Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Tính ${\mathrm{V}}_{\mathrm{ACA}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}$ biết rằng tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, AA' = b và AA' tạo với (ABC) một góc bằng 60$°$

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Tính tỉ số: $\frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{ACA}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{ABC}.\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}}$

Cho hình lập phương ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B${\mathrm{B}}_1$, CD. ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1$. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và ${\mathrm{C}}_1$N.

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-3+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-1+4\mathrm{t}\end{array}\right.$

Cho mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0

và đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=9\end{array}\right.$

Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm ${\mathrm{M}}_0\left({\mathrm{x}}_0,{\mathrm{y}}_0,{\mathrm{z}}_0\right)$ và song song với hai mặt phẳng cắt nhau

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2x – y + 3z + 1 = 0 và (R): x – 2y – z + 8 = 0

Cho hai đường thẳng:

d: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6\\ \mathrm{y}=-2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=7+\mathrm{t}\end{array}\right.$ và $d_1: \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-2+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=-2\\ \mathrm{z}=-11-\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và ${\mathrm{d}}_1$ đến (P) là bằng nhau.

Cho hai mặt phẳng:

(${\mathrm{P}}_1$): 2x + y + 2z + 1 = 0 và (${\mathrm{P}}_2$): 4x – 2y – 4z + 7 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng

(${\mathrm{P}}_1$): 2x + y + 2z + 1 = 0 và (${\mathrm{P}}_2$): 2x + y + 2z + 5 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(-1; -1; 1) và chứa đường thẳng: d: $\frac{\mathrm{x}+2}{-1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-1}{-1}$

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng: d: $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-2-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-\mathrm{t}\end{array}\right.$ và d': $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-1+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=-3+4\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=2-3\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(-1; -3; 2), B(-2; 1; 1) và C(0; 1; -1).

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và song song với mặt phẳng (Q): x – z = 0.

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với đường thẳng d: $\frac{\mathrm{x}-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}$

${\mathrm{d}}_1: \frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+2}{-3}=\frac{\mathrm{z}-5}{4}$ và ${\mathrm{d}}_2:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=7+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-2\mathrm{t}\end{array}\right.$

Viết chương trình của ($\mathrm{\alpha }$).

${\mathrm{d}}_1: \frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+2}{-3}=\frac{\mathrm{z}-5}{4}$ và ${\mathrm{d}}_2:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=7+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-2\mathrm{t}\end{array}\right.$

Chứng minh rằng ${\mathrm{d}}_1$ và ${\mathrm{d}}_2$ cùng nằm trong một mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$).

Cho mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) : 2x + y + z – 1 = 0 và đường thẳng d: $\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-3}$

Gọi M là giao điểm của d và ($\mathrm{\alpha }$), hãy viết phương trình của đường thẳng $∆$ đi qua M vuông góc với d và nằm trong ($\mathrm{\alpha }$)

Cho hai đường thẳng: $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{-1}=\frac{\mathrm{y}-2}{2}=\frac{\mathrm{z}}{3}$ và $\mathrm{d}\text{'}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=3-2\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=1\end{array}\right.$ Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.

Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$): 2x – y + 2z + 12 = 0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$)

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng

$∆:\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{-1}=\frac{\mathrm{z}}{2}$

Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng $∆$

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng

$∆:\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{-1}=\frac{\mathrm{z}}{2}$

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng $∆$

Cho hai đường thẳng

$∆: \frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+3}{1}=\frac{\mathrm{z}-4}{-2}$ $∆\text{'}: \frac{\mathrm{x}+2}{-4}=\frac{\mathrm{y}-1}{-2}=\frac{\mathrm{z}+1}{4}$

Tính khoảng cách giữa $∆$ và $∆$′.

Cho hai đường thẳng

$∆: \frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+3}{1}=\frac{\mathrm{z}-4}{-2}$ $∆\text{'}: \frac{\mathrm{x}+2}{-4}=\frac{\mathrm{y}-1}{-2}=\frac{\mathrm{z}+1}{4}$

Xét vị trí tương đối giữa $∆$ và $∆$′ 

$∆:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=4-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-1+2\mathrm{t}\end{array} \mathrm{và} ∆\text{'}\right.:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=2-3\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=-3\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

$∆:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1\end{array} \mathrm{và} ∆\text{'}\right.:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-3\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=2+3\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=3\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

Cho đường thẳng: $∆:\frac{\mathrm{x}+3}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{3}=\frac{\mathrm{z}+1}{2}$ và mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) : 2x – 2y + z + 3 = 0.

Tính khoảng cách giữa $∆$ và ($\mathrm{\alpha }$).

Cho đường thẳng: $∆:\frac{\mathrm{x}+3}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{3}=\frac{\mathrm{z}+1}{2}$ và mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) : 2x – 2y + z + 3 = 0.

Chứng minh rằng $∆$ song song với ($\mathrm{\alpha }$).

Tính khoảng cách từ điểm A(1; 0; 1) đến đường thẳng $∆$: $\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{y}{2}=\frac{z}{1}$

Tìm a để hai đường thẳng sau đây song song:

$\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=5+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=\mathrm{at}\\ \mathrm{z}=2-\mathrm{t}\end{array}\right.$ và $\mathrm{d}\text{'}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+2\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=\mathrm{a}+4\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=2-2\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau: $\mathrm{d}\text{'}:\frac{\mathrm{x}-1}{3}=\frac{\mathrm{y}-5}{2}=\frac{\mathrm{z}-4}{2}$

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi các phương trình sau: $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}+1}{1}=\frac{\mathrm{y}-1}{2}=\frac{\mathrm{z}+3}{3}$

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d với mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) trong các trường hợp sau:

$\mathrm{d}:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=3-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1+2\mathrm{t}\end{array}\right.$ và ($\mathrm{\alpha }$): x + y + z - 6 = 0