqrt{3}\cdot x=1-\sqrt{3}\end{array}$

Đố. Đố em biết vì sao khi a > 0 và phương trình $a{x}^2 + bx + c = 0$ vô nghiệm thì $a{x}^2 + bx + c > 0$ với mọi giá trị của x?

Đưa các phương trình sau về dạng $a{x}^2 + 2b\text{'}x + c = 0$ và giải chúng. Sau đó, dùng bảng số hoặc máy tính để viết gần đúng nghiệm tìm được (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai):

$\begin{array}{l}a)3x^2-2x=x^2+3\\ b(2x-\sqrt{2})-1=(x+1)(x-1)\\ c)3x^2+3=2(x+1)\\ d)0,5x(x+1)={\left(x-1\right)}^2\end{array}$

 Xác định a, b', c rồi dùng công thức nghiệm thu gọn giải các phương trình:

$\begin{array}{l}a)4x^2+4x+1=0\\ b)13852x^2-14x+1=0\\ c)5x^2-6x+1=0\\ d)-3x^2+4\sqrt{6}\cdot x+4=0\end{array}$