Một hình phẳng được giới hạn bởi y = ${\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}$, y = 0, x = 0, x = 1. Ta chia đoạn [0; 1] thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang (bởi n hình chữ nhật con như Hình bên). Tính diện tích ${\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}$ của hình bậc thang (tổng diện tích của n hình chữ nhật con).

Tính thể tích khối tròn xoay tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\frac{1}{\mathrm{x}}$ , y = 0, x = 1 và x = a (a > 1). Gọi thể tích đó là V(a). Xác định thể tích của vật thể khi a → +$\infty$ (tức là $\underset{\mathrm{a}\to +\infty }{\lim }V\left(a\right)$ ).

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi: y = 2x – ${\mathrm{x}}^2$ , y = x , quanh trục Ox.

Tính thể tích các khối tròn xoay khi quay hình phẳng xác định bởi: y = 2 – ${\mathrm{x}}^2$ , y = 1 , quanh trục Ox.

Có đáy là một hình tròn giới hạn bởi ${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2$ = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

Có đáy là một tam giác cho bởi: y = x , y = 0 , và x = 1. Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = ${\mathrm{x}}^3$ – 12x, y = ${\mathrm{x}}^2$

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = 2x – ${\mathrm{x}}^2$, x + y = 2

${\int }_0^1\sin x\sqrt{x}d\mathrm{x}$ bằng:

A. 2(sin1 - cos1)              B. sin1 - cos1

Đối với tích phân ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}\frac{\tan x}{{\cos }^{2}x}d\mathrm{x}$

thực hiện đổi biến số t = tanx ta được:

A. ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{4}}td\mathrm{t}$            B. ${\int }_{-1}^{0}td\mathrm{t}$

C. ${\int }_0^{1}td\mathrm{t}$            D. $-{\int }_0^{1}td\mathrm{t}$

${\int }_1^{\mathrm{e}}\frac{\mathrm{lnx}}{{\mathrm{x}}^2}d\mathrm{x}$ bằng:

A. -1 - $\frac{1}{\mathrm{e}}$       B. 1 - $\frac{2}{\mathrm{e}}$

${\int }_{\frac{-\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\frac{\sin 2\mathrm{x}.\mathrm{sinx}}{2}+{\cos }^{3}xd\mathrm{x}$ bằng:

A. 2              B. 2$\mathrm{\pi }$

C. $\mathrm{\pi }$              D. -$\mathrm{\pi }$

${\int }_{-1}^1\left|\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3\right|d\mathrm{x}$ bằng:

A. 1/2              B. 2

C. -1              D. 0

Hãy chỉ ra kết quả sai trong việc khử giá trị tuyệt đối của tích phân sau đây: ${\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\left|\mathrm{sinx}\right|d\mathrm{x}$

A. ${\int }_0^{2\mathrm{\pi }}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}$          B. ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}2\mathrm{sinx}d\mathrm{x}$

C. ${\int }_0^{\mathrm{\pi }}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}-{\int }_{\mathrm{\pi }}^{2\mathrm{\pi }}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}$          D. $-{\int }_{\mathrm{\pi }}^{2\mathrm{\pi }}2\mathrm{sinx}d\mathrm{x}$

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

a, ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}+{\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{\frac{3\mathrm{\pi }}{2}}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}+{\int }_{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}^{2\mathrm{\pi }}\mathrm{sinx}d\mathrm{x}=0$

b, ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(\sqrt[3]{\mathrm{sinx}}-\sqrt[3]{\mathrm{cosx}}\right)d\mathrm{x}=0$

c, ${\int }_{\frac{-1}{2}}^{\frac{1}{2}}\ln \frac{1-x}{1+x}d\mathrm{x}=0$

${\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{\mathrm{n}}\mathrm{xdx},\mathrm{n}\in \mathrm{N}*$

 bằng:

A. 2(sin1 - cos1)              B. sin1 - cos1

C. 2(cos1 - sin1)              D. 2(sin1 + cos1)

Đối với tích phân 

thực hiện đổi biến số t = tanx ta được:

${\mathrm{I}}_{\mathrm{n}}={\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}{\sin }^{\mathrm{n}}\mathrm{xdx},\mathrm{n}\in \mathrm{N}*$

 bằng

 bằng:

A. 2              B. 2π

 bằng:

A. 1/2              B. 2

C. -1              D. 0

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:

${\int }_{-\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x}=\left\{\begin{array}{l}2{\int }_0^{\mathrm{a}}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)d\mathrm{x} \left(1\right)\\ 0 \left(2\right)\end{array}\right.$

(1) : nếu f là hàm số chẵn

(2): nếu f là hàm số lẻ.

Hãy chỉ ra kết quả sai trong việc khử giá trị tuyệt đối của tích phân sau đây:

Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\int }_0^{\mathrm{x}}\frac{\mathrm{t}}{\sqrt{1+{\mathrm{t}}^4}}\mathrm{dt},\mathrm{x}\in \mathrm{R}$ là hàm số chẵn.

Khẳng định nào dưới đây là đúng?

Đặt:

a) Chứng minh rằng:

Tính các tích phân sau đây: ${\int }_0^1\frac{x^2+x+1}{x+1}{\log }_2\left(x+1\right)dx$

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng:

Tính các tích phân sau đây: ${\int }_0^{\frac{\mathrm{\pi }}{2}}\left(x+1\right)\cos \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{2}\right)dx$

Giả sử hàm số f(x) liên tục trên đoạn [-a; a]. Chứng minh rằng:

(1) : nếu f là hàm số chẵn

(2): nếu f là hàm số lẻ.

Áp dụng để tính:

Chứng minh rằng hàm số f(x) cho bởi

Tính các tích phân sau đây: