Xác định một hàm số y = f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau

f(x) xác định trên R\ {1}

$\underset{x\to 1}{\lim } f\left(x\right) = +\infty ; \underset{x\to +\infty }{\lim } f\left(x\right) = 2; \underset{x\to -\infty }{\lim } f\left(x\right) = 2$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to 2^{+}}{\lim } \left(\frac{1}{x^2 - 4} - \frac{1}{x - 2}\right)$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to -\infty }{\lim } \frac{x + \sqrt{4x^2 - x + 1}}{1 - 2x}$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to +\infty }{\lim } \frac{2x^4 + 5x - 1}{1 - x^2 + x^4}$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to 1}{\lim } \frac{x - \sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to 3^{-}}{\lim } \sqrt{x^2 + 8x + 3}$

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to -2}{\lim } \frac{x + 5}{x^2 + x - 3}$

Chứng minh rằng hàm số f(x) = cos(1/x) không có giới hạn khi x → 0

Từ độ cao 63m của tháp nghiêng PISA ở Italia (H.5) người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng 1/10 độ cao mà quả bóng đạt được ngay trướcđó.

Tính độ dài hành trình của quả bóng từ thờiđiểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất.

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ thoả mãn $u_n > M$ với mọi n. Chứng minh rằng nếu $lim u_n = a$ thì a ≤ M

Cho dãy số $\left(u_n\right)$ xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1 = 1\\ u_{n+1} = \frac{2u_n + 3}{u_n + 2} với n\ge 1\end{array}\right.$

a) Chứng minh rằng $u_n > 0$ với mọi n.

Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,131131131… (chu kì 131) dưới dạng phân số.

Tính các giới hạn sau $lim \frac{{\left(-3\right)}^n + 2.5^n}{1 - 5^n}$

Nếu hàm số y = f(x) không liên tục trên đoạn [a; b] nhưng f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm hay không trong khoảng (a; b)? Hãy giải thích câu trả lời bằng minh hoạ hình học.

Chứng minh phương trình luôn $x^n + a_1{x}^{n-1} + a_2{x}^{n-2} + ... + a_{n-1}x + a_n = 0$ có nghiệm với n là số tự nhiên lẻ.

Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m $m(2\cos x -\sqrt{ 2}) = 2\sin 5x + 1$

Chứng minh rằng phương trình cos2x = sinx − 2 có ít nhất hai nghiệm trong khoảng $\left(-\frac{\mathrm{\pi }}{6} ; \mathrm{\pi }\right)$

Tìm giá trị của tham số m để hàm số $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x} - 1}{x^2 -1} nếu x \ne 1\\ m^2 nếu x = 1\end{array}\right.$ liên tục tại x = 1

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng $g\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{1 - x}{{\left(x - 2\right)}^2} nếu x \ne 2\\ 3 nếu x = 2\end{array}\right.$

Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng $f\left(x\right) = \left\{\begin{array}{l}\frac{x^2 - 2}{x - \sqrt{2}} nếu x\ne \sqrt{2}\\ 2\sqrt{2} nếu x = \sqrt{2}\end{array}\right.$

Xét tính liên tục của các hàm số sau: $f\left(x\right) = \sqrt{x + 5} tại x = 4$

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm $x_0$

Chứng minh rằng nếu $\underset{x\to x_0}{\lim } \frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} = L$ thì hàm số f(x) liên tục tại điểm $x_0$

Đặt $g\left(x\right) = \frac{f\left(x\right) - f(x_0 )}{x - x_0} - L$  và biểu diễn f(x) qua g(x)

Chứng minh rằng nếu một hàm số liên tục trên (a; b] và trên [b; c) thì nó liên tục trên (a; c)

Cho ví dụ về một hàm số liên tục trên (a; b] và trên (b; c) nhưng không liên tục trên (a; c)

Cho hàm số $f\left(x\right) = \frac{\left(x-1\right)\left|x\right|}{x}$

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞)

Cho khoảng K, $x_0 \in K$ và hàm số y = f(x) xác định trên $K \backslash \left\{x_0\right\}$

Chứng minh rằng nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }f(x ) = +\infty$ thì luôn tồn tại ít nhất một số c thuộc sao cho f(c) > 0