Cho ba điểm A(1; 2; 1), B(2; -1; 1), C(0; 3; 1) và đường thẳng d: $\frac{\mathrm{x}}{-3}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}$

Cho hình nón tròn xoay (H) đỉnh S, đáy là hình tròn bán kính R, chiều cao bằng h. Gọi (H') là hình trụ tròn xoay có đáy là hình tròn bán kính r (0 < r < R) nội tiếp (H). Xác định r để (H') có thể tích lớn nhất.

Cho hình nón tròn xoay (H) đỉnh S, đáy là hình tròn bán kính R, chiều cao bằng h. Gọi (H') là hình trụ tròn xoay có đáy là hình tròn bán kính r (0 < r < R) nội tiếp (H). Tính tỉ số thể tích của (H') và (H)

Cho tứ diện ABCD có AD = BC = a, BD = CA = b, CD = AB = c. Tính ${\mathrm{V}}_{\mathrm{ABCD}}$ theo a, b, c

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và AD, H là giao điểm của MD và NC. Biết rằng SH là đường cao của hình chóp đã cho và cạnh SC tạo với đáy hình chóp đó một góc bằng 60$°$. Thể tích hình chóp S.CDNM

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Tính ${\mathrm{V}}_{\mathrm{ACA}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}$ biết rằng tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, AA' = b và AA' tạo với (ABC) một góc bằng 60$°$

Cho lăng trụ ABC.A'B'C'. Tính tỉ số: $\frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{ACA}\text{'}\mathrm{B}\text{'}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{ABC}.\mathrm{A}\text{'}\mathrm{B}\text{'}\mathrm{C}\text{'}}}$

Cho hình lập phương ABCD.${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1{\mathrm{D}}_1$ có cạnh bằng 1. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh B${\mathrm{B}}_1$, CD. ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{D}}_1$. Tính khoảng cách và góc giữa hai đường thẳng MP và ${\mathrm{C}}_1$N.

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(-4; -2; 4) và đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-3+2\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-1+4\mathrm{t}\end{array}\right.$

Cho mặt phẳng (P) : x + 2y – 2z + 3 = 0

và đường thẳng d: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=9\end{array}\right.$

Lập phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm ${\mathrm{M}}_0\left({\mathrm{x}}_0,{\mathrm{y}}_0,{\mathrm{z}}_0\right)$ và song song với hai mặt phẳng cắt nhau

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 2x – y + 3z + 1 = 0 và (R): x – 2y – z + 8 = 0

Cho hai đường thẳng:

d: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=6\\ \mathrm{y}=-2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=7+\mathrm{t}\end{array}\right.$ và $d_1: \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=-2+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=-2\\ \mathrm{z}=-11-\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

Lập phương trình mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ d và ${\mathrm{d}}_1$ đến (P) là bằng nhau.

Cho hai mặt phẳng:

(${\mathrm{P}}_1$): 2x + y + 2z + 1 = 0 và (${\mathrm{P}}_2$): 4x – 2y – 4z + 7 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng (P) song song và cách đều hai mặt phẳng

(${\mathrm{P}}_1$): 2x + y + 2z + 1 = 0 và (${\mathrm{P}}_2$): 2x + y + 2z + 5 = 0.

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm I(-1; -1; 1) và chứa đường thẳng: d: $\frac{\mathrm{x}+2}{-1}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-1}{-1}$

Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng: d: $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-2-\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=1+4\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-\mathrm{t}\end{array}\right.$ và d': $\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=-1+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=-3+4\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=2-3\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm A(-1; -3; 2), B(-2; 1; 1) và C(0; 1; -1).

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và song song với mặt phẳng (Q): x – z = 0.

Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M(1; -3; 2) và vuông góc với đường thẳng d: $\frac{\mathrm{x}-3}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z}{3}$

${\mathrm{d}}_1: \frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+2}{-3}=\frac{\mathrm{z}-5}{4}$ và ${\mathrm{d}}_2:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=7+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-2\mathrm{t}\end{array}\right.$

Viết chương trình của ($\mathrm{\alpha }$).

${\mathrm{d}}_1: \frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+2}{-3}=\frac{\mathrm{z}-5}{4}$ và ${\mathrm{d}}_2:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=7+3\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=2+2\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1-2\mathrm{t}\end{array}\right.$

Chứng minh rằng ${\mathrm{d}}_1$ và ${\mathrm{d}}_2$ cùng nằm trong một mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$).

Cho mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$) : 2x + y + z – 1 = 0 và đường thẳng d: $\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-3}$

Gọi M là giao điểm của d và ($\mathrm{\alpha }$), hãy viết phương trình của đường thẳng $∆$ đi qua M vuông góc với d và nằm trong ($\mathrm{\alpha }$)

Cho hai đường thẳng: $\mathrm{d}:\frac{\mathrm{x}-1}{-1}=\frac{\mathrm{y}-2}{2}=\frac{\mathrm{z}}{3}$ và $\mathrm{d}\text{'}\left\{\begin{array}{c}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=3-2\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=1\end{array}\right.$ Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’.

Cho điểm M(1; -1; 2) và mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$): 2x – y + 2z + 12 = 0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ($\mathrm{\alpha }$)

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng

$∆:\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{-1}=\frac{\mathrm{z}}{2}$

Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua đường thẳng $∆$

Cho điểm M(2; -1; 1) và đường thẳng

$∆:\frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+1}{-1}=\frac{\mathrm{z}}{2}$

Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên đường thẳng $∆$

Cho hai đường thẳng

$∆: \frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+3}{1}=\frac{\mathrm{z}-4}{-2}$ $∆\text{'}: \frac{\mathrm{x}+2}{-4}=\frac{\mathrm{y}-1}{-2}=\frac{\mathrm{z}+1}{4}$

Tính khoảng cách giữa $∆$ và $∆$′.

Cho hai đường thẳng

$∆: \frac{\mathrm{x}-1}{2}=\frac{\mathrm{y}+3}{1}=\frac{\mathrm{z}-4}{-2}$ $∆\text{'}: \frac{\mathrm{x}+2}{-4}=\frac{\mathrm{y}-1}{-2}=\frac{\mathrm{z}+1}{4}$

Xét vị trí tương đối giữa $∆$ và $∆$′ 

$∆:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=4-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=-1+2\mathrm{t}\end{array} \mathrm{và} ∆\text{'}\right.:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=2-3\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=-3\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$

$∆:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=1+\mathrm{t}\\ \mathrm{y}=-1-\mathrm{t}\\ \mathrm{z}=1\end{array} \mathrm{và} ∆\text{'}\right.:\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}=2-3\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{y}=2+3\mathrm{t}\text{'}\\ \mathrm{z}=3\mathrm{t}\text{'}\end{array}\right.$