Tính diện tích hình thang vuông được giới hạn các đường thẳng y = -2x – 1, y = 0, x = 1 và x = 5.

Tính ${\int }_0^{1}x{\left(1-x\right)}^{5}dx$ bằng hai phương pháp:

a) Đổi biến số u = 1 – x;

b) Tính tích phân từng phần.

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^{\pi }\sin 2x.{\cos }^{2}xdx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^{\ln 2}\frac{e^{2x+1}}{e^x}dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^2\left|1-x\right|dx$

Tính các tích phân sau:${\int }_{\frac{1}{2}}^2\frac{1-3x}{{\left(x+1\right)}^2}dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^{2}x{\left(x+1\right)}^2$

Tính các tích phân sau: ${\int }_{\frac{1}{2}}^2\frac{1}{x\left(x+1\right)}dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sin \left(\frac{\pi }{4}-x\right)dx$

Tính các tích phân sau: ${\int }_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{{\left(1-x\right)}^2}dx$

Hãy tính $\int \left(x+1\right)e^{x}dx$ bằng phương pháp tính nguyên hàm từng phần.

Hãy chứng minh các tính chất 1 và 2.

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5].

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5].

Cho tích phân $I={\int }_0^1{\left(2x+1\right)}^{2}dx$

1. Tính I bằng cách khai triển ${\left(2x+1\right)}^2$.

2. Đặt u = 2x + 1. Biến đổi biểu thức ${\left(2x+1\right)}^2$dx thành g(u)du.

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm của f(x). Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a), (tức là hiệu số F(b) – F(a) không phụ thuộc việc chọn nguyên hàm).

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = 2x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≥ t ≥ 5) (H.45).

1. Tính diện tích S của hình T khi t = 5 (H.46).

2. Tính diện tích S(t) của hình T khi x ∈ [1; 5].

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: $\int \left(1-x\right).\cos xdx$

Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần, hãy tính: $\int x.\ln \left(1+x\right)dx$

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau: $f\left(x\right)=\frac{1}{\left(1+x\right)\left(1-2x\right)}$

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau: $f\left(x\right)=e^{3-2x}$

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau: $f\left(x\right)={\tan }^{2}x$

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau:

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau: $f\left(x\right)=\frac{1}{{\sin }^{2}x.{\cos }^{2}x}$

Tìm hiểu nguyên hàm của các hàm số sau: $f\left(x\right)=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt[3]{x}}$

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là nguyên hàm của hàm số còn lại? ${\left(1-\frac{2}{x}\right)}^2.e^x và \left(1-\frac{4}{x}\right).e^x$

Cho P(x) là đa thức của x. Từ Ví dụ 9, hãy lập bảng theo mẫu dưới đây rồi điền u và dv thích hợp vào chỗ trống theo phương pháp nguyên phân hàm từng phần.

Ta có (xcosx)’ = cosx – xsinx hay - xsinx = (xcosx)’ – cosx.

Hãy tính ∫ (xcosx)’ dx và ∫ cosxdx. Từ đó tính ∫ xsinxdx.

Hãy chứng minh Tính chất 3.

Hãy chứng minh Định lý 1.